グリーン関数

Green’s_function

は、グリーン関数への古典的なアプローチについてです。最新の議論に基本的な解決策を参照して
数学では、グリーン関数は、指定された初期条件または境界条件を持つドメインで定義された不均一な線形微分演算子のインパルス応答です。
点源に従う微分方程式の解を知っている場合L ^ （ X ）。 G （（ X y
）。= δ（（ X − y ）。 { textstyle { hat {L}}（x）G（x、y）= delta（xy）}
と微分演算子L ^ （ X ）。
{ textstyle { hat {L}}（x）}
線形である場合、それらを重ね合わせて解を見つけることができます u （（ X
）。= ∫ f （（ y
）。 G （（ X y ）。 d y { textstyle u（x）= int f（y）G（x、y）、dy}
一般的な情報源の場合L ^ （ X ）。 u （（ X
）。= f（（ X ）。 { textstyle { hat {L}}（x）u（x）= f（x）} これは、Lが線形微分演算子である場合、
グリーン関数Gは、方程式LG  =  δの解です。ここで、δはディラックのデルタ関数です。
初期値問題の解Ly  =  fは畳み込み （ G⁎f  ）であり、Gはグリーン関数です。
重ね合わせの原理により、線形常微分方程式（ODE）、L（解）=ソースが与えられると、最初に各sについてL（グリーン）= δsを解くことができ、ソースはデルタの合計であるため、関数、解は、 Lの線形性によるグリーン関数の合計でも
グリーン関数は、1820年代に最初に概念を開発した英国の数学者 ジョージグリーンにちなんで名付けられました。線形偏微分方程式の現代の研究では、グリーン関数は主に基本解の観点から研究されています。
多体理論では、この用語は物理学、特に場の量子論、空気力学、空力音響学、電気力学、地震学、統計的場の理論でも使用され、数学的な定義に適合しないものも含め、さまざまなタイプの相関関数を指します。 。場の量子論では、グリーン関数はプロパゲーターの役割を果たします。

コンテンツ
1 定義と使用法
2 モチベーション
3 不均一な境界値問題を解くためのグリーン関数
3.1 フレームワーク 3.2 定理 3.3 高度および遅延グリーン関数
4 グリーン関数を見つける
4.1 単位 4.2 固有値の展開 4.3 グリーン関数の組み合わせ 4.4 グリーン関数の表
5 ラプラシアンに対するグリーン関数
6 例
7 さらなる例
8 も参照してください
9 脚注
10 参考文献
11 外部リンク

定義と使用法
線形微分演算子のグリーン関数G（x、s）L = L （ X ）。
{ operatorname {L} = operatorname {L}（x）}

 ユークリッド空間のサブセットにわたる分布に作用するR n
{ mathbb {R} ^ {n}}

 、点sで、の任意の解ですL G（（ X s
）。= δ（（ s −X ）。 { operatorname {L} 、G（x、s）= delta（sx） ，，}

      （1） ここで、δはディラックのデルタ関数です。グリーン関数のこの特性を利用して、次の形式の微分方程式を解くことができます。L u（（ X
）。= f（（ X
）。 { operatorname {L} 、u（x）= f（x）〜。}

      （2） Lのカーネルが自明でない場合、グリーン関数は一意ではありません。ただし、実際には、対称性、境界条件、および/または他の外部から課せられた基準のいくつかの組み合わせにより、固有のグリーン関数が得られます。グリーン関数は、満たされる境界条件のタイプ、グリーン関数番号によって分類できます。また、グリーン関数は一般に分布であり、必ずしも実変数の関数ではありません。
グリーン関数は、波動方程式や拡散方程式を解くのにも役立つツールです。量子力学では、ハミルトニアンのグリーン関数は、状態密度の概念に重要なリンクを持つ重要な概念です。
物理学で使用されるグリーン関数は、通常、代わりに反対の符号で定義されます。あれは、L G（（ X s
）。= δ（（ X− s
）。{ operatorname {L} 、G（x、s）= delta（xs）〜。}

この定義は、ディラックのデルタ関数が均一であるため、グリーン関数のプロパティを大幅に変更することはありません。
演算子が並進不変である場合、つまり、 L { operatorname{L}}

 がxに関して一定の係数を持っている場合、グリーン関数は畳み込みカーネルと見なすことができます。 G （（ X s
）。= G（（ X− s
）。{ G（x、s）= G（xs）〜。}

この場合、グリーン関数は線形時不変システム理論のインパルス応答と同じです。

モチベーション
参照：
スペクトル理論
大まかに言えば、そのような関数Gがオペレーターのために見つけられれば L { operatorname{L}}

 、次に、グリーン関数の式（ 1 ）にf（s）を掛けて、 sに関して積分すると、次のようになります。∫ L G（（ X s
）。 f （（ s
）。d s = ∫ δ（（ X− s
）。 f （（ s
）。d s = f（（ X
）。{ int operatorname {L} 、G（x、s）、f（s）、ds = int delta（xs）、f（s）、ds = f（x）〜 。}

