Green’s_theorem
は、二重積分と線積分に関連する平面の定理についてです。ラプラシアンを含む体積積分を面積分に関連付けるグリーンの定理にグリーンの恒等式を参照して
海岸線に近づく波
に関するグリーンの法則
と混同しないでください
ベクトル計算では、グリーンの定理は、単純な閉曲線Cの周りの線積分を、 Cで囲まれた平面領域Dの二重積分に関連付けます。これは、ストークスの定理の2次元の特殊なケースです。
コンテンツ
1 定理
2 Dが単純な領域である場合の証明
3 修正可能なジョルダン曲線の証明
4 さまざまな仮説の下での妥当性
5 多重接続された領域
6 ストークスの定理との関係
7 発散定理との関係
8 面積計算
9 歴史
10 も参照してください
11 参考文献
12 参考文献
13 外部リンク
定理
Cを正の方向、区分的に 滑らかな、平面内の単純な閉曲線とし、 DをCで囲まれた領域とします。LとMが、 Dを含み、そこに連続偏導関数を持つオープン領域で定義された（x、y）の関数である場合、
C { { scriptstyle C}}
（（ LX + M
d y ）。= ∬ D（（ ∂M X − ∂ L
∂ y ）。 dX d y {（L 、dx + M 、dy）= iint _ {D} left（{ frac { partial M} { partial x}}-{ frac { partial L} { partial y}} right）dx 、dy}
ここで、 Cに沿った積分のパスは反時計回りです。
物理学では、グリーンの定理は多くのアプリケーションを見つけます。1つは、2次元の流れの積分を解くことです。これは、ボリュームから流出する流体の合計が、囲んでいる領域の周りに合計された流出の合計に等しいことを示しています。平面幾何学、特に面積測量では、グリーンの定理を使用して、周囲を積分するだけで平面図形の面積と重心を決定できます。
Dが単純な領域である場合の証明
Dが曲線C1
、 C 2、 C 3、 C 4で構成される境界を持つ単純なタイプの領域である
場合
、グリーンの定理の半分を示すことができます 以下は、 C1とC3が垂直線（おそらく長さがゼロ）で接続された曲線であるタイプIの領域である簡略化された領域Dの定理の半分の証明です。DがタイプII領域であり、C2とC4が水平線（おそらく長さがゼロ）で接続された曲線である場合、定理の残りの半分にも同様の証明が存在します。したがって、これら2つの部分を組み合わせると、タイプIIIの領域（タイプIとタイプIIの両方である領域として定義される）の定理が証明されます。次に、 DをタイプIII領域のセットに分解することにより、この特殊なケースから一般的なケースを推測できます。
それが示されることができれば∮ C
LdX = ∬ D（（ − ∂ L ∂ y）。d A
{ oint _ {C} L 、dx = iint _ {D} left（-{ frac { partial L} { partial y}} right）dA}
（1）と ∮ C
M d y = ∬ D（（ ∂M X
）。d A
{ oint _ {C} M 、dy = iint _ {D} left（{ frac { partial M} { partial x}} right）dA}
（2） が真の場合、領域Dについてはグリーンの定理がすぐに続きます。タイプIの領域では（1 ） 、タイプIIの領域では（ 2 ）を簡単に証明できます。次に、タイプIIIの領域についてグリーンの定理が続きます。
領域DがタイプI領域であると仮定すると、右の図のように、次のように特徴付けることができます。D = {{ （（ X y
）。∣ a ≤X ≤ b g 1（（ X
）。≤ y
≤ 2（（ X
）。 } { D = {（x、y） mid a leq x leq b、g_ {1}（x） leq y leq g_ {2}（x）}}
ここで、g1と g2
はの連続
関数です。（ 1）
の二重積分を計算し ∬
D∂ L
∂y d A = ∫
ab ∫ g 1 （ X ）。g 2 （ X ）。∂ L
∂ y （（ X y
）。d y dX = ∫
