ファイバーカテゴリ – 日本の辞書

Fibred_category
ファイバーカテゴリ（またはファイバーカテゴリ）は、降下理論の一般的なフレームワークを提供するために使用される数学の抽象的なエンティティです。それらは、ベクトル束などのオブジェクトの逆像（またはプルバック）を定義できる幾何学や代数のさまざまな状況を形式化します。例として、各位相空間には空間上のベクトル束のカテゴリがあり、位相空間Xから別の位相空間Yへのすべての連続マップにはプルバックファンクターが関連付けられています YのバンドルをXのバンドルに変換します。ファイバーカテゴリは、これらのカテゴリと逆像関数で構成されるシステムを形式化します。同様の設定は、数学のさまざまな形で、特に代数幾何学で現れます。これは、ファイバーカテゴリが最初に現れたコンテキストです。ファイバーカテゴリは、スタックを定義するために使用されます。スタックは、「降下」を伴う（サイト上の）ファイバーカテゴリです。ファイブレーションは、型理論のカテゴリセマンティクス、特に従属型理論のセマンティクスでも重要な役割を果たします。
ファイバーカテゴリは、 Alexander Grothendieck （1959、1971）によって導入され、Jean Giraud （ 1964、1971 ）によってより詳細に開発されました。

コンテンツ
1 背景と動機
2 正式な定義
2.1 デカルト射と関手 2.2 ファイバーカテゴリとクローブカテゴリ 2.3 分割と分割ファイバーカテゴリ 2.4 共デカルト射と共繊維カテゴリー
3 プロパティ
3.1 ファイバーカテゴリとスプリットカテゴリの2つのカテゴリ 3.2 同等の分割カテゴリの存在
4 亜群に繊維状のカテゴリー
5 例
5.1 ファイバーカテゴリ 5.2 亜群で繊維化されたカテゴリー
5.2.1 グループ商
6 も参照してください
7 参考文献
8 外部リンク

背景と動機
トポロジとジオメトリには、いくつかのタイプのオブジェクトがいくつかの基礎となるベーススペースの上または上または上に存在すると見なされる多くの例が古典的な例には、ベクトル束、主束、および位相空間上の滑車が含まれます。別の例は、別の変種によってパラメータ化された代数多様体の「家族」によって与えられます。これらの状況に典型的なのは、ベーススペース間の適切なタイプのマップf：X Yに対して、対応する逆イメージ（プルバックとも呼ばれる）操作f *があり、 Yで定義された考慮されたオブジェクトを同じタイプのX上のオブジェクト。これは確かに上記の例の場合です。たとえば、 Y上のベクトル束Eの逆像は、 X上のベクトル束f *（E）です。
さらに、考慮される「ベーススペース上のオブジェクト」がカテゴリを形成する、つまり、それらの間にマップ（射）がある場合がよくこのような場合、逆画像操作は、オブジェクト間のこれらのマップの構成と互換性があることが多く、より技術的にはファンクターです。繰り返しますが、これは上記の例の場合です。
ただし、g：Y Zが別のマップである場合、逆像関数は合成されたマップと厳密に互換性がないことがよくzがZ上のオブジェクト（たとえばベクトル束）である場合、それはおそらく次のようになります。f ∗（（ g ∗ （（ z ）。）。 ≠ （（ g∘ f
）。 ∗ （（ z
）。 { f ^ {*}（g ^ {*}（z）） neq（g circ f）^ {*}（z）。}
$f^{*}(g^{*}(z))neq$ 代わりに、これらの逆像は自然に同形であるだけです。インバースイメージのシステムにこの「たるみ」が導入されると、いくつかの微妙な問題が発生します。この設定によって、ファイバーカテゴリが形式化されます。
ファイバーカテゴリの主な用途は降下理論であり、トポロジーで使用される「接着」技術の広大な一般化に関係しています。代数幾何学の自明でない状況に適用されるのに十分な一般性の降下理論をサポートするために、ファイバーカテゴリの定義は非常に一般的で抽象的なものです。ただし、上記の基本的な例を念頭に置くと、基本的な直感は非常に簡単です。

正式な定義
ファイバーカテゴリには、本質的に同等の2つの技術的定義があり、どちらも以下で説明します。このセクションのすべての議論は、「大きな」カテゴリーに関連する集合論的問題を無視します。たとえば、小さなカテゴリへの注意を制限したり、ユニバースを使用したりすることで、議論を完全に厳密にすることができます。

