Effective_mass_(spring%E2%80%93mass_system)
実際のばね-質量システムでは、ばねの質量は無視できません。 m { m}
。ばねの長さのすべてが同じ速度で動くわけではないので v { v}
ばね下重量として M { M}
、その運動エネルギーは等しくありません1 2m v 2
{ { tfrac {1} {2}} mv ^ {2}}
。そのような、 m { m}
単純に追加することはできません M { M}
振動の周波数を決定するために、ばねの有効質量は、に追加する必要がある質量として定義されます M { M}
システムの動作を正しく予測します。
コンテンツ
1 理想的な均一ばね
2 一般的なケース
3 本当の春
4 も参照してください
5 参考文献
6 外部リンク
理想的な均一ばね
垂直ばね-質量システム
均一な線密度の理想的なばねを使用する場合のばね-質量システムのばねの有効質量は、ばねの質量の1/3であり、ばね-質量システムの方向（つまり、水平、垂直、斜めのシステムはすべて同じ有効質量を持っています）。これは、外部加速度が平衡点周辺の運動周期に影響を与えないためです。
ばねの有効質量は、その運動エネルギーを見つけることによって決定できます。これには、すべての質量要素の運動エネルギーを追加する必要があり、次の積分が必要です。 u { u}
質量要素の速度です：T =
∫ 1 2u 2 d m
{ T = int _ {m} { tfrac {1} {2}} u ^ {2} 、dm}
ばねが均一なので、d m =（（ dy L
）。 m { dm = left（{ frac {dy} {L}} right）m}
、 どこ L { L}
は速度測定時のばねの長さです。したがって、T = ∫
0L1 2 u 2（（ dy L
）。 m { T = int _ {0} ^ {L} { tfrac {1} {2}} u ^ {2} left（{ frac {dy} {L}} right）m ！}
=1 2m L ∫ 0 Lu 2 d y
{ = { tfrac {1} {2}} { frac {m} {L}} int _ {0} ^ {L} u ^ {2} 、dy}
ばねの各質量要素の速度は、ばねが取り付けられている位置からの長さに正比例します（ブロックに近い場合は速度が速く、天井に近い場合は速度が遅くなります）。u = v y L
{ u = { frac {vy} {L}}}
、それは次のとおりです。 T =1 2m L ∫
0 L （（ v y L）。2 d y
{ T = { tfrac {1} {2}} { frac {m} {L}} int _ {0} ^ {L} left（{ frac {vy} {L}} right ）^ {2} 、dy}
=1 2m 3 v 2 ∫
0L y 2 d y
{ = { tfrac {1} {2}} { frac {m} {L ^ {3}}} v ^ {2} int _ {0} ^ {L} y ^ {2} 、 dy}
=1 2m 3 v 2
[ y3 3] 0 L
{ = { tfrac {1} {2}} { frac {m} {L ^ {3}}} v ^ {2} left [{ frac {y ^ {3}} {3}} right] _ {0} ^ {L}}
=1 2m 3 v 2
{ = { tfrac {1} {2}} { frac {m} {3}} v ^ {2}}
予想される元の運動エネルギー式との比較1 2m v
2 { { tfrac {1} {2}} mv ^ {2}、}
この場合のばねの有効質量はm / 3です。この結果を使用して、システムの総エネルギーを変位で表すことができます。X
{ x}
ばねの伸ばされていない位置から（一定のポテンシャル項を無視し、上方向を正として取る）： T { T}
（システムの総エネルギー） =1 2 （（ m
3）。 2 1 2
M 2 1 2
k 2 1 2m gX − M gX
{ = { tfrac {1} {2}}（{ frac {m} {3}}） v ^ {2} + { tfrac {1} {2}} Mv ^ {2} + { tfrac {1} {2}} kx ^ {2}-{ tfrac {1} {2}} mgx-Mgx}
ご了承ください g { g}
これがばねに沿った重力の加速度です。時間に関して方程式を微分することにより、運動方程式は次のようになります。（（ −m3 M ）。 a = kX
−1 2m g − M g
{ left（{ frac {-m} {3}} -M right） a = kx-{ tfrac {1} {2}} mg-Mg}
平衡点Xe q
{ x _ { mathrm {eq}}}
加速度をゼロにすることで見つけることができます：Xe q = 1 k（（ 12 m g + M g ）。
