グリーンの関係 – 日本の辞書

Green’s_relations
数学では、グリーンの関係式は、生成される主イデアルの観点から半群の要素を特徴付ける5つの同値関係式です。関係は、1951年の論文でそれらを紹介したジェームズアレクサンダーグリーンにちなんで名付けられました。著名な半群理論家であるジョンマッキントッシュハウィーは、この作品を「新しい半群に遭遇すると、ほとんど最初の質問をするほど広範囲に及ぶ」と説明しました。「グリーンの関係はどのようなものですか？」（Howie2002）。関係は、半群の除算の性質を理解するのに役立ちます。グループにも有効です、しかしこの場合、グループは常に除算可能であるため、有用なことは何も教えてくれません。
半群Sを直接操作する代わりに、モノイド S1に対するグリーンの関係式を定義すると便利です。（S 1は「必要に応じて単位元が隣接するS」です。Sがまだモノイドでない場合は、新しい要素が隣接し、単位元として定義されます。）これにより、一部の半群要素によって生成された主イデアルにその要素が実際に含まれるようになります。。Sの要素aの場合、関連する理想は次のとおりです。
によって生成された主要な左の理想： 1a =
{{s a ∣ s ∈ S 1 } { S ^ {1} a = {sa mid s in S ^ {1} }}
。これはと同じです
{{s a ∣ s ∈ S } ∪ {{a }
{ {sa mid s in S } cup {a }}
、 Sa ∪
{{a }
{ Sa cup {a }} によって生成される主な権利の理想：a S 1 =
{{a s ∣ s ∈ S 1 } { aS ^ {1} = {as mid s in S ^ {1} }}
、または同等にa S ∪
{{a }
{ aS cup {a }} によって生成される主要な両面理想： 1a S 1
{ S ^ {1} aS ^ {1}}
、またS a S ∪ a S ∪S a ∪
{{a }
{ SaS cup aS cup Sa cup {a }} コンテンツ
1 L、R、およびJの関係
2 HとDの関係
3 例
4 一般化
5 も参照してください
6 参考文献

L、R、およびJの関係
Sの要素aとbの場合、グリーンの関係式L、R、およびJは次の式で定義されます。
S 1 a = S 1 bの場合に限り、aLb。
a R bは、 A S 1 = bS1 の場合に限ります。
a J b S 1 a S 1 = S 1 bS1 の場合のみ。
つまり、aとbは、同じ左の理想を生成する場合、Lに関連しています。それらが同じ正しい理想を生成する場合、R関連。とJは、同じ両面理想を生成する場合に関連します。これらはSの同値関係であるため、それぞれがSの同値類への分割を生成します。aのLクラスはLaで表されます（他の関係についても同様です）。LクラスとRクラスは、 S1の左右のケイリーグラフの強連結成分として同等に理解できます。さらに、L、R、およびJの関係は、3つのプレオーダー≤L、≤R 、および≤Jを定義します。ここで、aによって生成された理想が含まれている場合、Sの2つの要素aおよびbに対してa≤Jbが成り立ちます。 bの、すなわちS 1aS1⊆S1bS 1であり、≤Lおよび≤Rも同様に定義されます。緑は小文字のブラックレターを使用しました l { { mathfrak {l}}}
${mathfrak$
、 r { { mathfrak {r}}}

と f { { mathfrak {f}}}

これらの関係のために、そして書いたa ≡ b（（ l）。
{ a equiv b（{ mathfrak {l}}）}

A L bの場合（およびRとJの場合も同様）。今日の数学者は、次のような文字を使用する傾向が R { { mathcal {R}}}

代わりに、Greenのモジュラー算術スタイル表記をここで使用されている中置スタイルに置き換えます。同値類には普通文字が使われます。
LとRの関係は、互いに左右二重です。一方に関する定理は、もう一方に関する同様のステートメントに変換できます。たとえば、Lは右互換です。LbとcがSの別の要素である場合、acLbcです。二重に、 Rは左互換性があります：R bの場合、 caRcb 。
Sが可換である場合、 L、R、およびJは一致します。