デカルト射と関手
φ：F Eが2つのカテゴリ間の関手であり、SがEのオブジェクトである場合、 φ（x）= Sであるオブジェクトxとφ（ m）= idSを満たす射mで構成されるFのサブカテゴリは、 S上のファイバーカテゴリ（またはファイバー）と呼ばれ、FSで表されます。F Sの射はS射と呼ばれ、 F Sのx、yオブジェクトの場合、 S射のセットはHom S（x、y）で表されます。オブジェクトのφによる画像またはFの射は、その射影（φによる）と呼ばれます。fがEの射である場合、fに射るFの射はf射と呼ばれ、Fのオブジェクトxとyの間のf射のセットはHom f（x、y ）で表されます。
Fの射m：x yは、次の条件を満たす場合、φデカルト（または単にデカルト）と呼ばれます。f ： T
Sがmの射影で
あり、n：z yが
f射である場合、 n = m∘a となるような
1つのT射a： z xが正確に存在
します。
デカルト射 m：x yは、その射影の逆像と呼ばれますf =φ（m）; オブジェクトxは、fによるyの逆像と呼ばれます。
ファイバーカテゴリFSのデカルト射は、正確にはFSの同型です。一般に、与えられた射f：T Sに射影する複数のデカルト射が存在する可能性があり、おそらく異なるソースを持っています。したがって、FSのfによって与えられたオブジェクトyの複数の逆像が存在する可能性がただし、このような2つの逆像がFTで同型であるという定義の直接的な結果です。
ファンクターφ：F EはEカテゴリーとも呼ばれ、FをEカテゴリーまたはE上のカテゴリーにするとも言われています。Eカテゴリφ：F EからEカテゴリψ：GEへのE関手は、ψ∘α = φとなる関手α ：F Gです。E-カテゴリは自然な方法で2-カテゴリを形成します。1-射はE-ファンクターであり、2-射はコンポーネントがいくつかのファイバーにあるE-ファンクター間の自然変換です。
2つのEカテゴリ間のEファンクターは、デカルト射からデカルト射になる場合、デカルトファンクターと呼ばれます。2つのEカテゴリF、Gの間のデカルト関手は、射としての自然変換を使用して、カテゴリカートE（F、G）を形成します。アイデンティティファンクターを介してEをEカテゴリと見なすことにより、特別なケースが提供されます。次に、EからEカテゴリFへのデカルトファンクターはデカルトセクションと呼ばれます。したがって、デカルトセクションは、Eの各オブジェクトSに対してFSの1つのオブジェクトxSの選択で構成され、各射f：T Sに対して、逆画像m f ： xT xSの選択で構成されます。したがって、デカルトセクションは、 Eのオブジェクトに対する（厳密に）互換性のある逆像のシステムです。Fのデカルトセクションのカテゴリは、次のように表されます。L I m ⟵（（ F / E
）。= C a r t E（（ E F
）。 { { underset { longleftarrow} { mathrm {Lim}}}（F / E）= mathrm {Cart} _ {E}（E、F）。}
Eが末端オブジェクト eを持っている重要な場合（したがって、特にEがトポスまたはEにターゲットSを持つ矢印のカテゴリE / Sである場合）、ファンクターϵ ： L I m ⟵（（ F / E
）。F e s ↦ s（（ e ）。 { epsilon Colon { underset { longleftarrow} { mathrm {Lim}}}（F / E） to F_ {e}、 qquad s mapsto s（e）}
充満関手と完全に忠実である（Giraud（1964）の補題5.7）。