a b [ L（（ Xg 2 （（ X ）。 ）。− L（（ Xg 1 （（ X ）。 ）。 ] dX { { begin {aligned} iint _ {D} { frac { partial L} { partial y}} 、dA＆= int _ {a} ^ {b} 、 int _ {g_ {1}（x）} ^ {g_ {2}（x）} { frac { partial L} { partial y}}（x、y）、dy 、dx \＆= int _ { a} ^ {b} left [L（x、g_ {2}（x））-L（x、g_ {1}（x）） right] 、dx。 end {aligned}}}
（3） 次に、（ 1 ）の線積分を計算します。Cは、 C 1、C 2、C 3、C4の4つの曲線の和集合として書き直すことができます。
C 1の場合、パラメトリック方程式を使用します：x = x、y = g 1（x）、 a≤x≤b 。それで∫ C 1 L（（ X y
）。dX = ∫ a
b L （（ X g 1 （（ X ）。 ）。
dX{ int _ {C_ {1}} L（x、y）、dx = int _ {a} ^ {b} L（x、g_ {1}（x））、dx。}
C 3では、パラメトリック方程式x = x、y = g 2（x）、a≤x≤bを使用します。それで∫ C 3 L（（ X y
）。dX = −
∫− C 3 L（（ X y
）。dX = −
∫ a b L （（ X g 2 （（ X ）。 ）。
dX{ int _ {C_ {3}} L（x、y）、dx =- int _ {-C_ {3}} L（x、y）、dx =- int _ {a} ^ {b} L（x、g_ {2}（x））、dx。}
C 3の積分は、Cが正（反時計回り）に向けられているため、 bからaに負の方向に進むため、負になります。C2とC4では、xは一定のままです。つまり、∫ C 4 L（（ X y
）。dX = ∫ C 2 L（（ X y
）。dX = 0。
{ int _ {C_ {4}} L（x、y）、dx = int _ {C_ {2}} L（x、y）、dx=0。}
したがって、 ∫ CL dX = ∫ C 1 L（（ X y
）。dX + ∫ C 2 L（（ X y
）。dX + ∫ C 3 L（（ X y
）。dX + ∫ C 4 L（（ X y
）。dX = ∫ ab L （（ X g 1 （（ X ）。 ）。dX − ∫ ab L （（ X g 2 （（ X ）。 ）。
dX { { begin {aligned} int _ {C} L 、dx＆= int _ {C_ {1}} L（x、y）、dx + int _ {C_ {2}} L（x 、y）、dx + int _ {C_ {3}} L（x、y）、dx + int _ {C_ {4}} L（x、y）、dx \＆= int _ { a} ^ {b} L（x、g_ {1}（x））、dx- int _ {a} ^ {b} L（x、g_ {2}（x））、dx。 end {整列}}}
（4） （ 3）と（4 ）を組み合わせると、タイプIの領域で（1）が得られます。同様の処理により、タイプIIの領域で（ 2 ）が得られます。2つを組み合わせると、タイプIIIの領域の結果が得られます。
修正可能なジョルダン曲線の証明
次のことを証明します
定理 — みましょう Γ { Gamma}
修正可能な、正の方向を向いたジョルダン曲線であるR 2
{ mathbb {R} ^ {2}}
そしてしましょう R { R}
その内側の領域を示します。仮定A B ： R ¯ R
{ A、B：{ overline {R}} to mathbb {R}}
は、次のような性質を持つ連続関数です。 A { A}
のすべての点で2次偏導関数があります R { R}
、 B
{ B}
のすべての点で最初の偏導関数を持っています R { R}
そしてその機能 1B D 2 A ： R R
{ D_ {1} B、D_ {2} A：R to mathbb {R}}
リーマン和積分可能 R { R}
。それで∫ Γ（（ AdX + B d y
）。= ∫ R（（ D
1 B （（ X y ）。 − A （（ X y
）。）。 d （（ X y
）。 { int _ { Gamma}（A 、dx + B 、dy）= int _ {R} left（D_ {1} B（x、y）-D_ {2} A（x、 y） right）、d（x、y）。}
次の補題が必要です。その証明は次の場所に
補題1（分解補題） — 仮定 Γ { Gamma}
