Green’s_function_number
数学的熱伝導では、グリーンの関数番号を使用して、熱方程式の特定の基本解を一意に分類し、既存の解の識別、保存、および取得を容易にします。
コンテンツ
1 バックグラウンド
2 表記
3 デカルト座標の例
3.1 X11 3.2 X20 3.3 X10Y20
4 円筒座標の例
4.1 R03 4.2 R10 4.3 R01′”` UNIQ–postMath-00000016-QINU` “’00
5 球面座標の例
5.1 RS02
6 も参照してください
7 参考文献
バックグラウンド
数値は、境界条件のタイプを識別するために長い間使用されてきました。 グリーン関数の記数法は1988年にベックとリトコウヒによって提案され、それ以来使用が増えています。 記数法は、グリーン関数と関連するソリューションの大規模なコレクションをカタログ化するために使用されてきました。
以下の例は熱方程式の例ですが、この数値システムは、拡散、音響、電磁、流体力学などの微分方程式で記述されるすべての現象に適用されます。
表記
グリーン関数番号は、グリーン関数が満たす座標系と境界条件のタイプを指定します。グリーン関数番号は2つの部分に分かれており、文字の指定とそれに続く番号の指定が文字は座標系を示し、数字は満たされる境界条件のタイプを示します。
表1.グリーン関数番号システムの境界条件指定。
名前
境界条件
番号
物理的な境界はありません
Gは制限されています 0 ディリクレG = 0
{ G = 0}
1 ノイマン∂ G ∂ n = 0
{ { frac { partial G} { partial n}} = 0}
2 ロビンk ∂ G ∂ n + hG = 0
{ k { frac { partial G} { partial n}} + hG = 0}
3 次に、グリーン関数の記数法の指定のいくつかを示します。座標系の指定には、デカルト座標のX、Y、およびZが含まれます。R、Z、 ϕ { phi}
円筒座標の場合。そして、RS、 ϕ { phi}
、 θ { theta}
球面座標の場合。いくつかの境界条件の指定を表1に示します。ゼロ番目の境界条件は、物理的な境界が存在しない座標境界の存在を識別するために重要です。球体。
デカルト座標の例編集
1 ノイマン∂ G ∂ n = 0 X11
例として、数値X11は、境界x=0とx=Lの両方でタイプ1（ Dirichlet ）の境界条件のドメイン（0
X= L = 0 ; G |
t< τ = 0。
{ { begin {aligned} { dfrac { partial ^ {2} G} { partial x ^ {2}}} + { dfrac {1} { alpha}} delta（t- tau ） delta（xx’）= { dfrac {1} { alpha}} { dfrac { partial G} { partial t}};＆; ; 0
0\G|_{x=0}=0;;;G|_{x=L}=0;;;G|_{t
は熱拡散率（m 2 / s）であり、 δ { delta}
ディラックのデルタ関数です。このGFは他の場所で開発されています。
X20
別のデカルトの例として、数値X20は、半無限体におけるグリーン関数を示します（ 0
）x = 0にノイマン（タイプ2）境界がここで、 Xはデカルト座標を示し、2はx = 0でのタイプ2境界条件を示し、 0はでゼロ番目のタイプ境界条件（境界）を示します。X= ∞
{ x = infty}
。X20グリーン関数の境界値問題は次の式で与えられます。
∂2 ∂X 2 + 1 α δ （（ t − τ）。 δ （（ X − X ′ ）。= 1 α ∂ G ∂ t; 0
X= 0 = 0 ; G |
X ∞ 制限されています; G |
t< τ = 0。
{ { begin {aligned} { dfrac { partial ^ {2} G} { partial x ^ {2}}} + { dfrac {1} { alpha}} delta（t- tau ） delta（xx’）= { dfrac {1} { alpha}} { dfrac { partial G} { partial t}};＆; ; 0
0\{dfrac {partial G}{partial n}}|_{x=0}=0;;;G|_{xrightarrow infty }{mbox{ is bounded}};;;G|_{t
X10Y20
2次元の例として、数値X10Y20は、1/4無限体におけるグリーン関数を示します（ 0
、0 < y < ∞
{ 0
）x = 0にディリクレ（タイプ1）境界があり、y = 0にノイマン（タイプ2）境界がある。X10Y20グリーン関数の境界値問題は次の式で与えられます。
∂2 ∂X 2+ 2 ∂ y 2 + 1 α δ （（ t − τ）。 δ （（ X − X ′ ）。 δ （（ y − y ′ ）。= 1 α ∂ G ∂ t; 0
; t >>0 | X= 0 = 0 ; ∂ G∂ n |
y= 0 = 0 ; G |
X ∞ 制限されています; G |
y ∞ 制限されています; G |
t< τ = 0。
{ { begin {aligned} { dfrac { partial ^ {2} G} { partial x ^ {2}}} + { dfrac { partial ^ {2} G} { partial y ^ { 2}}} + { dfrac {1} { alpha}} delta（t- tau） delta（xx’） delta（yy’）= { dfrac {1} { alpha}} { dfrac { partial G} { partial t}};＆; ; 0
0\G|_{x=0}=0;;;{dfrac {partial G}{partial n}}|_{y=0}=0;;;&\G|_{xrightarrow infty }{mbox{ is bounded}};;;G|_{yrightarrow infty }{mbox{ is bounded}};;;G|_{t
円筒座標の例編集
R03
円筒座標系の例として、数値R03は、r = aでタイプ3（ロビン）の境界条件を持つ中実円筒（0
）。 δ （（ r − r ′ ）。2 π
r′ = 1 α ∂ G ∂ 0< r < a ; t
