Ghirardi%E2%80%93Rimini%E2%80%93Weber_theory
Ghirardi –Rimini–Weber理論（GRW ）は、量子力学における自発的崩壊理論であり、1986年にGiancarlo Ghirardi、Alberto Rimini、およびTullioWeberによって提案されました。
コンテンツ
1 測定の問題と自発的な崩壊
2 理論
2.1 動作原理
3 例
4 増幅メカニズム
5 その他の機能
6 も参照してください
7 参考文献
測定の問題と自発的な崩壊
量子力学には、2つの根本的に異なる動的原理が線形で決定論的なシュレディンガー方程式と、非線形で確率的な波束の減少の仮定です。正統な解釈、または量子力学のコペンハーゲン解釈は、観測者が測定を実行するたびに波動関数が崩壊することを前提としています。したがって、「オブザーバー」と「測定」が何であるかを定義するという問題に直面します。量子力学のもう1つの問題は、自然界では観察されない巨視的な物体の重ね合わせを予測することです（シュレディンガーの猫のパラドックスを参照）。）。理論は、微視的世界と巨視的世界の間のしきい値がどこにあるか、つまり量子力学が古典力学にスペースを残すべきときを教え前述の問題は、量子力学における測定問題を構成します。
崩壊理論は、量子力学の2つの動的原理を独自の動的記述にマージすることにより、測定の問題を回避します。崩壊理論の根底にある物理的考え方は、粒子が自発的な波動関数の崩壊を起こすというものです。これは、時間（所定の平均速度）と空間（ボルンの規則による）の両方でランダムに発生します。したがって、波動関数が自発的に崩壊するため、正統な解釈を悩ます「観察者」と「測定」の不正確な話は避けられます。さらに、いわゆる「増幅メカニズム」（後で説明）のおかげで、崩壊理論は、微視的物体の量子力学と巨視的物体の古典力学の両方を回復します。
GRWは、考案された最初の自然崩壊理論です。次の年に、フィールドが開発され、さまざまなモデルが提案されました。その中で、CSLモデルは、同一の粒子に関して定式化されています。Diósi-Penroseモデル は、自発的な崩壊を重力に関連付けます。QMUPLモデル は、崩壊理論に関する重要な数学的結果を証明します。着色されたQMUPLモデル、 正確な解が知られている、着色された確率過程を含む唯一の崩壊モデル。
理論
GRW理論の最初の仮定は、波動関数（または状態ベクトル）が物理システムの状態の最も正確な可能な仕様を表すということです。これは、GRW理論が量子力学の標準的な解釈と共有する機能であり、波動関数が物理システムの完全な記述を与えないDeBroglie -Bohm理論のような隠れた変数理論とは区別されます。GRW理論は、波動関数が進化する動的原理の標準的な量子力学とは異なります。 GRW理論に関連するより哲学的な問題、および一般的な崩壊理論については、参照する必要が
動作原理
多粒子波動関数によって記述されるシステムの各粒子 ⟩ { | psi rangle}
自発的なローカリゼーションプロセス（またはジャンプ）を独立して受けます：| ψ ⟩ | X I ψXI | X I ⟩ { | psi rangle rightarrow { frac {| psi _ {x} ^ {i} rangle} { sqrt { langle psi _ {x} ^ {i} | psi _ {x } ^ {i} rangle}}}}
、
どこ| X I
⟩ = L^X I | ψ ⟩
{ | psi _ {x} ^ {i} rangle = { hat {L}} _ {x} ^ {i} | psi rangle}
演算子後の状態ですL ^X I
{ { hat {L}} _ {x} ^ {i}}
ローカライズしました I { i}
-位置の周りの5番目のパーティクルX
{ x}
。
ローカリゼーションプロセスは、空間と時間の両方でランダムです。ジャンプは、平均レートで時間的に分布したポアソン分布です。 λ { lambda}
; 位置でジャンプが発生する確率密度X
{ x}
は
P I （（ X
）。= ⟨ ψ
XI | ψ
XI ⟩
{ P_ {i}（x）= langle psi _ {x} ^ {i} | psi _ {x} ^ {i} rangle}
。
ローカリゼーション演算子にはガウス形式がL ^X I = （（ 1 π r C 2
）。3 4 − （（ q^ I − X ）。2 2r C 2 { { hat {L}} _ {x} ^ {i} = left（{ frac {1} { pi r_ {C} ^ {2}}} right）^ { frac {3 } {4}} e ^ {-{ frac {（{ hat {q}} _ {i} -x）^ {2}} {2r_ {C} ^ {2}}}}}
