Gegenbauer_polynomials
数学では、ゲーゲンバウアー多項式または超球多項式 C（α）n（x）は、重み関数（1 − x 2）α –1/2に関して区間の直交多項式です。これらは、ルジャンドル多項式とチェビシェフ多項式を一般化し、ヤコビ多項式の特殊なケースです。それらはレオポルド・ゲゲンバウアーにちなんで名付けられました。
コンテンツ
1 特性評価
2 直交性と正規化
3 アプリケーション
4 も参照してください
5 参考文献
特性評価
α =1のゲーゲンバウアー多項式
α =2のゲーゲンバウアー多項式
α =3のゲーゲンバウアー多項式
nの最初の4つの値のxα平面上の多項式を示すアニメーション。
ゲーゲンバウアー多項式のさまざまな特性評価が利用可能です。
多項式は、母関数の観点から定義できます（Stein＆Weiss 1971、§IV.2）。 1 （（ 1− 2X t + t 2
）。α =
∑n = 0 ∞ C n（（ α）。 （ X ）。 t n { { frac {1} {（1-2xt + t ^ {2}）^ { alpha}}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} C_ {n} ^ {（ alpha）}（x）t^{n}。}
多項式は漸化式を満たします（Suetin 2001）：C 0 α（（ X
）。 1C 1 α（（ X
）。 2αX C n α（（ X
）。 1 n [ 2X（（ n+ α − 1
）。C n − 1 α（（ X
）。 − （（ n+ 2 α − 2
）。C n − 2 α（（ X ）。 ] { { begin {aligned} C_ {0} ^ { alpha}（x）＆= 1 \ C_ {1} ^ { alpha}（x）＆= 2 alpha x \ C_ {n} ^ { alpha}（x）＆= { frac {1} {n}} [2x（n + alpha -1）C_ {n-1} ^ { alpha}（x）-（n + 2 alpha -2）C_ {n-2} ^ { alpha}（x）]。 end {aligned}}}
ゲーゲンバウアー多項式は、ゲーゲンバウアー微分方程式の特定の解です（Suetin 2001）。（（ 1 −X 2）。
y″ −（（ 2α + 1 ）。X y′ + n（（ n+ 2 α
）。y = 0。
{（1-x ^ {2}）y”-（2 alpha +1）xy’+ n（n + 2 alpha）y = 0。、}