HとDの関係
残りの関係はLとRから導出されます。それらの交差点はHです：a H
bは、 Lb と Rbの場合に
限りこれもSの同値関係です。クラスHaは、 LaとRaの交点です。より一般的には、任意のLクラスと任意のRクラスの共通部分は、 Hクラスまたは空集合のいずれかです。
グリーンの定理は、 H { { mathcal {H}}}

-半群SのクラスH （i）H2 H = ∅
{ H ^ {2} cap H = emptyset}

または（ii）H2 H
{ H ^ {2} = H}

HはSのサブグループです。重要な結果として、eがべき等である同値類H eはSの部分群であり（その同一性はeであり、すべての要素は逆元を持ちます）、実際にeを含むSの最大の部分群です。番号 H { { mathcal {H}}}

-クラスには複数のべき等を含めることができるため、 H { { mathcal {H}}}

べき等分離です。モノイドMでは、クラスH1は伝統的にユニットのグループと呼ばれます。（この文脈では、単位は単位元を意味しないことに注意してつまり、一般にH 1には非単位元が「単位」の用語は環論に由来します。）たとえば、n個の要素の変換モノイドでは、 T n、単位のグループは対称群Snです。
最後に、Dは次のように定義されます。ALcおよびcR b のようなcがSに存在する場合に限り、aDb。格子の言語では、DはLとRの結合です。（同値関係の結合は通常、定義するのがより困難ですが、この場合、あるcのLcとcR bは、あるdのRdとdL bの場合に限り、単純化されます。）
DはLとRの両方を含む最小の同値関係であるため、 DbはJbを意味することがわかります。つまり、JにはD が含まれます。有限半群では、DとJは同じであり、合理的なモノイドでも同じです。さらに、それらはどのエピグループでも一致します。
上記の定義から直接導き出された、同値類に関するDの定式化も Raと Lbの交点が空でない場合に
限り、aDb したがって、半群のDクラスは、 Lクラスの結合、Rクラスの結合、またはHクラスの結合と見なすことができます。Clifford and Preston（1961）は、この状況を「卵箱」の観点から考えることを提案しています。
卵の各行はRクラスを表し、各列はLクラスを表します。卵自体はHクラスです。グループの場合、グリーンの関係式の5つすべてが一致し、すべてのグループ要素が同等になるため、卵は1つだけです。たとえば双巡回モノイドに見られる反対のケースは、各要素がそれ自体のHクラスにある場合です。この半群の卵ボックスには無限に多くの卵が含まれますが、Dクラスが1つしかないため、すべての卵が同じボックスに（すべての要素がD関連である半群はbisimpleと呼ばれます。）
Dクラス内では、すべてのHクラスが同じサイズであることを示すことができます。たとえば、変換半群T 4には4つのDクラスが含まれ、その中にHクラスにはそれぞれ1、2、6、および24の要素が
半群の組み合わせ論における最近の進歩は、グリーンの関係式を使用して、特定の特性を持つ半群を列挙するのに役立っています。典型的な結果（Satoh、Yama、and Tokizawa 1994）は、可換である221，805を含む、8次の非等価半群が正確に1，843，120，128あることを示しています。彼らの仕事は、可能なDクラスの体系的な調査に基づいています。（対照的に、順序8のグループは5つだけです。）

