有効領域

Effective_domain
数学の一分野である凸解析では、有効領域は、拡大実数線の値を取る関数に対して定義された関数の定義域の拡張です。
[ −
∞ ∞] = R ∪
{{± ∞
} { [- infty、 infty] = mathbb {R} cup { pm infty }。}
凸解析と変分解析では、通常、特定の拡張実数値関数が最小化される点が求められます。このような点は、グローバル最小点と呼ばれます。この関数の有効領域は、この関数の定義域内の値が等しくないすべての点のセットとして定義されます。 + ∞ { + infty、}
有効領域がこのように定義されているのは、グローバルな最小点になる可能性がほとんどないのはこれらの点だけだからです。実際、これらの分野では、関数を次のように設定するのが一般的です。+ ∞
{ + infty}（最小化問題への）潜在的な解決策として考えられることからその点を特に除外する点で。関数が値をとるポイント− ∞
{- infty}（もしあれば）そのような点は最小化問題の許容可能な解決策と見なされるため、有効領域に属しますそのような点が解決策として受け入れられない場合、関数はすでに次のように設定されているはずです。+ ∞
{ + infty}
代わりにその時点で。
最小点（ X
{ X}
）関数のf ：X
[ −
∞ ∞ ] { f：X to [- infty、 infty]}
見つかるはずですが f { f}
のドメインX
{ X}
いくつかのベクトル空間の適切なサブセットです
V { V、}
その後、拡張することはしばしば技術的に有用です f { f}
すべてに V { V}
設定することにより f （（ X ）。 ：=+ ∞
{ f（x）：= + infty}
毎回X∈ V
∖X { x in V setminus X.}
定義上、V ∖X
{ V setminus X}
の有効領域に属します
f { f、}
これは、元の関数の最小点を見つけたいという願望と一致しています。f ：X
[ −
∞ ∞ ] { f：X to [- infty、 infty]}
新しく定義されたすべての拡張機能ではなく
V { V.}
問題が代わりに最大化問題である場合（これは明確に示されます）、有効領域は代わりに、関数の定義域内の次の値と等しくないすべての点で構成されます。 − ∞ {- infty。}

コンテンツ
1 意味
2 特性評価
3 プロパティ
4 も参照してください
5 参考文献

意味
仮定するf ：X
[ −
∞ ∞ ] { f：X to [- infty、 infty]}

 拡大実数行で評価されるマップです
[ −
∞ ∞] = R ∪
{{± ∞ }
{ [- infty、 infty] = mathbb {R} cup { pm infty }}

 そのドメインは、
ドメイン
f { operatorname {domain} f、}

 はX
{ X}

 （どこX
{ X}

 この仮定が必要なときはいつでも、いくつかのベクトル空間のサブセットであると仮定されます）。次に、の有効領域 f { f}

 で示されます dom f
{ operatorname {dom} f}

 通常、集合として定義されます dom f =
{{X∈X ： f（（ X
）。< + ∞ }
{ operatorname {dom} f = {x in X〜：〜f（x）<+ infty }}

そうでもなければ f { f}

 凹関数またはの最大値（最小値では
なく） f { f}

 が求められている場合、その
有効領域は f { f}

 代わりにセット
ですdom f =
{{X∈X ： f（（ X ）。 >>− ∞
}{ operatorname {dom} f = {x in X〜：〜f（x）>- infty }。}
-infty }.}””>
凸解析と変分解析では、 dom f
{ operatorname {dom} f}

 通常、 dom f = {{X∈X ： f（（ X
）。< + ∞ }
{ operatorname {dom} f = {x in X〜：〜f（x）<+ infty }}

 特に明記されていない限り。

特性評価
させてπX X
××R X
{ pi _ {X}：X times mathbb {R} to X}

 に正規射影を示すX { X、}