有効寸法

Effective_dimension

は、ある研究グループの情報源に依存しています。  「有効な次元」  
数学では、有効次元はハウスドルフ次元と他のフラクタル次元を修正したものであり、計算可能性理論の設定になります。いくつかのバリエーション（有効次元のさまざまな概念）があり、その中で最も一般的なのは有効ハウスドルフ次元です。数学では、次元はオブジェクトのサイズを説明する特定の方法です（測度やその他の異なるサイズの概念とは対照的です）。ハウスドルフ次元は、点、線、平面などに割り当てられたよく知られた整数次元を一般化し、これらの整数次元オブジェクト間の中間サイズのオブジェクトを区別できるようにします。例えば、平面のフラクタルサブセットは、線や曲線よりも「大きい」が、塗りつぶされた円や長方形よりも「小さい」ため、1〜2の中間の次元を持つ場合が有効寸法は、有効寸法が小さいオブジェクトが小さいだけでなく、計算可能な意味で配置可能（または部分的に配置可能）であることを要求することにより、ハウスドルフ次元を変更します。そのため、ハウスドルフ次元が大きいオブジェクトも有効次元が大きく、有効次元が小さいオブジェクトはハウスドルフ次元が小さくなりますが、ハウスドルフ次元は小さくても有効次元は大きくなります。例は、ハウスドルフ次元0（ポイントであるため）が有効次元1（大まかに言えば、ハウスドルフ次元を持つ小さな間隔よりも効果的にローカライズできないため）を持つライン上のアルゴリズム的にランダムなポイントです。次元1）。

コンテンツ
1 厳密な定義
1.1 マルチンゲールおよびその他の強風 1.2 コルモゴロフ複雑性の定義
2 古典的な次元との比較
3 参考文献

厳密な定義
、カントール空間 2ωのサブセットの有効次元を定義します。ユークリッド空間 Rnのサブセットには、密接に関連する定義が存在します。自然数の集合X、無限のシーケンスを検討する間を自由に移動します χX { chi _ {X}}

 Xの特性関数、および2進展開0の実数によって与えられます。X。

マルチンゲールおよびその他の強風
カントール空間2ωのマーチンゲールは、カントール空間から非負実数までの関数d：2ω R≥0であり、公平性の条件を満たす： d （（ σ ）。 =1 2（（ d（（ σ 0 ）。+ d（（ σ 1 ）。 ）。 { d（ sigma）= { frac {1} {2}}（d（ sigma 0）+ d（ sigma 1））}
  マルチンゲールはベッティング戦略と考えられており、機能 d （（ σ ）。 { d（ sigma）}

 0と1のシーケンスσを見た後、より良い資本を与えます。公平性条件は、シーケンスσの後の資本がσ0とσ1を見た後の資本の平均であると言います。言い換えれば、マーチンゲールは、2つの「同等に可能性の高い」オプションのいずれかで2：1のオッズが提供されるブックメーカーに賭けのスキームを提供するため、フェアと呼ばれます。（これはマルチンゲールの確率論の概念とは微妙に異なることに注意してマルチンゲールの定義は同様の公平性条件を持ち、ある観測後の期待値は観測前の値と同じであると述べています。観測の前の履歴。違いは、確率論では、観測の前の履歴は単に資本の履歴を参照するのに対し、ここでは履歴は文字列内の0と1の正確なシーケンスを参照することです。）
カントール空間上のスーパーマルチンゲールは、修正された公平性条件を満たす上記の関数dです。 d （（ σ ）。 ≥1 2（（ d（（ σ 0 ）。+ d（（ σ 1 ）。 ）。 { d（ sigma） geq { frac {1} {2}}（d（ sigma 0）+ d（ sigma 1））}
  スーパーマーチンゲールは、2つが常に等しいマルチンゲールとは対照的に、賭け後の予想資本が賭け前の資本以下であるベッティング戦略です。これにより柔軟性が高まり、効果のない場合と非常によく似ています。スーパーマルチンゲールdが与えられるたびに、少なくともdと同じ金額を獲得し、実際にはマルチンゲールである変更された関数d ‘があるためです。ただし、一部のアルゴリズムはマルチンゲールよりもスーパーマーチンゲールの作成に自然に役立つため、実際にアルゴリズムを提供してベッティング戦略を決定することについて話し始めたら、柔軟性を高めることができます。
s – galeは、上記の形式の関数dです。 d （（ σ
）。= e（（ σ
）。 2 （（ 1 − s
）。| σ | { d（ sigma）= { frac {e（ sigma）} {2 ^ {（1-s）| sigma |}}}}
  いくつかのマーチンゲールのために。
s – supergaleは、上記の形式の関数dです。 d （（ σ
）。= e（（ σ
）。 2 （（ 1 − s
）。| σ | { d（ sigma）= { frac {e（ sigma）} {2 ^ {（1-s）| sigma |}}}}
  たとえば、いくつかのスーパーマルチンゲール。
s-（スーパー）ゲイルは、各ステップでインフレによってある程度の資本が失われるベッティング戦略です。s -galesとs -supergalesはスーパーマーチンゲールの例であり、1-galesと1-supergalesは正確にマーチンゲールとスーパーマーチンゲールであることに注意して
総称して、これらのオブジェクトは「強風」として知られています。
強風d は、次の場合に自然数のサブセットXで成功します。lim sup n d （（ X| n
）。= ∞
{ limsup _ {n} d（X | n）= infty}