、
どこq ^ I
{ { hat {q}} _ {i}}
の位置演算子です I { i}
-番目の粒子、およびr C
{ r_ {C}}
ローカリゼーション距離です。
2つの局在化プロセスの間で、波動関数はシュレディンガー方程式に従って進化します。
これらの原則は、統計演算子の形式を使用して、よりコンパクトな方法で表現できます。ローカリゼーションプロセスはポアソン分布であるため、時間間隔でd t
{ dt}
確率がありますλ d t
{ lambda dt}
崩壊が起こること、すなわち純粋な状態ρ = | ψ ⟩ ⟨ ψ | { rho = | psi rangle langle psi |}
次の統計的混合に変換されます。T ^ I
[ ρ] ≡ ∫ dX L ^X I| ψ ⟩ ⟨ ψ | ^X I { { hat {T}} _ {i} equiv int dx 、{ hat {L}} _ {x} ^ {i} | psi rangle langle psi | { hat {L}} _ {x} ^ {i}}
。
同じ時間間隔で、確率があります1 − λ d t
{ 1- lambda dt}
システムはシュレディンガー方程式に従って進化し続けます。したがって、GRWマスター方程式は N { N}
粒子は読み取りますd d t ρ（（ t
）。= − I ℏ [ H ^ ρ（（ t
）。] − ∑ I = 1 Nλ I（（ ρ （ t ）。 − T^ I ）。 { { frac {d} {dt}} rho（t）=-{ frac {i} { hbar}} [{ hat {H}}、 rho（t）]- sum _ {i = 1} ^ {N} lambda _ {i} left（ rho（t）-{ hat {T}} _ {i} right）}
、
どこH ^
{ { hat {H}}}
はシステムのハミルトニアンであり、角括弧は整流子を示します。
2つの新しいパラメータ、すなわち崩壊率がGRW理論によって導入されました λ { lambda}
とローカリゼーション距離r C
{ r_ {C}}
。これらは現象論的パラメータであり、その値はいかなる原理によっても固定されておらず、自然の新しい定数として理解されるべきです。モデルの予測を実験データと比較することで、パラメーターの値を制限できます（CSLモデルを参照）。崩壊率は、微視的な物体がほとんど局在化しないようなものでなければならず、したがって、標準的な量子力学を効果的に回復します。最初に提案された価値はλ = 10
−6 − 1
{ lambda = 10 ^ {-16} mathrm {s} ^ {-1}}
、一方で、最近ではスティーブンL.アドラーがλ = 10
− − 1
{ lambda = 10 ^ {-8} mathrm {s} ^ {-1}}
（2桁の不確実性で）より適切です。価値については一般的なコンセンサスがありますr C 10 −
7 m { r_ {C} = 10 ^ {-7} mathrm{m}}
ローカリゼーション距離。これはメゾスコピック距離であり、微視的な重ね合わせは変更されずに残され、巨視的な重ね合わせは折りたたまれます。
例
波動関数が突然のジャンプに見舞われた場合、ローカリゼーション演算子の動作により、本質的に波動関数に崩壊ガウス関数が乗算されます。
広がりのあるガウス波動関数を考えてみましょう σ { sigma}
、を中心にX= a
{ x = a}
、そしてこれがその位置でローカリゼーションプロセスを経ると仮定しましょうX= a
{ x = a}
。したがって、1つは（一次元で）持っています ψ （（ X
）。= 1（（ π σ ）。1 4e −（（ X − a
）。2 2σ 2 ⟶ ψ a （ X ）。 = L^X = a ψ（（ X
）。= N e −（（ X − a
）。2 2r C
2e −（（ X − a
）。2 2σ 2
{ psi（x）= { frac {1} {（ pi sigma）^ { frac {1} {4}}}} 、e ^ {-{ frac {（xa）^ { 2}} {2 sigma ^ {2}}}} quad longrightarrow quad psi _ {a}（x）= { hat {L}} _ {x = a} 、 psi（x） = { cal {N}} e ^ {-{ frac {（xa）^ {2}} {2r_ {C} ^ {2}}}} 、e ^ {-{ frac {（xa）^ {2}} {2 sigma ^ {2}}}}}
、
どこ N { { cal {N}}}
は正規化係数です。さらに、初期状態が非ローカライズされている、つまりσ ≫ r C