オペレーターがL = L （ X ）。
{ operatorname {L} = operatorname {L}（x）}

 は線形であり、変数xにのみ作用します（積分sの変数には作用しません）。 L { operatorname{L}}

 統合の外では、 L （（ ∫ G （（ X s
）。 f （（ s
）。d s
）。= f（（ X
）。{ operatorname {L} 、 left（ int G（x、s）、f（s）、ds right）= f（x）〜。}

この意味は u （（ X
）。= ∫ G（（ X s
）。 f （（ s
）。d s
{ u（x）= int G（x、s）、f（s）、ds}

      （3） 方程式の解です L u（（ X
）。= f（（ X
）。 { operatorname {L} u（x）= f（x）〜。}

したがって、式（ 1 ）のグリーン関数と式（ 2 ）の右辺のソース項を知ることにより、関数u（x）を取得できます。このプロセスは、演算子の線形性に依存しています L { operatorname{L}}

 。
言い換えると、方程式（2）の解u（x）は、方程式（ 3 ）で与えられる積分によって決定できます。f（x）は既知ですが、 Gも既知でない限り、この積分は実行できません。問題は、式（ 1 ）を満たすグリーン関数Gを見つけることにこのため、グリーン関数は、オペレーターに関連付けられた基本解と呼ばれることも L { operatorname{L}}

 。
すべてのオペレーターが L { operatorname{L}}

 グリーン関数を認めます。グリーン関数は、次の逆関数と考えることもできます。 L { operatorname{L}}

 。特定の演算子のグリーン関数を見つけるのが難しいことを除けば、式（3）の積分を評価するのは非常に難しい場合がただし、この方法では理論的に正確な結果が得られます。
これは、ディラックのデルタ関数に基づくfの展開と考えることができます（ fを上に射影する） δ （（ X− s ）。 { delta（xs）}

 ; そして、各射影への解の重ね合わせ。このような積分方程式はフレドホルム積分方程式として知られており、その研究はフレドホルム理論を構成します。
参照：
ヴォルテラ積分方程式

不均一な境界値問題を解くためのグリーン関数
数学におけるグリーン関数の主な用途は、不均一な境界値問題を解くことです。現代の理論物理学では、グリーン関数は通常、ファインマン図のプロパゲーターとしても使用されます。グリーン関数という用語は、多くの場合、相関関数にさらに使用されます。

フレームワーク
させて L { operatorname{L}}

 Sturm–Liouville演算子、次の形式の線形微分演算子であるL = d dX [ p （（ X
）。d dX] + q（（ X ）。 { operatorname {L} = { dfrac {d} {dx}} left [p（x）{ dfrac {d} {dx}} right] + q（x）}

そしてしましょう D { { vec { operatorname {D}}}}

 ベクトル値
境界条件演算子
であるD u = [ α 1u ′（（ 0
）。+ β
1 u （（ 0
）。 α 2u ′（（ ℓ
）。+ β
2 u （（ ℓ ）。 ]{ { vec { operatorname {D}}} 、u = { begin {bmatrix} alpha _ {1} u’（0）+ beta _ {1} u（0）\ alpha _ {2} u’（ ell）+ beta _ {2} u（ ell） end {bmatrix}}〜。}

させて f （（ X ）。 { f（x）}

 の連続関数である
[ 0 ℓ
] { ，.}

 さらに、問題があると仮定しますL u=f D u 0
{ { begin {aligned} operatorname {L} 、u＆= f \ { vec { operatorname {D}}} 、u＆= { vec {0}} end {aligned}}}

は「通常」です。つまり、 f （（ X
）。= 0
{ f（x）= 0}

 すべてのxは u（（ X
）。= 0
{ u（x）= 0}

 。

定理
唯一の解決策があります u （（ X ）。 { u（x）}

 満足するL u=f D u 0
{ { begin {aligned} operatorname {L} 、u＆= f \ { vec { operatorname {D}}} 、u＆= { vec {0}} end {aligned}}}

そしてそれはによって与えられます u （（ X
）。 = ∫0 f （（ s
）。 G （（ X s
）。 d s{ u（x）= int _ {0} ^ { ell} f（s）、G（x、s）、ds〜、}

どこ G （（ X s ）。 { G（x、s）}

 は、次の条件を満たすグリーン関数です。 G （（ X s ）。 { G（x、s）}

 で継続的ですX
{ x}
と s
{ s}

 。
ためにX≠ s
{ x neq s〜}
、 L G（（ X s
）。= 0
{ quad operatorname {L} 、G（x、s）= 0〜}

 。
ためにs ≠ 0
{ s neq 0〜}
、 D G（（ X s
）。= 0
{ quad { vec { operatorname {D}}} 、G（x、s）= { vec {0}}〜}