は、平面内の修正可能な正の方向のジョルダン曲線であり、 R { R}
その内側の領域になります。すべての正の実数に対して δ { delta}
、 させて F （（ δ ）。 { { mathcal {F}}（ delta）}
線で囲まれた平面内の正方形のコレクションを示しますX= m
δ y= m δ
{ x = m delta、y = m delta}
、 どこ m { m}
整数のセットを実行します。次に、このために δ { delta}
、の分解が存在しますR ¯
{ { overline {R}}}
次のような方法で、有限数の重複しないサブ領域に変換します。
に含まれるサブリージョンのそれぞれ R { R}
、 いうR R
2 … R k { R_ {1}、R_ {2}、 ldots、R_ {k}}
、からの正方形です F （（ δ）。
{ { mathcal {F}}（ delta）}
。
残りのサブリージョンのそれぞれは、 R k + 1 … R s { R_ {k + 1}、 ldots、R_ {s}}
、の有限数の弧によって形成された修正可能なジョルダン曲線を境界として持っています Γ { Gamma}
といくつかの正方形の側面の一部から F （（ δ）。
{ { mathcal {F}}（ delta）}
。
国境地域のそれぞれ R k + 1 … R s { R_ {k + 1}、 ldots、R_ {s}}
エッジの長さの正方形で囲むことができます2 δ
{ 2 delta}
。
もしもΓ I
{ Gamma _ {i}}
の正の方向の境界曲線です R I
{ R_ {i}}
、 それから Γ =Γ 1 + Γ 2 + ⋯+ Γ s{ Gamma = Gamma _ {1} + Gamma _ {2} + cdots + Gamma_{s}。}
人数、個数、総数s − k { sk}
国境地域の 4 （（ Λδ + 1 ）。 { textstyle 4 ！ left（{ frac { Lambda} { delta}} + 1 right）}
、 どこ Λ { Lambda}
の長さです Γ { Gamma}
。
補題2— み ましょう Γ { Gamma}
平面内で修正可能な曲線になり、 （（ h ）。 { Delta _ { Gamma}（h）}
（の範囲）からの距離が平面内の点のセットである Γ { Gamma}
せいぜい h { h}
。このセットの外側のジョルダンコンテンツはc ¯ Δ Γ （（ h
）。≤ 2 h Λ + π h 2 { { overline {c}} 、、 Delta _ { Gamma}（h） leq 2h Lambda + pi h ^ {2}}
。
補題3— み ましょう Γ { Gamma}
で修正可能な曲線になるR 2
{ mathbb {R} ^ {2}}
そしてしましょうf ：
の範囲
Γ R { f：{ text {range of}} Gamma to mathbb {R}}
連続関数である。それで| ∫ Γ f（（ X y ）。 d y |
≤1 2 Ω f { left vert int _ { Gamma} f（x、y）、dy right vert leq { frac {1} {2}} Lambda Omega _ {f}、}
と |∫ Γ f（（ X y
）。 dX |
≤1 2 Ω f { left vert int _ { Gamma} f（x、y）、dx right vert leq { frac {1} {2}} Lambda Omega _ {f}、}
どこΩ f
{ Omega _ {f}}
の振動です f { f}
の範囲で Γ { Gamma}
。
これで、定理を証明することができます。
定理の証明。させて ε { varepsilon}
任意の正の実数である。の連続性によって A { A}
、 B { B}
とコンパクトさR ¯
{ { overline {R}}}
、与えられた ε >> 0 { varepsilon> 0}
0″”>
、 が存在します0 < δ < 1
{ 0 < delta <1}
そのようないつでも2つのポイントR ¯
{ { overline {R}}}
未満です2 2 δ { 2 { sqrt {2}} 、 delta}
離れて、下の彼らの画像 A B { A、B}