{ sigma gg r_ {C}}
。この場合、ψ a （ X ）。≃ N ′
e − （（ X − a
）。2 2r C 2 { psi _ {a}（x） simeq { cal {N}}’e ^ {-{ frac {（xa）^ {2}} {2r_ {C} ^ {2}}}} }
、
どこN ′
{ { cal {N}}’}
もう1つの正規化係数です。したがって、突然のジャンプが発生した後、最初に非局在化された波動関数が局在化されたことがわかります。
もう1つの興味深いケースは、初期状態が2つのガウス状態の重ね合わせである場合です。X= − a
{ x = -a}
とX= a
{ x = a}
それぞれ： ψ （（ X ）。 =1 2（（ π σ ）。1 4
[ e − （（ X+ a
）。2 2 σ 2+ e − （（ X− a
）。2 2 σ 2 ] { psi（x）= { frac {1} {2（ pi sigma）^ { frac {1} {4}}}} 、 left [e ^ {-{ frac {（ x + a）^ {2}} {2 sigma ^ {2}}}} + e ^ {-{ frac {（xa）^ {2}} {2 sigma ^ {2}}}} right ]}
。ローカリゼーションが発生した場合X= a
{ x = a}
1つは持っていますψ a （ X ）。= N e −（（ X − a
）。2 2r C 2 [ e − （（ X+ a
）。2 2 σ 2+ e − （（ X− a
）。2 2 σ 2] = N [ e − σ 2+ r C2 2 σ
2r C 2（（ X+ σ
2− r C 2 σ
2+ r C 2 a
）。2 − 2 a 2 σ
2+ r C 2 + e
− σ 2+ r C2 2 σ
2r C 2（（ X− a
）。2 ]
{ psi _ {a}（x）= { cal {N}} e ^ {-{ frac {（xa）^ {2}} {2r_ {C} ^ {2}}}} left [e ^ {-{ frac {（x + a）^ {2}} {2 sigma ^ {2}}}} + e ^ {-{ frac {（xa）^ {2}} {2 sigma ^ {2}}}} right] = { cal {N}} left [e ^ {-{ frac { sigma ^ {2} + r_ {C} ^ {2}} {2 sigma ^ {2} r_ {C} ^ {2}}} 、 left（x + { frac { sigma ^ {2}-r_ {C} ^ {2}} { sigma ^ {2} + r_ { C} ^ {2}}} a right）^ {2}-{ frac {2a ^ {2}} { sigma ^ {2} + r_ {C} ^ {2}}}} + e ^ { -{ frac { sigma ^ {2} + r_ {C} ^ {2}} {2 sigma ^ {2} r_ {C} ^ {2}}} 、（xa）^ {2}} 正しい]}
。
各ガウス分布がローカライズされていると仮定した場合（ σ≪ r C
{ sigma ll r_ {C}}
）そして全体的な重ね合わせが非局在化されていること（ 2a ≫ r C
{ 2a gg r_ {C}}
）、1つが見つかりますψ a （ X ）。≃ N ′ e − （（ X+ a
）。2 2 σ 2− 2 a 2 r C 2+ e − （（ X− a
）。2 2 σ 2 ] { psi _ {a}（x） simeq { cal {N}}’ left [e ^ {-{ frac { left（x + a right）^ {2}} {2 シグマ^{2}}}-{frac {2a ^ {2}} {r_ {C} ^ {2}}}} + e ^ {-{ frac {（xa）^ {2}} {2 シグマ^{2}}}}right]}
。
したがって、ローカリゼーションによってヒットされたガウス分布は変更されないままであり、もう一方は指数関数的に抑制されていることがわかります。
増幅メカニズム
これは、巨視的なオブジェクトの古典力学を回復できるため、GRW理論の最も重要な機能の1つです。の剛体を考えてみましょう N { N}
統計演算子が上記のマスター方程式に従って進化する粒子。重心を紹介します（ Q ^ { { hat {Q}}}
）および相対（ r^ I
{ { hat {r}} _ {i}}
）位置演算子。これにより、各パーティクルの位置演算子を次のように書き直すことができます。q ^ I=Q ^ + ^ I { { hat {q}} _ {i} = { hat {Q}} + { hat {r}} _ {i}}
。システムハミルトニアンを重心ハミルトニアンに分割できる場合、H C M
{ H _ { mathrm {CM}}}