 。
派生的な「ジャンプ」：
G ′ （（ s 0 + s
）。− G ′（（ s 0 − s
）。= 1 / p （（ s ）。 { quad G’（s_ {0+}、s）-G’（s_ {0-}、s）= 1 / p（s）〜}

 。
対称： G （（ X s
）。= G（（ s X ）。 { quad G（x、s）= G（s、x）〜}

 。

高度および遅延グリーン関数
参照：
グリーン関数（多体理論）と
プロパゲーター
あるグリーン関数に同次方程式の解を追加すると別のグリーン関数が得られるため、グリーン関数は必ずしも一意ではありません。したがって、同次方程式に自明でない解がある場合、複数のグリーン関数が存在します。場合によっては、次の場合にのみ消滅しない1つのグリーン関数を見つけることができます。s ≤X
{ s leq x}

 、これは遅延グリーン関数と呼ばれ、別のグリーン関数は次の場合にのみ消滅しません。s ≥X
{ s geq x}

 、これは高度なグリーン関数と呼ばれます。このような場合、2つのグリーン関数の線形結合も有効なグリーン関数です。高度および遅延という用語は、変数xが時間に対応する場合に特に役立ちます。このような場合、遅延グリーン関数の使用によって提供される解決策は、過去のソースのみに依存し、因果関係がありますが、高度なグリーン関数の使用によって提供されるソリューションは、将来のソースのみに依存し、因果関係がこれらの問題では、原因となる解決策が物理的に重要な解決策であることがよく高度および遅延グリーン関数の使用は、不均一な電磁波方程式の解の分析に特に一般的です。
グリーン関数を見つける編集

単位
グリーン関数がとる形式を一意に修正するわけではありませんが、次元分析を実行してグリーン関数が持つ必要のある単位を見つけることは、他の手段で見つかったグリーン関数の重要な健全性チェックです。定義式の簡単な検討、L G（（ X s
）。= δ（（ X− s
）。{ LG（x、s）= delta（xs）、}

の単位が G { G}

 の単位だけでなく L { L}

 だけでなく、位置ベクトルが存在する空間の数と単位についてもX
{ x}

 と s { s}

 要素です。これは関係につながります：
[ [ G] ] =
[ [ L] ] − 1
[ [ dX] ] −
1{ ^ {-1} [] ^ {-1}、}

どこ
[ [ G] ]
{ []}

 は、「の物理単位 G { G}

 “”、 と dX { dx}

 スペース（または
時空）の
ボリューム要素です。
たとえば、L = ∂ t 2
{ L = partial _ {t} ^ {2}}

 そして、時間は唯一の変数です：
[ [ L] ] =
[ [ 時間] ] −
2{ [] = [[{ text {time}}]] ^ {-2}、}

[ [ dX] ] =
[ [ 時間 ] ] と
{ [] = [[{ text {time}}]]、 { text {and}}}

[ [ G] ] =
[ [ 時間 ] ]{ [] = [[{text{time}}]]。}

もしもL = ◻ = 1 c 2∂ t 2 − 2
{ L = square = { frac {1} {c ^ {2}}} partial _ {t} ^ {2}- nabla ^ {2}}

 、
d’Alembert演算子、およびスペースには3つの次元が
[ [ L] ] =
[ [ 長さ] ] −
2{ [] = [[{ text {length}}]] ^ {-2}、}

[ [ dX] ] =
[ [ 時間] ]
[ [ 長さ] ]
3 と
{ [] = [[{ text {time}}]] [[{ text {length}}]] ^ {3}、 { text {and}}}

[ [ G] ] =
[ [ 時間] ] − 1
[ [ 長さ] ] −
1{ [] = [[{ text {time}}]] ^ {-1} [[{ text {length}}]]^{-1}。}

固有値の展開
微分作用素 Lが完全な固有ベクトルのセット Ψn （x ）（つまり、関数ΨnとスカラーλnのセットでLΨn = λnΨn ）を認める場合、これらの固有ベクトルと固有値からのグリーン関数。
「完全」とは、関数のセット{Ψn }が次の完全性の関係を満たすことを意味します。 δ （（ X − X ′ ）。= ∑ n=0 Ψ n † （（ X
）。Ψ n（（ X ′ ）。{ delta（xx’）= sum _ {n = 0} ^ { infty} Psi _ {n} ^ { dagger}（x） Psi _ {n}（x’）。}

次に、次のことが成り立ちます。 G （（ X X
′）。= ∑
n= 0 ∞
Ψ n †（（ X
）。Ψ n（（ X ′ ）。 λ n { G（x、x’）= sum _ {n = 0} ^ { infty} { dfrac { Psi _ {n} ^ { dagger}（x） Psi _ {n}（x ‘）} { lambda _ {n}}}、}