{ x _ { mathrm {eq}} = { frac {1} {k}} left（{ tfrac {1} {2}} mg + Mg right）}
定義X¯ =X −X e q
{ { bar {x}} = x-x _ { mathrm {eq}}}
、運動方程式は次のようになります。（（ m3 M ）。
a = − kX ¯
{ left（{ frac {m} {3}} + M right） a = -k { bar {x}}}
これは、周期を持つ単純な調和振動子の方程式です。τ = 2 π（（ M+ m / 3
k）。1 2
{ tau = 2 pi left（{ frac {M + m / 3} {k}} right）^ {1/2}}
したがって、荷重の質量にばねの有効質量を追加すると、標準式で使用する必要のあるシステムの「有効総質量」が得られます。2 π（（ m k ）。1 / 2
{ 2 pi left（{ frac {m} {k}} right）^ {1/2}}
振動の周期を決定します。
一般的なケース
上で見たように、ばねの有効質量は、それに沿った重力の加速度などの「外部」要因に依存しません。実際、不均一なばねの場合、有効質量はその線密度にのみ依存します ρ （（ X ）。 { rho（x）}
その長さに沿って：
T = ∫
m 2 2d m
{ T = int _ {m} { tfrac {1} {2}} u ^ {2} 、dm}
= ∫0 1 2u 2 ρ （ X ）。 dX { = int _ {0} ^ {L} { tfrac {1} {2}} u ^ {2} rho（x）、dx}
= ∫0 1 2（（ vX L ）。
2 ρ （（ X
）。 dX { = int _ {0} ^ {L} { tfrac {1} {2}} left（{ frac {vx} {L}} right）^ {2} rho（x） 、dx}
1 2
[ ∫
0LX 2 L2 （（ X
）。dX ] v 2
{ = { tfrac {1} {2}} left [ int _ {0} ^ {L} { frac {x ^ {2}} {L ^ {2}}} rho（x） 、dx right] v ^ {2}}
したがって、ばねの有効質量は次のとおりです。m e f f = ∫ 0LX 2 L2 （（ X
）。 dX { m _ { mathrm {eff}} = int _ {0} ^ {L} { frac {x ^ {2}} {L ^ {2}}} rho（x）、dx}
この結果は、m e f f ≤ m { m _ { mathrm {eff}} leq m}
、 とm e f f = m { m _ { mathrm {eff}} = m}
質量がサポートから最も遠い端に純粋に配置されている非物理的なばねの場合に発生します。
本当の春
上記の計算は、ばねの剛性係数がばねの長さに依存しないことを前提としています。ただし、これは実際のばねには当てはまりません。の小さい値の場合M / m
{ M / m}
、変位は弾性変形を引き起こすほど大きくはありません。上田淳一と貞本義行はM / m
{ M / m}
7を超えると、垂直ばね-質量システムのばねの有効質量はレイリーの値よりも小さくなります。m / 3
{ m / 3}
そして最終的には負の値に達します。有効質量のこの予期しない動作は、弾性後遺症（荷重が除去された後、ばねが元の長さに戻らないこと）の観点から説明できます。
も参照してください
単振動（SHM）の例。
換算質量
参考文献
^ 植田淳一; 貞本義行（1997）。「巻きばねの有効質量の測定」。日本物理学会誌。66（2）：367–368。Bibcode：1997JPSJ … 66..367U。土井：10.1143 /JPSJ.66.367。
外部リンク
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1405121418180
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1509031308350
https://web.archive.org/web/20110929231207/http://hk.knowledge.yahoo.com/question/article?qid=6908120700201
https://web.archive.org/web/20080201235717/http://www.goiit.com/posts/list/mechanics-effective-mass-of-spring-40942.htm
http://www.juen.ac.jp/scien/sadamoto_base/spring.html
「振動ばねの有効質量」Am。J. Phys。、38、98（1970）
「振動するばねの有効質量」物理教師、45、100（2007）”