上がったり下がったり

Going_up_and_going_down
可換環論では、数学の一分野である上昇と下降は、積分拡張における素イデアルの連鎖の特定の特性を指す用語です。
上がるという表現は、「上向きの包含」によってチェーンを伸ばすことができる場合を指し、下向きという表現は、「下向きの包含」によってチェーンを伸ばすことができる場合を指します。
主な結果は、アーヴィンS.コーエンとアブラハムサイデンバーグによって証明されたコーエン-サイデンバーグの定理です。これらは、上昇定理と下降定理として知られています。

コンテンツ
1 上がったり下がったり
1.1 横になって比較できない 1.2 上がっていく 1.3 下っていく
2 上昇と下降の定理
3 参考文献

上がったり下がったり
A⊆Bを可換環の延長とし ます 。
上昇と下降の定理は、Bの素イデアルのチェーンに十分な条件を与えます。各メンバーは、 Aの素イデアルのより長いチェーンのメンバーの上にあり、チェーンの長さまで拡張できます。Aの素イデアルの。

横になって比較できない
まず、いくつかの用語を修正します。もしも p { { mathfrak {p}}}

 と q { { mathfrak {q}}}

 それぞれAとBの素イデアルであり、q ∩ A = p
{ { mathfrak {q}} cap A = { mathfrak {p}}}
  （ご了承ください q ∩ A { { mathfrak {q}} cap A}

 は自動的にAの素イデアルです）そして私達はそれを言います p { { mathfrak {p}}}

  下にある q { { mathfrak {q}}}

 そしてそれ q { { mathfrak {q}}}

  上にある p { { mathfrak {p}}}

 。一般に、可換環の環 拡大A⊆B は、すべての素イデアルが理想的な場合、横になっている特性を満たすと言われています。 p { { mathfrak {p}}}

 のAはいくつかの素イデアルの下にあります q { { mathfrak {q}}}

 Bの 。
拡張子A⊆Bは、いつでも比較不可能な特性 を 満たすと言われています q { { mathfrak {q}}}

 とq ′
{ { mathfrak {q}}’}

 素数の上に横たわるBの異なる素数です p { { mathfrak {p}}}

 Aで、その後 q { { mathfrak {q}}}

  ⊈ q ′
{ { mathfrak {q}}’}

 とq ′
{ { mathfrak {q}}’}

  ⊈  q { { mathfrak {q}}}

 。

上がっていく
環拡大 A⊆B は、いつでも上昇特性を満たすと言われていますp 1 ⊆ p 2 ⊆ ⋯⋯ ⋯ ⊆ p n
{ { mathfrak {p}} _ {1} subseteq { mathfrak {p}} _ {2} subseteq ！！; cdots cdots cdots ！！、 subseteq { mathfrak {p}} _ {n}}
  Aとの素イデアルの連鎖ですq 1 ⊆ q 2 ⊆ ⋯⊆ q m
{ { mathfrak {q}} _ {1} subseteq { mathfrak {q}} _ {2} subseteq cdots subseteq { mathfrak {q}} _ {m}}
  は、 m < nで次のようなBの素イデアルの連鎖です。q I
{ { mathfrak {q}} _ {i}}

 上にあるp I
{ { mathfrak {p}} _ {i}}

 1≤i≤m の 場合 、後者のチェーンをチェーンに拡張できますq 1 ⊆ q 2 ⊆ ⋯
⊆q m ⊆ ⋯ ⊆ q n
{ { mathfrak {q}} _ {1} subseteq { mathfrak {q}} _ {2} subseteq cdots subseteq { mathfrak {q}} _ {m} subseteq cdots subseteq { mathfrak {q}} _ {n}}
  そのようなq I
{ { mathfrak {q}} _ {i}}

 上にあるp I
{ { mathfrak {p}} _ {i}}

 各 1≤i≤nに対して。 _ （Kaplansky 1970）では、拡張A⊆Bが上昇特性を満たしている場合、それは横臥特性も満たしていることが示されて い ます。harvエラー：ターゲットなし：CITEREFKaplansky1970（ヘルプ）