>> 0 { { dfrac {1} {r}} { dfrac { partial} { partial r}} left（r { dfrac { partial G} { partial r}} right）+ { dfrac {1} { alpha}} delta（t- tau）{ dfrac { delta（rr’）} {2 pi r’}} = { dfrac {1} { alpha}} { dfrac { partial G} { partial t}}; ; ; 0
0}””>
G | r = 0
制限されています; k ∂
G ∂ n| r = a + h G
|r = a = 0 ; G| t < τ = 0。
{ G | _ {r = 0} {mbox{は制限されています}};;; k { dfrac { partial G} { partial n}} | _ {r = a} + hG | _ {r = a} = 0; ; ; G | _ {t < tau}=0。}
ここ k { k}
は熱伝導率（W /（m K））であり、 h { h}
は熱伝達係数（W /（m 2 K））です。このGFについては を参照して
R10
別の例として、数値R10は、円筒形のボイド（a
）r = aでのタイプ1（ディリクレ）境界条件。ここでも、文字Rは円筒座標系を示し、数値1はr = aでのタイプ1境界を示し、数値0はrの大きな値でのタイプゼロ境界（境界）を示します。R10グリーン関数の境界値問題は次の式で与えられます。1 r ∂
∂ r （（ r ∂ G ∂ r
）。+ 1 α δ （（ t − τ）。 δ （（ r− r ′
）。2 π r ′ = 1 α
∂G ∂ t ; a < r< ∞
; t >>0 | r= a = 0 ; G |
r ∞ 制限されています; G |
t< τ = 0。
{ { begin {aligned} { dfrac {1} {r}} { dfrac { partial} { partial r}} left（r { dfrac { partial G} { partial r}} right）+ { dfrac {1} { alpha}} delta（t- tau）{ dfrac { delta（rr’）} {2 pi r’}} = { dfrac {1} { alpha}} { dfrac { partial G} { partial t}};＆; ; a
0\G|_{r=a}=0;;;G|_{rrightarrow infty }{mbox{ is bounded}};;;G|_{t
{ phi}
00
二次元の例として、番号R01 ϕ { phi}
00は、r = aでのタイプ1（ディリクレ）境界条件を持つ、角度依存性のある円柱内のグリーン関数を示します。ここに手紙 ϕ { phi}
は角度座標を示し、数字00は角度のタイプゼロ境界を示します。ここでは、周期境界条件の形をとる物理的境界はありません。R01の境界値問題 ϕ { phi}
00グリーン関数は次の式で与えられます。1 r ∂
∂ r （（ r ∂ G ∂ r
）。+ 1 r 2 ∂2 ∂ ϕ 2 + 1 α δ （（ t − τ）。 δ （（ r− r ′
）。2 π r ′ δ（（ ϕ ′ ）。= 1 α ∂ G ∂ t
;0 < r < a ; 0 < ϕ 2 π ; t >>0 | r= 0
制限されている、
G | r= a = 0 ; G |
ϕ= 0 = G |
ϕ= 2 π ; ∂ G ∂ϕ |
ϕ= 0 = ∂ G ∂ ϕ | ϕ= 2 π ; G |
t< τ = 0。
{ { begin {aligned} { dfrac {1} {r}} { dfrac { partial} { partial r}} left（r { dfrac { partial G} { partial r}} right）+ { dfrac {1} {r ^ {2}}} { dfrac { partial ^ {2} G} { partial phi ^ {2}}} + { dfrac {1} { alpha}} delta（t- tau）{ dfrac { delta（rr’）} {2 pi r’}} delta（ phi- phi’）= { dfrac {1} { alpha }} { dfrac { partial G} { partial t}};＆; ; 0
0\G|_{r=0}{mbox{ is bounded，}};;G|_{r=a}=0;&\G|_{phi =0}=G|_{phi =2pi };{dfrac {partial G}{partial phi }}|_{phi =0}={dfrac {partial G}{partial phi }}|_{phi =2pi };;;G|_{t
球面座標の例編集
RS02
球面座標系の例として、数値RS02は、r = bでタイプ2（ノイマン）境界条件を持つ固体球（0
）。 δ （（ r − r ′ ）。 4 π 2= 1 α ∂ G ∂ 0< r < b ; t
>> 0 { { dfrac {1} {r ^ {2}}} { dfrac { partial} { partial r}} left（r ^ {2} { dfrac { partial G} { partial r }} right）+ { dfrac {1} { alpha}} delta（t- tau）{ dfrac { delta（rr’）} {4 pi r ^ {2}}} = { dfrac {1} { alpha}} { dfrac { partial G} { partial t}}; ; ; 0
0}””>
G | r = 0
制限されています; ∂
G ∂ n| r = b = 0 ;G | t < τ = 0。 { G | _ {r = 0} {mbox{は制限されています}};;; { dfrac { partial G} { partial n}} | _ {r = b} = 0; ; ; G | _ {t < tau}=0。}
このGFは他の場所で入手できます。
も参照してください
基本的な解決策
ディリクレ境界条件
ノイマン境界条件
ロビン境界条件
熱方程式
参考文献
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