Effective_results_in_number_theory
歴史的な理由から、そしてディオファントス方程式の解法に適用するために、数論の結果は、それらの内容が効果的に計算可能であるかどうかを確認するために、数学の他の分野よりも精査されてきました。整数のいくつかのリストが有限であると主張される場合、問題は、原則として、リストが機械計算の後に印刷できるかどうかです。
コンテンツ
1 リトルウッドの結果
2 「シーゲル時代」
3 後の仕事
4 理論上の問題
5 参考文献
6 外部リンク
リトルウッドの結果
効果のない結果の初期の例は、1914年のJEリトルウッドの定理であり、素数定理では、ψ（x）とπ（x ）の両方の差とその漸近推定値の符号が無限に頻繁に変化します。 1933年、スタンレー・スキューズは最初の符号変更の有効な上限を取得しました。現在はスキューズ数として知られています。
より詳細には、数列f（n）を書くと、その符号が無限に変化することについての効果的な結果は、 Nのすべての値について、f（N）およびf （M）は異なる符号を持ち、Mが指定されたリソースで計算できるようになります。実際には、MはN以降のnの値をとることによって計算され、問題は「どこまで行かなければならないか」です。特別な場合は、最初の符号の変更を見つけることです。質問の関心は、既知の数値的証拠が符号の変化を示さなかったことでした。リトルウッドの結果は、この証拠がほんの少数の効果であることを保証しましたが、ここでの「小さい」には、最大10億までのnの値が含まれていました。
計算可能性の要件は、結果を証明するために解析的整数論で使用されるアプローチを反映し、対照的です。たとえば、Landau表記法とその暗黙の定数の使用に疑問が投げかけられます。アサーションは、そのような定数の純粋な存在定理ですか、それとも、暗黙の定数の代わりに1000（たとえば）が使用されるバージョンを復元できますか？言い換えれば、符号が変化したM > Nが存在することがわかっている場合
M = O（G（N））
いくつかの明示的な関数Gの場合、たとえば、累乗、対数、および指数から構築されます。これは、
M < A。 G（N）
ある絶対定数Aに対して。Aの値、いわゆる暗黙の定数も、計算の目的で明示的にする必要がある場合がランダウの記号が人気のある紹介であった理由の1つは、Aが何であるかを正確に隠していることです。いくつかの間接的な形式の証明では、暗黙の定数を明示的にすることができることはまったく明らかではない場合が
「シーゲル時代」
1900年から1950年の期間に証明された解析的整数論の主要な結果の多くは、実際には効果がありませんでした。主な例は次のとおりです。
Thue–Siegel–Rothの定理
積分点に関するジーゲルの定理、1929年から
クラス1の問題に関するハンスハイルブロンとエドワードリンフットの1934年の定理
ジーゲルの零点に関する1935年の結果
ジーゲルの零点に基づくジーゲル・ウォルフィスの定理。
理論的に不完全なままにされた具体的な情報には、クラス番号の下限が含まれていました（数体のいくつかのファミリーの理想的なクラスグループは成長します）。そして、分母の観点から代数的数への最良の有理数近似の限界。これらの後者は、 Axel Thueの作業の後、ディオファントス方程式の結果として非常に直接読み取ることができます。証明のリウヴィル数に使用された結果は、平均値の定理を適用する方法で効果的ですが、（現在のThue–Siegel–Rothの定理に対する）改善は効果的ではありませんでした。
後の仕事
その後の結果、特にアラン・ベイカーの結果は、立場を変えました。定理的に言えば、ベイカーの定理は弱く見えますが、明示的な定数があり、実際にマシン計算と組み合わせて適用して、ソリューションのリスト（完全であると思われる）が実際にソリューションセット全体であることを証明できます。
理論上の問題
ここでの困難は、矛盾による証明にもっと注意を払いながら、根本的に異なる証明手法によって解決されました。関連する論理は、計算可能性理論や計算可能関数の論理よりも証明論に近いものです。難しさは計算の複雑さの理論の領域にあるかもしれないとかなり大まかに推測されます。効果のない結果は、 AまたはBの形でまだ証明されており、どちらかを判断する方法がありません。
参考文献
^ リトルウッド、JE（1914）。「Surladistribution desnombrespremiers」。ComptesRendus。158：1869–1872。JFM45.0305.01 。_ ^ フェファーマン、ソロモン（1996）。「Kreiselの「巻き戻し」プログラム」（PDF）。Kreiseliana。マサチューセッツ州ウェルズリー：AKピーターズ。pp。247–273。MR1435765。_
p。を参照してプレプリントバージョンの9。
^ Skewes、S。（1933）。「差についてπ（x）− Li（x）」。ロンドン数学会誌。8：277–283。土井：10.1112 / jlms /s1-8.4.277。JFM59.0370.02。_ Zbl0007.34003。_ ^ ハイルブロン、H。; リンフット、EH（1934）。「クラスナンバーワンの架空の二次コーパスについて」。数学の季刊誌。オックスフォードシリーズ。5（1）：293–301。土井：10.1093 / qmath /os-5.1.293。 。
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Sprindzhuk、VG（2001）、「ディオファントス近似、効果的な問題」、数学百科事典、EMS Press–バウンドの非効率性についてのコメント。
外部リンク
Sprindzhuk、VG（2001）、「ディオファントス近似」、数学百科事典、EMS Press