 どこX| n
{ X | n}

 Xの最初のn桁で構成されるn桁の文字列を示します。
強風d は、次の場合にXで強く成功します。lim inf n d （（ X| n
）。= ∞
{ liminf _ {n} d（X | n）= infty}

 。
さまざまな強風のこれらの概念のすべてには効果的な内容はありませんが、特定のセットで成功する強風が見つかる可能性があるため、必然的に小さなクラスの強風に制限する必要が結局のところ、コイントスのシーケンスを事前に知っていれば、各コイントスの既知の結果に賭けるだけで簡単にお金を稼ぐことができます。これを行う標準的な方法は、強風が計算可能であるか、計算可能に近いことを要求することです。
強風dは、建設的、ce、またはそれ以下の半計算可能と呼ばれます。 d （（ σ ）。 { d（ sigma）}

 均一に左-ce実数です（つまり、増加する計算可能な有理数のシーケンスの限界として均一に書くことができます）。
自然数Xのセットの有効なハウスドルフ次元は次のとおりです。 inf {{s ： s o m e c e s− g a l e
su c c e ed s o nX } { inf {s： mathrm {some ce} s mathrm {-gale success on } X }}

 。
Xの有効パッキング寸法は次のとおりです。 inf {{s ： s o m e c e s− g a l e
su c c e e
ds s t r o
ng l y o nX } { inf {s： mathrm {some ce} s mathrm {-gale success strong on } X }}

 。

コルモゴロフ複雑性の定義
コルモゴロフの複雑さは、（文字または2桁の）有限シーケンスのアルゴリズムによる圧縮性の下限と考えることができます。このような各シーケンスwに自然数K（w）を割り当てます。これは、入力を受け取らず、実行時にwを出力するコンピュータープログラム（固定プログラミング言語で記述）の最小長を直感的に測定します。
自然数Xのセットの有効なハウスドルフ次元は次のとおりです。lim inf n K （（ X
| n ）。 n { liminf _ {n} { frac {K（X | n）} {n}}}

 。
セットXの有効なパッキング寸法は次のとおりです。lim sup n K （（ X
| n ）。 n { limsup _ {n} { frac {K（X | n）} {n}}}

 。
このことから、セットの有効なハウスドルフ次元と有効なパッキング次元の両方が0から1の間であり、有効なパッキング次元は常に少なくとも有効なハウスドルフ次元と同じ大きさであることがわかります。すべてのランダムシーケンスは、有効なハウスドルフとパッキング次元が1になりますが、有効なハウスドルフとパッキング次元が1の非ランダムシーケンスも

古典的な次元との比較
Zが2ωのサブセットである場合、そのハウスドルフ次元は次のようになります。 inf {{s ： s o m
es − g a l
es u c c e
ed s o n a
ll e l e m
en t s o fZ }
{ inf {s： mathrm {some} s mathrm {-gale success on all elements of } Z }}

 。
Zのパッキング寸法は inf {{s ： s o m
es − g a l
es u c c e
ed s s t r
on g l y o
na l l e l
em e n t so f Z }
{ inf {s： mathrm {some} s mathrm {-gale success strong on all elements of } Z }}

 。
したがって、セットの有効なハウスドルフおよびパッキング次元X
{ X}

 単に古典的なハウスドルフとパッキング寸法です
{{X } { {X }}

 （それぞれ）私たちが注意をcegalesに制限するとき。
以下を定義します。H β ：= {{X∈ 2 ω ：X h
as e f f e
ct I v e H
au s d o r
ff d I m en s I o n β } { H _ { beta}：= {X in 2 ^ { omega}：X mathrm {has Effective Hausdorff Dimensions } beta }}

