ゴドゥノフの定理

Godunov’s_theorem
数値解析と数値流体力学では、ゴドゥノフの定理（ゴドゥノフの次数障壁定理としても知られています）は、偏微分方程式の数値解法の高解像度スキームの理論の開発において重要な数学的定理です。
定理は次のように述べています。
新しい極値を生成しないという特性を持つ偏微分方程式（PDE）を解くための線形数値スキーム（単調スキーム）は、せいぜい一次精度である可能性が
セルゲイ・K・ゴドゥノフ教授は当初、この定理を博士号として証明しました。モスクワ州立大学の学生。これは、応用数学および数値数学の分野で最も影響力のある研究であり、特に計算流体力学（CFD）やその他の計算分野で使用される方法の開発において、科学と工学に大きな影響を与えてきました。彼の主な貢献の1つは、彼の名を冠した定理（Godunov、1954; Godunov、1959）を証明することでした。

コンテンツ
1 定理
2 も参照してください
3 参考文献
4 参考文献

定理
通常、Wesseling（2001）に従います。
脇白
偏微分方程式によって記述された連続体問題が、均一な計算グリッドと、暗黙的または明示的な1ステップの一定のステップサイズのMグリッドポイントの積分アルゴリズムに基づく数値スキームを使用して計算されると仮定します。その後、X j =j ΔX
{ x_ {j} = j 、 Delta x}

 とt n=n Δ t
{ t ^ {n} = n 、 Delta t}

 、そのようなスキームは、 ∑ m= 1 M β m
φφ
j+ m n + 1 = ∑
m= 1 M α m
φφj + m
n （（ 1 ）。 { sum Limits _ {m = 1} ^ {M} { beta _ {m}} varphi _ {j + m} ^ {n + 1} = sum Limits _ {m = 1} ^ {M} { alpha _ {m} varphi _ {j + m}^{n}}。quad quad（1）}
  言い換えれば、ソリューション
φφj n + 1
{ varphi _ {j} ^ {n + 1}}

 当時のn + 1
{ n + 1}

 と場所 j { j}

 前のタイムステップでの解の線形関数です n { n}

 。私たちはβ m
{ beta _ {m}}

 決定する
φφj n + 1
{ varphi _ {j} ^ {n + 1}}

 ユニークに。さて、上記の方程式は
φφj n
{ varphi _ {j} ^ {n}}

 と
φφj n + 1
{ varphi _ {j} ^ {n + 1}}

 線形変換を実行して、次の同等の形式を取得できます。
φφ
jn + 1 = ∑
mM γ m
φφj + m
n （（ 2 ）。 { varphi _ {j} ^ {n + 1} = sum Limits _ {m} ^ {M} { gamma _ {m} varphi _ {j + m}^{n}}。 quad quad（2）}
  定理1： 単調性の維持
上記の式（2）のスキームは、次の場合にのみ単調性を維持します。 γ m ≥ 0 ∀
m （（ 3 ）。 { gamma _ {m} geq 0、 quad forallm。quad quad（3）}
  証明-ゴドゥノフ（1959）
ケース1:(十分な状態）（3）が適用され、
φφj n
{ varphi _ {j} ^ {n}}

 で単調に増加しています j { j}

 。
それでは、
φφj n ≤ φφj + 1 n
≤⋯ ≤
φφj + m n
{ varphi _ {j} ^ {n} leq varphi _ {j + 1} ^ {n} leq cdots leq varphi _ {j + m} ^ {n}}

 したがって、次のようになります
φφj n +1 φφj + 1 n+1 ⋯ ≤
φφj + m n + 1
{ varphi _ {j} ^ {n + 1} leq varphi _ {j + 1} ^ {n + 1} leq cdots leq varphi _ {j + m} ^ {n + 1 }}

 なぜなら
φφ
jn + 1 −
φφ
j− 1 n + 1 = ∑
mM γ m（（ φφ
j+ m n −
φφ
j+ m − 1 n
）。≥ 0。（（ 4 ）。 { varphi _ {j} ^ {n + 1}- varphi _ {j-1} ^ {n + 1} = sum Limits _ {m} ^ {M} { gamma _ {m} left（{ varphi _ {j + m} ^ {n}- varphi _ {j + m-1} ^ {n}} right）} geq 0. quad quad（4）}
  これは、この場合、単調性が維持されることを意味します。
ケース2:(必要な条件）
矛盾して必要条件を証明します。と仮定するγ p { gamma _ {p} ^ {}
 いくつかのための p { p}

 次の単調増加を選択します
φφj n
{ varphi _ {j} ^ {n} quad}
 、 φφ
In =
0 私 φφ
In =
1 私 ≥ k （（ 5 ）。 { varphi _ {i} ^ {n} = 0、 quad i   次に、式（2）から次のようになります。
φφ
jn + 1 −
φφ
j− 1 n + 1 = ∑
mM γ m（（ φφj + m n − φφj + m −
1 n ）。 = {{
0 [ j+ m ≠ k ] γ
m [ j+ m = k ]（（ 6 ）。 { varphi _ {j} ^ {n + 1}- varphi _ {j-1} ^ {n + 1} = sum Limits _ {m} ^ {M} { gamma _ {m} } left（{ varphi _ {j + m} ^ {n}- varphi _ {j + m-1} ^ {n}} right）= left {{ begin {array} {* { 20} c} {0、}＆{ left [{j + m neq k} right]} \ { gamma _ {m}、}＆{ left [{j + m = k} right ]} \ end {array}}right。quad quad（6）}
  今選択j = k − p
{ j = kp}