下っていく
環拡大 A⊆B は、いつでも下降特性を満たすと言われていますp 1 ⊇ p 2 ⊇ ⋯⋯ ⋯ ⊇ p n
{ { mathfrak {p}} _ {1} supseteq { mathfrak {p}} _ {2} supseteq ！！; cdots cdots cdots ！！、 supseteq { mathfrak {p}} _ {n}}
  Aとの素イデアルの連鎖ですq 1 ⊇ q 2 ⊇ ⋯⊇ q m
{ { mathfrak {q}} _ {1} supseteq { mathfrak {q}} _ {2} supseteq cdots supseteq { mathfrak {q}} _ {m}}
  は、 m < nで次のようなBの素イデアルの連鎖です。q I
{ { mathfrak {q}} _ {i}}

 上にあるp I
{ { mathfrak {p}} _ {i}}

 1≤i≤m の 場合 、後者のチェーンをチェーンに拡張できますq 1 ⊇ q 2 ⊇ ⋯
⊇q m ⊇ ⋯ ⊇ q n
{ { mathfrak {q}} _ {1} supseteq { mathfrak {q}} _ {2} supseteq cdots supseteq { mathfrak {q}} _ {m} supseteq cdots supseteq { mathfrak {q}} _ {n}}
  そのようなq I
{ { mathfrak {q}} _ {i}}

 上にあるp I
{ { mathfrak {p}} _ {i}}

 各 1≤i≤nに対して。 _ 
環射を伴う環拡大の場合の一般化がf  ：A    Bを（単一の）環準同型とし、Bがf（A ）の環拡大であるようにします。その場合、 Bのf（A） に対して上昇特性が成り立つ場合、fは上昇特性を満たすと言われます。
同様に、Bがf （A ）の環拡大である場合、Bのf （A）に対して下降特性が成り立つ場合、fは下降特性を満たすと言われます。
A⊆Bのような通常のリング拡張の場合 、 包含マップが適切なマップです。

上昇と下降の定理
上昇と下降の定理の通常のステートメントは、環拡大A⊆Bを参照してい ます 。（上昇）BがAの整拡大である場合、その拡張は上昇特性（したがって横たわっている特性）と非比較性特性を満たします。（下降）BがAの整閉整域であり、Bがドメインであり、Aがその商体で完全に閉じている場合、その拡張（上昇、横臥、および非比較性に加えて）は進行を満たします-ダウンプロパティ。
下降するプロパティには、もう1つの十分な条件が
A⊆Bが可換環の平坦な延長である場合、下降特性が成り立ちます。
証明： p1⊆p2をAの素イデアルとし、q2∩A = p2 と なるように q2 をBの素イデアルとし ます 。q1∩A = p1となるようなq2に含まれるBの素イデアルq1があることを証明したいと 思い  ます 。A⊆Bは環の拡大拡大であるため、 Ap2⊆Bq2は 環 の拡大 拡大 です。実際、包含マップAp2 Bq2は局所準同型であるため、  Ap2⊆Bq2 は環の忠実に平坦な拡大 です 。したがって、スペクトルSpec（B q 2）Spec（A p 2 ）の誘導マップは全射であり、Ap2の素イデアルp1Ap2に収縮するBq2の素イデアルが存在します。このBq2の素イデアルのBへの収縮は、p1に収縮するq2に含まれるBの素イデアルq1です。証明が完了しました。 QED

参考文献
^ これは、415ページのBruns-Herzog、補題A.9のはるかに一般的な補題に続くものです。
^ 松村、33ページ、（5.D）、定理4
Atiyah、MF、およびIG Macdonald、可換代数入門、Perseus Books、1969、ISBN  0-201-00361-9 MR 242802 ウィンフリートブランズ; ユルゲンヘルツォーク、コーエンマコーレー環。Cambridge Studies in Advanced Mathematics、39. Cambridge University Press、Cambridge、1993. xii+ 403pp。ISBN0-521-41068-1 
コーエン、IS; Seidenberg、A.（1946）「素イデアルと積分依存」。ブル。アメル。算数。Soc。52（4）：252–261。土井：10.1090/s0002-9904-1946-08552-3。MR0015379 。_
カプランスキー、アーヴィング、可換環、アリンアンドベーコン、1970年。
松村英之（1970）。可換環論。WAベンジャミン。ISBN 978-0-8053-7025-6。
シャープ、RY（2000）。「13サブリングへの積分依存性（13.38上昇と下降の定理、pp。258–259; 13.41下降と下降の定理、pp。261–262）」。可換代数のステップ。ロンドン数学会の学生のテキスト。巻 51（第2版）。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。pp。xii+355。ISBN 0-521-64623-5。MR1817605 。_”