Effective_potential
実効ポテンシャル（実効ポテンシャルエネルギーとも呼ばれます）は、複数の、おそらく反対の効果を1つのポテンシャルに結合します。基本的な形式では、「反対の」遠心 力の位置エネルギーと力学系の位置エネルギーの合計です。これは、惑星の軌道（ニュートン流体と相対論的粒子の両方）を決定し、半古典的な原子計算を実行するために使用でき、多くの場合、問題をより少ない次元に減らすことができます。
コンテンツ
1 意味
2 重要なプロパティ
3 重力ポテンシャル
4 も参照してください
5 ノート
6 参考文献
7 参考文献
意味
効果的な可能性。E> 0：双曲線軌道（A
1を円軌道）、E = 0：放物線軌道（A
2を円軌道）、E <0：楕円軌道（A
3を円軌道、A
3 ‘をアポセンター）、E = E
min：円軌道（半径としてA 4 ）。ポイントA1
、 …、A4
はターニングポイントと呼ばれます。
ポテンシャルの基本形U eff
{ U _ { text {eff}}}
と定義されている：U eff（（ r）。= L2 2 μ r 2+ U（（ r）。
{ U _ { text {eff}}（ mathbf {r}）= { frac {L ^ {2}} {2 mu r ^ {2}}} + U（ mathbf {r}）}
、
どこ Lは 角運動量です
rは2つの質量間の距離です
μは2つの物体の
換算質量です（一方の質量がもう一方の質量よりもはるかに大きい場合は、軌道を回る物体の質量にほぼ等しくなります）。と
U（r）は
ポテンシャルの一般的な形式です。
したがって、有効な力は、有効電位の負の勾配です。F ff =
− eff （（ r
）。= L 2
μ r ^ （（ r ）。 { { begin {aligned} mathbf {F} _ { text {eff}}＆=- nabla U _ { text {eff}}（ mathbf {r}）\＆= { frac { L ^ {2}} { mu r ^ {3}}} { hat { mathbf {r}}}- nabla U（ mathbf {r}） end {aligned}}}
どこr
^ { { hat { mathbf {r}}}}
は半径方向の単位ベクトルを示します。
重要なプロパティ
有効な可能性には、次のような多くの便利な機能がU eff ≤ E
{ U _ { text {eff}} leq E}
。
円軌道の半径を見つけるには、次の点に関して実効ポテンシャルを最小化するだけです。 r { r}
、または同等に正味の力をゼロに設定してから、r 0
{ r_ {0}}
：d U eff
dr = 0
{ { frac {dU _ { text {eff}}} {dr}} = 0}
解決した後r 0
{ r_ {0}}
、これをに接続し直しますU eff
{ U _ { text {eff}}}
実効ポテンシャルの最大値を見つけるU eff
最大
{ U _ { text {eff}} ^ { text {max}}}
。
円軌道は安定していても不安定でもかまいません。不安定な場合、小さな摂動によって軌道が不安定になる可能性がありますが、安定した軌道の方が安定しています。円軌道の安定性を判断するには、実効ポテンシャルの凹面を判断します。凹面が正の場合、軌道は安定しています。d 2 U eff dr 2 >> 0 { { frac {d ^ {2} U _ { text {eff}}} {dr ^ {2}}}> 0}
0}””> 基本的なハミルトニアン解析を使用した小さな振動の周波数は、ω = U eff ″ m { omega = { sqrt { frac {U _ { text {eff}} ”} {m}}}}
、
ここで、二重素数は、に関する実効ポテンシャルの2次導関数を示します。 r { r}
そしてそれは最低限評価されます。
重力ポテンシャル
2つの回転体の有効ポテンシャルの構成要素:(上）結合された重力ポテンシャル。（btm）重力ポテンシャルと回転ポテンシャルの組み合わせ
軌道（等電位の紫色の輪郭を持つ灰色のゴムシートモデル）、
ラグランジュ点（赤）、星（黄色）を周回する惑星（青）を
含む平面での有効ポテンシャルの視覚化
質量Mのはるかに重い物体を周回する質量mの粒子を考えてみましょう。古典力学と非相対論的の両方であるニュートン力学を仮定します。エネルギーと角運動量の保存により、2つの定数EとLが得られます。これらの定数には値が E =1 2 m （（r
˙2 2ϕ ˙ 2 ）。 −G m M
r { E = { frac {1} {2}} m left（{ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} { dot { phi}} ^ {2} right ）-{ frac {GmM} {r}}、}