と相対ハミルトニアンH r
{ H_ {r}}
、重心統計演算子ρ C M
{ rho _ { mathrm {CM}}}
次のマスター方程式に従って進化します。d d t
ρC M（（ t
）。= − I ℏ [H ^ C
M ρC M（（ t
）。] − ∑ I = 1 Nλ I（（ ρC M（（ t
）。 − T^ C M
[ ρC M（（ t ）。 ]）。
{ { frac {d} {dt}} rho _ { mathrm {CM}}（t）=-{ frac {i} { hbar}} [{ hat {H}} _ { mathrm {CM}}、 rho _ { mathrm {CM}}（t）]- sum _ {i = 1} ^ {N} lambda _ {i} left（ rho _ { mathrm {CM }}（t）-{ hat {T}} _ { mathrm {CM}} [ rho _ { mathrm {CM}}（t）] right）}
、
どこT ^ C M
[ ρC M（（ t
）。] =（（ 1 π r C 2
）。3 2 ∞ ∞d3 e − （ Q ^
）。2 2r C
2ρ C M（（ t
）。e − （ Q ^
）。2 2r C 2 { { hat {T}} _ { mathrm {CM}} [ rho _ { mathrm {CM}}（t）] = left（{ frac {1} { pi r_ {C} ^ {2}}} right）^ { frac {3} {2}} int _ { infty} ^ { infty} d ^ {3} x 、e ^ {-{ frac {（{ hat {Q}}-x）^ {2}} {2r_ {C} ^ {2}}}} 、 rho _ { mathrm {CM}}（t）、e ^ {-{ frac {（{ hat {Q}}-x）^ {2}} {2r_ {C} ^{2}}}}}
。
したがって、重心が一定の割合で崩壊することがわかります。 Λ { Lambda}
それはその構成要素の割合の合計です：これは増幅メカニズムです。簡単にするために、すべての粒子が同じ速度で崩壊すると仮定します λ { lambda}
、1つは単に取得しますΛ = N λ
{ Lambda = N 、 lambda}
。
アボガドロの核子の数で構成されるオブジェクト（ N
≃10 23
{ N simeq 10 ^ {23}}
）ほぼ瞬時に崩壊：GRWとアドラーの値 λ { lambda}
それぞれ与える Λ =10 7s − 1 { Lambda = 10 ^ {7} 、 mathrm {s} ^ {-1}}
と Λ =10 15s − 1 { Lambda = 10 ^ {15} 、 mathrm {s} ^ {-1}}
。したがって、巨視的オブジェクトの重ね合わせの高速な削減が保証され、GRW理論は巨視的オブジェクトの古典力学を効果的に回復します。
その他の機能
GRW理論の他の興味深い機能を簡単に確認します。
GRW理論は、標準の量子力学とは異なる予測を行うため、それに対してテストすることができます（CSLモデルを参照）。
崩壊ノイズは粒子を繰り返し蹴り、拡散プロセス（ブラウン運動）を引き起こします。これにより、システムに一定量のエネルギーが導入され、省エネの原則に違反することになります。GRWモデルの場合、エネルギーが速度に比例して増加することを示すことができますλ ℏ
2 / 4m r C 2
{ lambda hbar ^ {2} / 4mr_ {C} ^ {2}}
、巨視的なオブジェクトの場合、≃ 10 − 14 e r gs − 1
{ simeq 10 ^ {-14} mathrm {erg 、、s} ^ {-1}}
。このようなエネルギーの増加はごくわずかですが、モデルのこの機能は魅力的ではありません。このため、GRW理論の散逸的拡張が調査されました。
GRW理論では、同一の粒子は使用できません。同種粒子による理論の拡張がTumulkaによって提案されました。
GRWは非相対論的理論であり、相互作用する粒子の相対論的拡張はTumulka によって調査されていますが、相互作用するモデルはまだ調査中です。
GRW理論のマスター方程式は、統計演算子の非対角要素が指数関数的に抑制されるデコヒーレンスプロセスを記述します。これは、GRW理論が他の崩壊理論と共有する機能です。ホワイトノイズを含むものはリンドブラッドマスター方程式に関連付けられており、色付きのQMUPLモデルは非マルコフガウスマスター方程式に従います。
も参照してください
量子デコヒーレンス
ペンローズ解釈
量子力学の解釈
参考文献
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