Green’s_function_for_the_three-variable_Laplace_equation
「3変数ラプラス方程式のグリーン関数」
物理学では、3つの変数のラプラス方程式のグリーン関数（または基本解）を使用して、点源に対する特定のタイプの物理システムの応答を記述します。特に、このグリーン関数は、次の形式の偏微分方程式（PDE）であるポアソン方程式で記述できるシステムで発生します。 ∇ 2 u （（ X）。= f（（ X）。
{ nabla ^ {2} u（ mathbf {x}）= f（ mathbf {x}）}
どこ∇ 2
{ nabla ^ {2}}
のラプラス演算子ですR 3
{ mathbb {R} ^ {3}} f（（ X ）。 { f（ mathbf {x}）}
システムのソース用語であり、 u （（ X ）。 { u（ mathbf {x}）}
方程式の解です。なぜなら∇ 2
{ nabla ^ {2}}
は線形微分演算子であり、解 u （（ X ）。 { u（ mathbf {x}）}
このタイプの一般的なシステムは、次の式で与えられるソースの分布の積分として記述できます。 f （（ X ）。 { f（ mathbf {x}）}： u（（ X）。= ∫ ′ G （（ X X ′ ）。 f （（ X ′ ）。dX ′
{ u（ mathbf {x}）= int _ { mathbf {x}’} G（ mathbf {x}、 mathbf {x’}）f（ mathbf {x’}）d mathbf {X} ‘}
ここで、3つの変数のラプラス方程式のグリーン関数 G （（ X X
′）。
{ G（ mathbf {x}、 mathbf {x’}）}
その時点でのシステムの応答を説明しますX
{ mathbf{x}}
にある点源にX ′ { mathbf {x’}}： ∇
2 G （（ X X ′ ）。= δ（（ XX ′ ）。 { nabla ^ {2} G（ mathbf {x}、 mathbf {x’}）= delta（ mathbf {x}- mathbf {x’}）}
点源はによって与えられます δ （（ X −X ′）。
{ delta（ mathbf {x}- mathbf {x’}）}
、ディラックのデルタ関数。
コンテンツ
1 モチベーション
2 数学的解説
3 3変数ラプラス方程式の回転不変グリーン関数
4 も参照してください
5 参考文献
モチベーション
このタイプの物理システムの1つは、静電気の電荷分布です。このようなシステムでは、電界は電位の負の勾配として表され、微分形式のガウスの法則が適用されます。 E =− ∇ ϕ（（ X）。
{ mathbf {E} =- mathbf { nabla} phi（ mathbf {x}）}
∇ ⋅ E= ρ （（ X
）。 0
{ mathbf { nabla} cdot mathbf {E} = { frac { rho（ mathbf {x}）} { varepsilon _ {0}}}}
これらの式を組み合わせると、− ∇
2 ϕ （（ X）。= ρ（（ X
）。 0
{- mathbf { nabla} ^ {2} phi（ mathbf {x}）= { frac { rho（ mathbf {x}）} { varepsilon _ {0}}}}
（ ポアソン方程式。）
解決策を見つけることができます ϕ （（ X ）。 { phi（ mathbf {x}）}
点電荷によって作成された分布を一時的に考慮することによる任意の電荷分布のこの方程式に q { q}
にありますX ′ { mathbf {x’}}
： ρ （（ X）。= q δ（（ XX ′ ）。 { rho（ mathbf {x}）= q delta（ mathbf {x}- mathbf {x’}）}
この場合、 − ε0 ∇ 2 ϕ （（ X）。= δ（（ XX ′ ）。 {-{ frac { varepsilon _ {0}} {q}} mathbf { nabla} ^ {2} phi（ mathbf {x}）= delta（ mathbf {x}- mathbf {X’} ）}
それを示しています G （（ X X
′）。
{ G（ mathbf {x}、 mathbf {x’}）}
ために− ε 0 q ∇ 2
{-{ frac { varepsilon _ {0}} {q}} nabla ^ {2}}
ポイントチャージに対するシステムの応答を提供します q { q}
。したがって、上記の説明から、この演算子のグリーン関数を見つけることができれば、次のことがわかります。 ϕ （（ X ）。 { phi（ mathbf {x}）}
することが ϕ （（ X）。= ∫ ′ G （（ X X ′ ）。 ρ （（ X ′ ）。dX ′
{ phi（ mathbf {x}）= int _ { mathbf {x}’} G（ mathbf {x}、 mathbf {x’}） rho（ mathbf {x’}）d mathbf {x}’}
一般的な電荷分布の場合。
数学的解説
3つの変数のラプラス方程式の自由空間グリーン関数は、2点間の逆数距離で与えられ、「ニュートンカーネル」または「ニュートンポテンシャル」として知られています。つまり、方程式の解 ∇ 2 G （（ X X ′ ）。= δ（（ XX ′ ）。 { nabla ^ {2} G（ mathbf {x}、 mathbf {x’}）= delta（ mathbf {x}- mathbf {x’}）}
は G（（ X X ′ ）。 = −1 π ⋅ 1 |X −X ′
| { G（ mathbf {x}、 mathbf {x’}）=-{ frac {1} {4 pi}} cdot { frac {1} {| mathbf {x}- mathbf {x’} |}}、}