例
完全変換半群T3は、集合{ 1、2、3 }からそれ自体までのすべての関数で構成されます。これらは27個1をaに、2をbに、3をcに送信する関数の（a b c ）を記述します。T 3には恒等写像（1 2 3）が含まれているため、恒等写像に隣接する必要はありません。
T 3のエッグボックス図には、3つのDクラスがこれらの関係は有限の半群で一致するため、これらもJクラスです。（1 1 1）（2 2 2）（3 3 3）（1 2 2）、（2 1 1）（1 3 3）、（3 1 1）（2 3 3）、（3 2 2）（2 1 2）、（1 2 1）（3 1 3）、（1 3 1）（3 2 3）、（2 3 2）（2 2 1）、（1 1 2）（3 3 1）、（1 1 3）（3 3 2）、（2 2 3）（1 2 3）、（2 3 1）、（3 1 2）、（1 3 2）、（3 2 1）、（2 1 3）
T 3では、2つの関数は、同じイメージを持っている場合にのみLに関連しています。このような関数は、上の表の同じ列に表示されます。同様に、関数fとgは、次の場合にのみRに関連します。
f（x）=
f（y）⇔g（ x） =
g（y）
{1、2、3}のxとyの場合; このような関数は同じテーブル行にしたがって、2つの関数は、それらの画像が同じサイズである場合に限り、Dに関連しています。
太字の要素はべき等元です。これらのいずれかを含むHクラスは、（最大）サブグループです。特に、3番目のDクラスは対称群S3と同型です。次数2の6つのサブグループと次数1の3つのサブグループ（およびこれらのサブグループのサブグループ）もT3の6つの要素はどのサブグループにも含まれ

一般化
代数理論を一般化する方法は基本的に2つ1つは、より多くのまたは異なるオブジェクトをカバーするように定義を変更することです。もう1つのより微妙な方法は、理論の望ましい結果を見つけて、その結論に到達するための代替方法を検討することです。
最初のルートに従って、グリーンの関係式の類似バージョンが半環（Grillet 1970）とリング（Petro 2002）に対して定義されました。半群の関係に関連するプロパティのすべてではありませんが、一部はこれらのケースに引き継がれます。半群の世界にとどまると、グリーンの関係式は、サブ半群に関してのみ理想であるサブセットである相対的なイデアルをカバーするように拡張できます（Wallace1963）。
2番目の種類の一般化では、研究者はLクラスとRクラスの間の全単射の特性に集中しました。x R yの場合、 Rクラスを保持しているLxとLyの間の全単射を常に見つけることができます。（つまり、Lクラスの2つの要素が同じRクラスにある場合、全単射下のそれらの画像は同じRクラスに）xLyの二重ステートメントも成り立ちます。これらの全単射は右と左の翻訳であり、適切な同値類に制限されています。発生する問題は、他にどのようにしてそのような全単射が存在する可能性があるかということです。
ΛとΡがいくつかの半群Sの部分変換の半群であると仮定します。特定の条件下で、xΡ = yΡ、xρ1 = y、yρ2 = xの場合、制限がρ1 ：
Λx
Λy _ρ2 ：
Λy
Λx _
相互に逆の全単射です。（従来、引数はΛの場合は右側に、Ρの場合は左側に記述されます。）次に、LとRの関係は次のように定義できます。x L
yは、 Λx =Λy
の場合に限りますx RyxΡ =
yΡの場合のみ_
そしてDとHはいつものように続きます。Jの一般化は、目的のプロパティに関与しないため、このシステムの一部ではありません。（Λ、Ρ）をグリーンのペアと呼びます。元の関係を生成する部分変換半群にはいくつかの選択肢が1つの例は、ΛをS 1上のすべての左翻訳の半群とし、Sに制限し、Ρを制限された右翻訳の対応する半群とすることです。
これらの定義は、Clark and Carruth（1980）によるものです。それらは、ウォレスの作品、および1970年代半ばに提案された他のさまざまな一般化された定義を包含しています。完全な公理は述べるのにかなり長いです。非公式に、最も重要な要件は、ΛとΡの両方に恒等変換が含まれている必要があり、Λの要素がΡの要素と交換する必要があることです。

も参照してください
シュッツェンベルガーグループ

参考文献
^ 「どのようにグリーンの関係式を使ってモノイドについて学ぶことができますか？」。StackExchange。2015年11月19日。
^ ジョンソン、マリアンヌ; カンビテス、マーク（2011）。「グリーンのJ次数と熱帯行列のランク」。arXiv：1102.2707 。
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