Goddard%E2%80%93Thorn_theorem
には、
数学、特に弦理論の数学的背景では、ゴダード・ソーンの定理（ゴーストなしの定理とも呼ばれます）は、ボソン弦を量子化する関手の特性を説明する定理です。ピーター・ゴダードとチャールズ・ソーンにちなんで名付けられました。
「ゴーストなしの定理」という名前は、定理の元のステートメントでは、出力ベクトル空間に誘導される自然な内積が正定値であるという事実に由来しています。したがって、いわゆるゴースト（Pauli–Villarsゴースト）や負のノルムのベクトルはありませんでした。「ノーゴー定理」という名前は、量子力学のノーゴー定理の言葉遊びでも
フォーマリズム
ボソン弦を量子化するために通常使用される2つの自然同型ファンクターがどちらの場合も、中心電荷26のヴィラソロ代数の正のエネルギー表現で始まり、ビラソロ不変の双線形形式を備え、最後に双線形形式を備えたベクトル空間で終わります。ここで、「ビラソロ不変」とは、すべての整数nについてLnがL−nに随伴することを意味します。
最初の関手は歴史的に「古い正準量子化」であり、双線形形式の部首による重み1の一次部分空間の商を取ることによって与えられます。ここで、「一次部分空間」は、すべての厳密に正のnに対してL nによって消滅するベクトルのセットであり、「重み1」は、L0が同一性によって作用することを意味します。2番目の、自然に同型の関手は、次数1のBRSTコホモロジーによって与えられます。BRSTコホモロジーの古い処理では、BRST電荷の選択の変更により次数が変化することが多いため、1995年以前の論文やテキストで次数-1/2のコホモロジーが見られる場合がポルチンスキーの弦理論テキストのセクション4.4に
ゴダード・ソーンの定理は、1971年にラブレースによって推測されたように、この量子化関手が2つの自由ボソンの追加を多かれ少なかれキャンセルするという主張に相当します。発振器の。数学的には、これは次の主張です。
VをVirasoro不変双線形形式の中心電荷24の単位化可能なVirasoro表現とし、π1，1λをR1，1の非ゼロベクトルλに付加されたR1，1ハイゼンベルクリー代数の還元不可能なモジュールとします。次に、量子化中のV⊗π1，1λの画像は、L 0が1-（λ、λ）によって作用するVの部分空間と正準同型です。
Vの正定エルミート構造が量子化の下で画像に転送されるため、ゴーストなしのプロパティがすぐに続きます。
アプリケーション
ここで説明するボソン弦量子化関数は、中心電荷26の任意の共形頂点代数に適用でき、出力は当然リー代数構造になります。次に、ゴダード・ソーンの定理を適用して、入力頂点代数の観点からリー代数を具体的に記述することができます。
おそらく、このアプリケーションの最も壮観なケースは、リチャードボーチャーズによる巨大な密造酒の推測の証明です。ここで、統一可能なヴィラソロ表現は、フレンケル、レポウスキー、およびマーマンによって構築されたモンスター頂点代数（「密造酒モジュール」とも呼ばれます）です。頂点代数がランク2の双曲線格子に付加されたテンソル積を取り、量子化を適用することにより、格子によって等級付けされた一般化されたカッツ・ムーディ代数であるモンスターリー代数が得られます。ゴダード・ソーンの定理を使用することにより、ボーチャーズは、リー代数の均質な部分が、モンスターの単純なグループの表現として、ムーンシャインモジュールの段階的な部分と自然に同型であることを示しました。
初期のアプリケーションには、ディンキン図形がリーチ格子であるカッツ・ムーディ代数のルート多重度の上限のフレンケルの決定、およびフレンケルのリー代数を含み、フレンケルの1 /Δ境界を飽和させる一般化されたカッツ・ムーディリー代数のボーチャーズの構築が含まれます。 。
参考文献
ボーチャーズ、リチャードE（1990）。「モンスターリー代数」。数学の進歩。83（1）：30–47。土井：10.1016 / 0001-8708（90）90067-w。ISSN0001-8708 。_
ボーチャーズ、リチャードE.（1992）。「巨大な月光と巨大な超リー代数」 （PDF）。発明数学。シュプリンガーサイエンスアンドビジネスメディアLLC。109（1）：405–444。Bibcode：1992InMat.109..405B。土井：10.1007/bf01232032。ISSN0020-9910 。_ S2CID16145482 。_
I.フレンケル、カッツ・ムーディ代数の表現と双対共鳴モデル理論物理学における群論の応用、Lect。Appl。算数。21 AMS（1985）325–353。
ゴダード、P .; ソーン、CB（1972）。「双対共鳴モデルにおけるユニタリー性とゴーストの不在との二重ポメロンの互換性」。物理学の手紙B。エルゼビアBV。40（2）：235–238。Bibcode：1972PhLB…40..235G。土井：10.1016 / 0370-2693（72）90420-0。ISSN0370-2693 。_
Lovelace、C.（1971）「ポメロンフォームファクターとデュアルレッグカット」。物理学の手紙B。エルゼビアBV。34（6）：500–506。Bibcode：1971PhLB…34..500L。土井：10.1016 / 0370-2693（71）90665-4。ISSN0370-2693 。_
ポルチンスキー、ジョセフ（1998）。弦理論。アメリカ合衆国科学アカデミー紀要。巻 95.ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。pp。11039–40。土井：10.1017/cbo9780511816079。ISBN 978-0-511-81607-9。PMC33894 。_ PMID9736684 。_