 、与える
φφ
k− p n + 1 −
φφ
k− p − 1 n + 1= γ p（（ φφ
kn −
φφ
k− 1 n
）。   これは、
φφj n + 1
{ varphi _ {j} ^ {n + 1}}

 増加しておらず、矛盾がしたがって、単調性は保持されませんγ p 0
{ gamma _ {p}
 、これで証明が完成します。
定理2： ゴドゥノフの秩序障壁定理
対流方程式の線形1ステップ2次の正確な数値スキーム ∂ φφ∂ t + c ∂
φφ∂X = 0 t
>>0 X ∈ R（（ 10 ）。 { {{ partial varphi} over { partial t}} + c {{ partial varphi} over { partial x}} = 0、 quad t> 0、 quad x in mathbb {R} quad quad（10）}
0， quad x in mathbb{R} quad quad (10)””>   単調性を維持することはできませんσ = | c |
Δt X ∈
N （（ 11 ）。 { sigma = left | c right | {{ Delta t} over { Delta x}} in mathbb {N}、 quad quad（11）}
  どこ σ { sigma}

 署名されたCourant–Friedrichs–Lewy条件（CFL）番号です。
証明-ゴドゥノフ（1959）
式（2）で記述される形式の数値スキームを想定し、次のように選択します。
φφ（（ 0 X
）。 = （（ X ΔX −1 2
）。2 − 1
4 φφ 0 = （（j
−1 2
）。2 − 1
4 （（ 12 ）。 { varphi left（{0、x} right）= left（{{x over { Delta x}}-{1 over 2}} right）^ {2}-{1 over 4}、 quad varphi _ {j} ^ {0} = left（{j- {1 over 2}} right）^ {2}-{1 over4}。quad quad（ 12）}
  正確な解決策は
φφ（（ t X
）。 = （（ X− c t X
−1 2
）。2 − 1
4 （（ 13 ）。 { varphi left（{t、x} right）= left（{{{x-ct} over { Delta x}}-{1 over 2}} right）^ {2} -{1 over4}。quad quad（13）}
  スキームが少なくとも2次精度であると仮定すると、次のソリューションが正確に生成されるはずです。
φφ 1 = （（j− σ
−1 2
）。2 − 1
4 φφ 0 = （（j
−1 2
）。2 − 1
4 （（ 14 ）。 { varphi _ {j} ^ {1} = left（{j- sigma-{1 over 2}} right）^ {2}-{1 over 4}、 quad varphi _ {j} ^ {0} = left（{j- {1 over 2}} right）^ {2}-{1 over4}。quad quad（14）}
  式（2）に代入すると、次のようになります。（（j− σ
−1 2
）。 2 −1 4= ∑
mM γ m {{ （（ j+ m
−1 2
）。 2 −1 4
} （（ 15 ）。 { left（{j- sigma-{1 over 2}} right）^ {2}-{1 over 4} = sum Limits _ {m} ^ {M} { gamma _ {m} left {{ left（{j + m- {1 over 2}} right）^ {2}-{1 over 4}} right}}。quad quad（15 ）}
  スキームが単調性を維持していると仮定すると、上記の定理1に従って、γ m 0
{ gamma _ {m} geq 0}

 。
さて、式（15）から明らかです。（（j− σ
−1 2
）。 2 −1 4 ≥ 0 ∀
j （（ 16 ）。 { left（{j- sigma-{1 over 2}} right）^ {2}-{1 over 4} geq 0、 quad forallj。quad quad（16） }
  推定 σ >>
0 σ∉ N
{ sigma> 0、 quad sigma notin mathbb {N}}
0，quad sigma notin mathbb {N} }””>
 と選択します j { j}

 そのような j >> σ >>（（ j − 1）。
{ j> sigma> left（j-1 right）}
sigma >left(j-1right)}””>
 。これは、（（ j − σ ）。 >> 0 { left（{j- sigma} right）> 0}
0}””>
 と（（ j
−
1）。 { left（{j- sigma -1} right）
 。
したがって、次のようになります。（（j− σ
−1 2
）。 2 −1 4 = （（ j − σ）。（（ j− σ − 1
）。   これは式（16）と矛盾し、証明を完成させます。
それによって例外的な状況σ = | c | Δ tΔX ∈ N
{ sigma = left | c right | {{ Delta t} over { Delta x}} in mathbb {N}}

 これは可変係数では実現できないため、理論的にのみ重要です。また、1より大きい整数のCFL数は、実際の問題には適し

も参照してください
有限体積法
フラックスリミッター
全変動減少

参考文献
ゴドゥノフ、セルゲイK.（1954）、博士号 論文：衝撃波のさまざまな方法、モスクワ州立大学。
Godunov、Sergei K.（1959）、流体力学方程式の不連続解の数値解法の差分スキーム、Mat。Sbornik、47、271-306、翻訳されたUSJointPubl。解像度 サービス、JPRS 7226、1969。
Wesseling、Pieter（2001）、Principles of Computational Fluid Dynamics、Springer-Verlag。

参考文献
Hirsch、C.（1990）、Numerical Computation of Internal and External Flows、vol 2、Wiley。
Laney、Culbert B.（1998）、Computational Gas Dynamics、CambridgeUniversityPress。
Toro、EF（1999）、Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics、Springer-Verlag。
Tannehill、John C.、et al。、（1997）、Computational Fluid mechanics and Heat Transfer、2nd Ed。、TaylorandFrancis。”