ファイバーカテゴリとクローブカテゴリ
ファイバーカテゴリの技術的に最も柔軟で経済的な定義は、デカルト射の概念に基づいています。これは、劈開に関する定義と同等であり、後者の定義は、実際にはグロタンディーク（1959）で提示された元の定義です。デカルト射に関する定義は、1960年から1961年にグロタンディーク（1971）で導入されました。
Eカテゴリφ：F Eは、終域が射影の範囲内にあるEの各射fに少なくとも1つの逆像がある場合、ファイバーカテゴリ（またはファイバーEカテゴリ、またはEでファイバー化されたカテゴリ）です。 Fの任意の2つの圏の射m、nの合成m∘nは、常に圏です。言い換えると、逆像が常に存在し（終域が射影の範囲内にある射の場合）、推移的である場合、 Eカテゴリはファイバーカテゴリです。
Eに終末オブジェクトeがあり、FがE上でファイバー化されている場合、デカルトセクションから前のセクションの最後で定義されたF eまでの関手εは、圏同値であり、さらにオブジェクトに対して全射です。
Fがファイバー化されたEカテゴリである場合、Eの各射f：T SおよびF Sの各オブジェクトyに対して、（選択公理を使用して）正確に1つの逆画像m：x を選択することが常に可能です。 y。このように選択された射のクラスは劈開と呼ばれ、選択された射は（劈開の）輸送射と呼ばれます。劈開を伴うファイバーカテゴリは、クローベンカテゴリと呼ばれます。輸送射がFのすべての同一性を含む場合、劈開は正規化と呼ばれます。これは、同一性射の逆像が同一性射として選択されることを意味します。明らかに、劈開が存在する場合は、正規化するように選択できます。以下では、正規化された劈開のみを検討します。
繊維化されたEカテゴリFの（正規化された）劈開の選択は、Eの射f：T Sごとに、オブジェクト上のファンクターf *：FS FT ：を指定します。対応する輸送射、および射では、それは、デカルト射の普遍性を定義することによって自然な方法で定義されます。EのオブジェクトSにファイバーカテゴリFSを関連付け、射fに逆像関数f *を関連付ける操作は、 Eからカテゴリのカテゴリへのほぼ反変のファンクターです。しかし、一般的には射の構成と厳密に通勤することはできません。代わりに、f：T Sおよびg：U TがEの射である場合、関手の同型が
cf g ： g ∗
f ∗ （（ f∘ g ）。 ∗ { c_ {f、g} Colon quad g ^ {*} f ^ {*} to（f circ g）^ {*}。}
これらの同型写像は、次の2つの互換性を満たします。 c f 私d T=c I d S f = I df ∗
{ c_ {f、 mathrm {id} _ {T}} = c _ { mathrm {id} _ {S}、f} = mathrm {id} _ {f ^ {*}}}
3つの連続した射
h g f： V U T S
{ h、g、f Colon quad V to U to T to S}

とオブジェクトX∈ F S
{ x in F_ {S}}

以下が成り立ちます：
cf g ∘ h ⋅ c g h（（ f ∗ （（ X ）。）。= c f ∘ g h（（ X
）。⋅ h ∗（（ c f g （（ X ）。）。 { c_ {f、g circ h} cdot c_ {g、h}（f ^ {*}（x））= c_ {f circ g、h}（x） cdot h ^ {*} （c_ {f、g}（x））。}
逆に、関手f *：FS FTのコレクションは、上記の互換性を満たす同型写像c f 、gとともに、クローブカテゴリを定義することを示すことができます（Grothendieck（1971）セクション8を参照）。これらの逆像関数のコレクションは、ファイバーカテゴリに関するより直感的なビューを提供します。実際、Grothendieck（1959）でファイバーカテゴリが導入されたのは、このような互換性のある逆像関数の観点からでした。
以下で言及されているグレイの論文は、これらのアイデアとスペースのファイブレーションの概念との類似点を示しています。
これらのアイデアは、以下で参照されるブラウンの論文に示されているように、亜群の場合に単純化されます。これは、亜群のファイブレーションから正確なシーケンスの有用なファミリーを取得します。

分割と分割ファイバーカテゴリ
2つの輸送射の構成が常に輸送射であるような（正規化された）劈開は分割と呼ばれ、分割のあるファイバーカテゴリは分割（ファイバー）カテゴリと呼ばれます。逆像関数に関して、分割であるという条件は、 Eの構成可能な射f、gに対応する逆像関数の合成がf∘gに対応する逆像関数に等しいことを意味します。言い換えると、前のセクションの互換性同型c f、gは、すべて分割カテゴリのIDです。したがって、分割されたEカテゴリは、 Eからカテゴリのカテゴリまでの真のファンクタに正確に対応します。
劈開とは異なり、すべてのファイバーカテゴリが分割を許可するわけではありません。例については、以下を参照して

共デカルト射と共繊維カテゴリー
上記の定義の矢印の方向を逆にして、共デカルト射、共繊維カテゴリー、および分割共繊維カテゴリー（または共分割カテゴリー）の対応する概念に到達することができます。より正確には、φ：F Eが関手である場合、 Fの射m：x yは、反対の関手φop：Fop Eopのデカルトである場合、共デカルトと呼ばれます。この場合、mは直接画像とも呼ばれ、yはf =φ（m ）のxの直接画像とも呼ばれます。共繊維化されたEカテゴリは、Eの各射に対して直接画像が存在し、直接画像の構成が直接画像であるようなEカテゴリです。共開裂と共分割も同様に定義され、逆像関数ではなく直接画像関手に対応します。