 H ≤ β ：= {{X∈ 2 ω ：X h
as e f f e
ct I v e H
au s d o r
ff d I m en s I o n ≤β }
{ H _ { leq beta}：= {X in 2 ^ { omega}：X mathrm {has effective Hausdorff Dimensions } leq beta }}

 H < β ：= {{X∈ 2 ω ：X h
as e f f e
ct I v e H
au s d o r
ff d I m en s I o n <β }
{ H _ {< beta}：= {X in 2 ^ { omega}：X mathrm {has Effective Hausdorff Dimensions } < beta }}

 P β ：= {{X∈ 2 ω ：X h
as e f f e
ct I v e p
ac k I n g
dI m e n sI o n
β } { P _ { beta}：= {X in 2 ^ { omega}：X mathrm {has 効果的なパッキング次元} beta }}

 P ≤ β ：= {{X∈ 2 ω ：X h
as e f f e
ct I v e p
ac k I n g
dI m e n sI o n
≤β }
{ P _ { leq beta}：= {X in 2 ^ { omega}：X mathrm {has 実効パッキング次元} leq beta }}

 P < β ：= {{X∈ 2 ω ：X h
as e f f e
ct I v e p
ac k I n g
dI m e n sI o n
<β }
{ P _ {< beta}：= {X in 2 ^ { omega}：X mathrm {has 有効パッキングディメンション} < beta }}
  上記の結果は、これらすべてがハウスドルフ次元を持っているということです β { beta}

 。 H β H ≤ β
{ H _ { beta}、H _ { leq beta}}

 とH < β
{ H _ {< beta}}

 すべてのパッキング寸法は1です。 P β P ≤ β
{ P _ { beta}、P _ { leq beta}}

 とP < β
{ P _ {< beta}}

 すべてパッキング寸法があります β { beta}

 。

参考文献
^ ジョンM.ヒッチコック; ジャック・H・ラッツ（2006）。「なぜ計算の複雑さはより厳しいマルチンゲールを必要とするのか」。コンピューティングシステムの理論。
^ ジャック・H・ラッツ（2003）。「複雑さクラスの次元」。SIAM Journal onComputing。32（5）：1236–1259。arXiv：cs / 0203016。土井：10.1137 / s0097539701417723。
^ クリシュナB.アスレヤ; ジョンM.ヒッチコック; ジャック・H・ラッツ; Elvira Mayordomo（2007）。「アルゴリズム情報と計算の複雑さにおける効果的な強力な次元」。SIAM Journal onComputing。37（3）：671–705。arXiv：cs / 0211025。土井：10.1137 / s0097539703446912。
^ Jin-yi Cai; ユリス・ハルトマニス（1994）。「実数直線のコルモゴロフ複雑性のハウスドルフと位相幾何学的次元について」。コンピュータとシステム科学のジャーナル。49（3）：605–619。土井：10.1016 / S0022-0000（05）80073-X。
^ Ludwig Staiger（1993）。「コルモゴロフ複雑性とハウスドルフ次元」。情報と計算。103（2）：159–194。土井：10.1006 /inco.1993.1017。
^ Elvira Mayordomo（2002）。「建設的なハウスドルフ次元のコルモゴロフ複雑性の特徴づけ」。情報処理レター。84：1–3。土井：10.1016 / S0020-0190（02）00343-5。
^ Ludwig Staiger（2005）。「建設的な次元はコルモゴロフの複雑さに等しい」。情報処理レター。93（3）：149–153。土井：10.1016 /j.ipl.2004.09.023。
^ ボリス・リャブコ（1994）。「組み合わせソースとハウスドルフ次元のコーディング」。ソビエト数学-Doklady。
JHルッツ（2005）。「有効なフラクタル次元」。数理論理学四半期ごと。51（1）：62–72。CiteSeerX10.1.1.143.7654 。_ 土井：10.1002 /malq.200310127。
J.レイマン（2004）。「計算可能性とフラクタル次元、博士論文」。Ruprecht-KarlsUniversitätHeidelberg。
L. Staiger（2007）。「無限の言葉のコルモゴロフ複雑さ」。理論計算機科学。383（2–3）：187–199。土井：10.1016 /j.tcs.2007.04.013。 “