GCDドメイン – 日本の辞書

GCD_domain

数学では、GCD整域は、任意の2つの要素が最大公約数（GCD）を持つという特性を持つ整域 Rです。つまり、2つの与えられた要素によって生成された理想を含む一意の最小主イデアルが同様に、 Rの任意の2つの要素には、最小公倍数（LCM）が
GCDドメインは、一意の因数分解ドメイン（UFD）を次の意味で非ノエテリア設定に一般化します。整域は、主要な理想の昇順連鎖条件を満たすGCDドメインである場合に限り、UFDです（特に、Noetherianです）。
GCDドメインは、次のクラス包含のチェーンに表示されます。
rngs⊃リング⊃
可換リング⊃整域⊃ 整閉整
域⊃GCD整域⊃
固有因数分解ドメイン⊃
単項
イデアルドメイン⊃
ユークリッドドメイン⊃
フィールド⊃
代数的閉体

プロパティ
GCDドメインの既約元はすべて素数です。GCD整域は完全に閉じられており、ゼロ以外の要素はすべて主です。言い換えると、すべてのGCDドメインはシュライアードメインです。
GCDドメインRの要素x、yのすべてのペアについて、 xとyのGCDdとxとyのLCMmは、dm = xyになるように選択できます。または、xとyがゼロ以外の要素であり、dはxとyの任意のGCDdであり、xy / dはxとyのLCMであり、その逆も同様です。したがって、GCDとLCMの操作により、商R /〜が分配束になります。ここで、「〜」は関連要素であるという同値関係を示します。商R /〜はGCDドメインRの完全な格子である必要はないため、GCDの存在とLCMの存在の同等性は、完全な格子での同様の結果の結果ではありません。
RがGCDドメインの場合、多項式環R [ X 1、…、Xn ]もGCDドメインです。
Rは、その主イデアルの有限交叉が主である場合に限り、GCDドメインです。特に、（（ a
）。 ∩ （（ b
）。 = （（ c ）。 {（a） cap（b）=（c）}
${$
、どこ c { c}

のLCMです a { a}

と b { b}

。
GCDドメイン上のXの多項式の場合、その内容をすべての係数のGCDとして定義できます。次に、多項式の積の内容は、GCD整域で有効なガウスの補題で表されるように、それらの内容の積になります。

例
一意の因数分解ドメインはGCDドメインです。GCDドメインの中で、一意の因数分解ドメインは、正確にはアトミックドメインでもあります（つまり、ゼロ以外の非単位に対して、既約元への少なくとも1つの因数分解が存在します）。
ベズー整域（つまり、有限生成されたすべてのイデアルが主である整域）はGCD整域です。主イデアルドメイン（すべてのイデアルが主イデアルである）とは異なり、ベズー整域は一意の因数分解ドメインである必要はありません。たとえば、整関数のリングは非原子ベズー整域であり、他にも多くの例が整域は、ベズー整域である場合に限り、PrüferGCD整域です。
Rが非アトミックGCDドメインである場合、R は、一意の因数分解ドメイン（非アトミックであるため）でもベズードメイン（Xおよび非可逆であるため）でもないGCDドメインの例です。 Rの非ゼロ要素aは、1を含まないイデアルを生成しますが、それでも1はXとaのGCDです。より一般的には、任意のリングR [ X 1、…、Xn ]はこれらの特性を持っています。
可換モノイド環R [X ; S ]
{ R }

GCDドメインの場合 R { R}

GCDドメインであり、 S { S}

ねじれなしのキャンセル可能なGCD半群です。GCD-semigroupは、任意の追加プロパティを持つセミグループです。 a { a}
と b
{ b}

半群で S { S}

、存在する c { c}

そのような（（ a+ S
）。 ∩ （（ b+ S
）。= c + S
{（a + S） cap（b + S）= c + S}

。特に、 G { G}

アーベル群であり、R [X ; G ]
{ R }

GCDドメインの場合 R { R}

GCDドメインであり、 G { G}

ねじれなしです。
リング Z [ −d ]
{ mathbb {Z} [{ sqrt {-d}}]}

すべての平方フリー整数のGCDドメインではありませんd ≥ 3
{ d geq 3}

。

参考文献
^ スコット・T・チャップマン、サラ・グラズ（編）（2000）。非ネーター環論。数学とその応用。スプリンガー。p。 479。ISBN 0-7923-6492-9。 {{cite book}}：|author=一般名があります（ヘルプ）
^ gcdドメインが完全に閉じていることの証明、 PlanetMath.org
^ Robert W. Gilmer、可換半群リング、シカゴプレス大学、1984年、p。172。
^ アリ、マジッドM .; Smith、David J.（2003）、「Generalized GCD ring。II」、BeiträgezurAlgebra und Geometrie、44（1）：75–98、MR 1990985
。P. 84：「ベズー整域である場合に限り、整域がプリューファーGCD整域であり、プリューファー整域がGCD整域である必要がないことは容易に理解できます。」
^ ギルマー、ロバート; パーカー、トム（1973）、「半群リングの除算特性」、ミシガン数学ジャーナル、22（1）：65–86、MR 0342635
。
^ Mihet、Dorel（2010）、「非一意因数分解ドメイン（UFD）に関する注記」、Resonance、15（8）：737–739
。”