プロパティ

ファイバーカテゴリとスプリットカテゴリの2つのカテゴリ
固定カテゴリEでフィブリングされたカテゴリは、2つのカテゴリのフィブ（E）を形成します。ここで、2つのフィブリングされたカテゴリFとGの間の射のカテゴリは、 FからGまでのデカルト関手のカテゴリカートE（F、G）として定義されます。。
同様に、E上の分割カテゴリは、2つのカテゴリのScin （E）（Frenchcategoriescindéeから）を形成します。ここで、2つの分割されたカテゴリFとGの間の射のカテゴリは、 Eの完全なサブカテゴリScin E（F、G）です。 Fの各輸送射をGの輸送射に変換する関手からなるFからGまでの関手。分割されたEカテゴリのそのような各射は、 Eファイバーカテゴリの射でもつまり、 Scin E（F、G）⊂CartE （F、G）です。
分裂を単に忘れる自然な忘れがちな2次関数i：Scin（E） Fib（E ）が

同等の分割カテゴリの存在
すべてのファイバーカテゴリが分割を許可しているわけではありませんが、各ファイバーカテゴリは実際には分割カテゴリと同等です。実際、 Eを超える特定のファイバーカテゴリFに対して同等の分割カテゴリを構築するための2つの標準的な方法がより正確には、忘れられた2次関数i：Scin（E） Fib（E）は、右2随伴Sと左2随伴L（Giraud 1971の定理2.4.2と2.4.4）、およびS（F）とL（F）は、関連する2つの分割カテゴリです。随伴関手S（F） FおよびF L（F）は、デカルト座標と等価物の両方です（同上）。ただし、それらの構成S（F） L（F）は（カテゴリの、そして実際にはファイバーカテゴリの）同値ですが、一般に分割カテゴリの射ではありません。したがって、2つの構造は一般的に異なります。分割カテゴリの前述の2つの構造は、ファイバーカテゴリに関連付けられたスタック（特に、プレスタックに関連付けられたスタック）の構築で重要な方法で使用されます。

亜群に繊維状のカテゴリー
亜群でファイバー化されたカテゴリーと呼ばれるファイバー化されたカテゴリーに関連する構造がこれらはファイバーカテゴリですp ： F C
{ p：{ mathcal {F}} to { mathcal {C}}}

そのようなサブカテゴリの F { { mathcal {F}}}

によって与えられた
オブジェクトを修正するc ∈ Ob （ C ）。
{ c in { text {Ob}}（{ mathcal {C}}）}
サブカテゴリのオブジェクトは次のとおりです。X∈ Ob （ F ）。
{ x in { text {Ob}}（{ mathcal {F}}）}

どこ p （（ X
）。= c
{ p（x）= c}
矢印はによって与えられますf ：X y
{ f：x to y}

そのような p （（ f
）。= id c
{ p（f）= { text {id}} _ {c}}
で示される亜群ですF c
{ { mathcal {F}} _ {c}}

。Grothendieck構造の関連する2次関数は、スタックの例です。要するに、関連するファンクターF p
：C o p
亜群
{ F_ {p}：{ mathcal {C}} ^ {op} to { text {Groupoids}}}

オブジェクトを送信します c { c}

カテゴリにF c
{ { mathcal {F}} _ {c}}

、および射d c
{ d to c}

ファイバーカテゴリー構造からファンクターを誘導します。つまり、オブジェクトの場合X∈ Ob（（ F
c）。
{ x in { text {Ob}}（{ mathcal {F}} _ {c}）}

