グリーンのマトリックス

Green’s_matrix

 「グリーンのマトリックス」  
数学、特に常微分方程式では、グリーンの行列は、ODEの1次不均一線形システムに対する特定の解を決定するのに役立ちます。コンセプトはジョージグリーンにちなんで名付けられました。
たとえば、X′ = A（（ t
）。X+ g（（ t ）。 { x’= A（t）x + g（t）、}
どこX
{ x 、}
ベクトルであり、 A （（ t ）。 { A（t）、}は n
×× n { n times n 、}
の行列関数 t { t 、}
、 t∈ I a ≤ t ≤ b
{ t in I、a leq t leq b 、}
、 どこ I { I 、}
ある間隔です。
さあ、X 1 （（ t
）。 … X n （（ t ）。 { x ^ {1}（t）、 ldots、x ^ {n}（t）、}
なれ n { n 、}
同次方程式の線形独立解X′ = A（（ t ）。X { x’= A（t）x 、}
そして、それらを列に配置して基本行列を形成します。X（（ t
）。= [X 1 （ t ）。 …X n （（ t ）。 ] { X（t）= left [x ^ {1}（t）、 ldots、x ^ {n}（t） right]。、} 今X （（ t ）。 { X（t）、}は n
×× n { n times n 、}
の行列解X′ = AX
{ X’= AX 、} この基本行列は同次解を提供し、特定の解に追加すると、不均一方程式の一般解が得られます。
させてX=X y
{ x = Xy 、}
一般的な解決策になります。今、X′ =X ′ y +X y ′=AX y +X y ′ = AX+X y
′ { { begin {aligned} x’＆= X’y + Xy’ \＆= AXy + Xy’\＆= Ax+Xy’。end{aligned}}}
これは、Xy ′ = g
{ Xy’= g 、}
またy = c + ∫ a tX − 1 （ s ）。 g （（ s
）。d s
{ y = c + int _ {a} ^ {t} X ^ {-1}（s）g（s）、ds 、}
どこ c { c 、}
は任意の定数ベクトルです。
今、一般的な解決策はX =X （（ t
）。c +X（（ t
）。∫ a tX − 1 （（ s
）。 g （（ s
）。 d s { x = X（t）c + X（t） int _ {a} ^ {t} X ^ {-1}（s）g（s）、ds。、}
最初の項は均一解であり、2番目の項は特定の解です。
次に、グリーンのマトリックスを定義しますG 0（（ t s
）。 = {{0 t ≤ s ≤ （（ t
）。X− 1（（ s
）。a ≤
s < t { G_ {0}（t、s）= { begin {cases} 0＆t leq s leq b \ X（t）X ^ {-1}（s）＆a leqs これで、特定のソリューションを記述できますX p （（ t
）。= ∫ a b G 0（（ t s
）。 g （（ s
）。 d s { x_ {p}（t）= int _ {a} ^ {b} G_ {0}（t、s）g（s）、ds。、}

外部リンク
線形常微分方程式の不均一なシステムを解き、www.exampleproblems.comからグリーンの行列を見つける例。