の対象と見なされる F { { mathcal {F}}}

、オブジェクトがありますy ∈ Ob（（ F）。
{ y in { text {Ob}}（{ mathcal {F}}）}

どこ p （（ y
）。= d
{ p（y）= d}

。この関連付けはファンクターを与えますF c F d
{ { mathcal {F}} _ {c} to { mathcal {F}} _ {d}}

これは亜群の関手です。

例

ファイバーカテゴリ
ファンクターOb：Cat Setは、オブジェクトのセットにカテゴリーを送信し、ファイブレーションです。セットSの場合、ファイバーはOb（C）= SのカテゴリーCで構成されます。デカルト矢印は完全に忠実な関手です。
矢印のカテゴリ：任意のカテゴリEについて、 Eの矢印A（E）のカテゴリは、オブジェクトとしてEの射を持ち、射としてEの可換正方形（より正確には、（f：X T）から（g：Y S ）は、 bf = ga ）となる射（a：X Y）と（b：T S）で構成されます。ターゲットに矢印を向けるファンクターは、A（E）をEカテゴリーにします。EのオブジェクトSの場合、ファイバーESはEのSオブジェクトのカテゴリE / Sです。つまり、ターゲットSを持つEの矢印です。A（ E ）のデカルト射は、正確にはEのデカルト正方形であるため、繊維製品がEに存在する場合、A（E）はE上で正確に繊維化されます。
繊維束：繊維製品は位相空間のトップのカテゴリに存在するため、前の例ではA（トップ）がトップ上にファイバー化されています。Fibがファイバーバンドルの投影マップである矢印で構成されるA（ Top ）の完全なサブカテゴリである場合、Fib SはS上のファイバーバンドルのカテゴリであり、FibはTop上でファイバー化されます。劈開の選択は、ファイバーバンドルの通常の逆像（またはプルバック）ファンクターの選択に相当します。
ベクトル束：前の例と同様に、実際の（複素）ベクトル束のベーススペースへの射影（ p：V S ）は、 Top（ベクトルを尊重するベクトル束の形態）上のカテゴリVect R（Vect C）を形成します。繊維の空間構造）。このトップカテゴリもファイバー化されており、逆像ファンクターはベクトル束の通常のプルバックファンクターです。これらのファイバーカテゴリは、 Fibの（完全ではない）サブカテゴリです。
位相空間上のシーブ：位相空間上のシーブの逆像関数は、位相空間S上のシーブのカテゴリSh（S ）を（劈開された）ファイバーカテゴリSh overTopにします。このファイバーカテゴリは、層のエタール空間で構成されるA（ Top ）の完全なサブカテゴリとして説明できます。ベクトル束と同様に、グループとリングの束もトップのファイバーカテゴリを形成します。
トポスの滑車：EがトポスでSがEのオブジェクトである場合、SオブジェクトのカテゴリE Sもトポスであり、Sの滑車のカテゴリとして解釈されます。f ：T SがEの射である場合、逆像関数f *は次のように記述できます。ES上の層FとET内のオブジェクトp：U Tの場合、f * F（U）が = Hom T（U、f * F）はHom S（f∘p、F）= F（U）に等しい。これらの逆画像により、カテゴリESがE上の分割ファイバーカテゴリになります。これは、特に位相空間の「大きな」トポスTOPに適用できます。
スキームの準連接層：準連接層は、スキームのカテゴリよりも繊維状のカテゴリを形成します。これは、ファイバーカテゴリを定義する動機付けの例の1つです。
分割を認めないファイバーカテゴリ：グループGは、1つのオブジェクトを持ち、 Gの要素が射であり、射の合成がグループ法によって与えられているカテゴリと見なすことができます。群準同型 f：G Hは、関手と見なすことができ、GをHカテゴリにします。この設定では、Gのすべての射がデカルトであることを確認できます。したがって、 fが全射の場合、 GはH上で正確に全射されます。この設定での分割は、fの（集合論的）セクションであり、厳密に合成と交換します。言い換えると、fのセクションは準同型でもしかし、群論でよく知られているように、これは常に可能であるとは限りません（非分割群拡大で射影を取ることができます）。
シーブの共同ファイバーカテゴリ：シーブの直接イメージファンクターは、位相空間上のシーブのカテゴリーを共同ファイバーカテゴリにします。直接画像の推移性は、これが自然に共同分割されていることを示しています。

亜群で繊維化されたカテゴリー
亜群にファイバー化されたカテゴリーの主な例の1つは、カテゴリーの内部にある亜群オブジェクトに由来します。 C { { mathcal {C}}}

。したがって、groupoidオブジェクトが与えられますX⇉ t s y
{ x { overset {s} { underset {t} { rightrightarrows}}} y}
関連するgroupoidオブジェクトがありますhX ⇉ t s h y
{ h_ {x} { overset {s} { underset {t} { rightrightarrows}}} h_ {y}}
逆変ファンクターのカテゴリーで
ホム _ （（ C o p セット）。 { { underline { text {Hom}}}（{ mathcal {C}} ^ {op}、{ text {Sets}}）}

米田の補題から。この図はオブジェクトに適用されているのでz ∈ Ob（（ C）。
{ z in { text {Ob}}（{ mathcal {C}}）}

セットの内部に亜群を与える hX （（ z
）。⇉ t s h y（（ z ）。 { h_ {x}（z）{ overset {s} { underset {t} { rightrightarrows}}} h_ {y}（z）}
関連する小さな亜群があります G { { mathcal {G}}}

。これにより、反変の2次関数が得られますF ： C o p
亜群
{ F：{ mathcal {C}} ^ {op} to { text {Groupoids}}}

、そしてグロタンディーク構造を使用して、これは亜群で繊維化されたカテゴリーを与えます C { { mathcal {C}}}

。オブジェクトのファイバーカテゴリは、セット内の元の亜群から関連付けられた亜群にすぎないことに注意して

グループ商
与えられたグループオブジェクト G { G}

オブジェクトに作用するX
{ X}

からa ： G Aut（（ X ）。 { a：G to { text {Aut}}（X）}

、関連付けられたgroupoidオブジェクトがあります G ××X⇉ s tX
{ G times X { underset {t} { overset {s} { rightrightarrows}}} {} X}
どこs ： G
××X X { s：G times X to X}

の投影ですX
{ X}

とt ： G
××X X { t：G times X to X}

構成マップです G ××X（（a id）。 Aut （（ X ）。 ××X（（ f X
）。 ↦ f（（ X
）。 X { G times X xrightarrow { left（a、{ text {id}} right）} { text {Aut}}（X） times X xrightarrow {（f、x） mapsto f （x）} X}

。この亜群は、示される亜群に繊維化された誘導カテゴリーを与えますp ： [X / G ] C
{ p： to { mathcal {C}}}

。

も参照してください
グロタンディーク建設
スタック（数学）
アーティンの基準

参考文献
ジロー、ジャン（1964）。「Méthodedeladescente」。MémoiresdelaSociétéMathématiquedeFrance。2：viii +150。
ジロー、ジャン（1971）。「Cohomologienonabélienne」。スプリンガー。ISBN 3-540-05307-7。 {{cite journal}}：
グロタンディーク、アレクサンドル（1959）。「Techniquededescenteetthéorèmesd’existenceengéométriealgébrique.I.Généralités.Descenteparmorphismesfidèlementplats」。セミネール・ブルバキ。5（Exposé190）：viii +150。
グレイ、ジョンW.（1966）。「Fibredおよびcofibredカテゴリ」。Proc。会議カテゴリ代数（カリフォルニア州ラホーヤ、1965年）。シュプリンガーバーラグ。pp。21–83。
Brown、R。、 “”Fibrations of groupoids”、J。Algebra 15（1970）103–132。
グロタンディーク、アレクサンドル（1971）。「Catégoriesfibréesetdescente」。Revêtementsétalesetgroupefondamental。シュプリンガーバーラグ。pp。145–194。arXiv：math / 0206203。Bibcode：2002math …… 6203G。
ベナボウ、ジャン（1985）。「ファイバーカテゴリーとナイーブ圏論の基礎」。Journal of SymbolicLogic。50（1）：10–37。土井：10.2307 / 2273784。JSTOR2273784 。_
ジェイコブズ、バート（1999）。内部言語と型理論。論理学と数学の基礎141.ノースホランド、エルセビア。ISBN 0-444-50170-3。
Angelo Vistoli、グロタンディーク位相幾何学、ファイバーカテゴリおよび降下理論に関する注記、arXiv：math.AG / 0412512。
ファイバーカテゴリàlaBénabou、Thomas Streicher
ファイブレーション、トポス理論、効果的なトポスと控えめなセットの紹介、ウェズリーフォア
R.ブラウンとR.シベラ、「繊維化されたカテゴリーと共繊維化されたカテゴリーを使用したホモトピー理論における代数的極限計算」、カテゴリーの理論と応用、22（2009）222–251。
R.Brown、PJ Higgins、R。Sivera、「Nonabelian Algebraic Topology：Filtered Spaces、Crossed Complexes、Cubic Omega-Groupoids」、European Mathematical Society、Tracts in Mathematics、Vol。15
、ISBN978-3-03719-083-8 。。

外部リンク
SGA1.VI-ファイバーカテゴリと降下-119〜153ページ
nLabでのグロタンディークのファイブレーション”