未満です ε { varepsilon}
離れて。このため δ { delta}
、前の補題によって与えられた分解を考慮して我々は持っています∫ Γ A dX + B dy = ∑ I=1 ∫ Γ
IA dX + B d y +∑ I = k+1 ∫ Γ
IA dX + B d
y{ int _ { Gamma} A 、dx + B 、dy = sum _ {i = 1} ^ {k} int _ { Gamma _ {i}} A 、dx + B 、dy quad + sum _ {i = k + 1} ^ {s} int _ { Gamma _ {i}} A 、dx + B 、dy。}
置く φφ
：=D1 − D2
{ varphi：= D_ {1} B-D_ {2} A}
。
それぞれについてI ∈ {{ 1 … k } { i in {1、 ldots、k }}
、曲線Γ I
{ Gamma _ {i}}
は正の方向を向いた正方形であり、グリーンの定理が成り立ちます。したがって、∑ I=1 ∫ Γ
IA dX + B d y =∑ I=1 ∫ R I
φφ= ∫ ⋃
I= 1 k R I
φφ{ sum _ {i = 1} ^ {k} int _ { Gamma _ {i}} A 、dx + B 、dy = sum _ {i = 1} ^ {k} int _ {R_ {i}} varphi = int _ { bigcup _ {i = 1} ^ {k} R_ {i}} 、varphi。}
境界領域のすべてのポイントは、以下の距離にあります2 2 δ { 2 { sqrt {2}} 、 delta}
から Γ { Gamma}
。したがって、 K { K}
はすべての国境地域の結合であり、K ⊂ Δ Γ（（ 22 δ ）。 { K subset Delta _ { Gamma}（2 { sqrt {2}} 、 delta）}
; したがって、 c （（ K
）。≤ c ¯ Δ Γ（（ 22 δ ）。 ≤4 2δ + 8 π δ 2
{ c（K） leq { overline {c}} 、 Delta _ { Gamma}（2 { sqrt {2}} 、 delta） leq 4 { sqrt {2}} 、 delta +8 pi delta ^ {2}}
、補題2による。∫ R
φφ − ∫ ⋃ I= 1 k R I
φφ= ∫ K
φφ{ int _ {R} varphi 、、- int _ { bigcup _ {i = 1} ^ {k} R_ {i}} varphi = int _ {K}varphi。}
これにより、| ∑
I= 1 k ∫ Γ I
AdX + B d y − ∫ R φφ| ≤ M δ（（ 1+ π 2 δ ）。 いくつかのための M >> 0。 { left vert sum _ {i = 1} ^ {k} int _ { Gamma _ {i}} A 、dx + B 、dy quad- int _ {R} varphi right vert leq M delta（1+ pi { sqrt {2}} 、 delta）{ text {for some}}M>0。}
0.}””>
私たちも選ぶかもしれません δ { delta}
最後の不等式のRHSが < ε {
この証明の冒頭の発言は、 A { A}
と B { B}
すべての国境地域で最大で ε { varepsilon}
。我々は持っています| ∑
I= k + 1 s ∫ Γ I AdX + B d y |
≤1 2 ε ∑I = k+1 Λ 私{ left vert sum _ {i = k + 1} ^ {s} int _ { Gamma _ {i}} A 、dx + B 、dy right vert leq { frac {1} {2}} varepsilon sum _ {i = k + 1} ^ {s} Lambda_{i}。}
補題1（iii）により、∑ I = k+1 Λ I ≤ Λ +（（ 4 δ ）。 4 （（ Λδ + 1
）。≤ 17 Λ +
16.16。
{ sum _ {i = k + 1} ^ {s} Lambda _ {i} leq Lambda +（4 delta）、4 ！ left（{ frac { Lambda} { delta}} + 1 right） leq 17 Lambda+16。}
これらを組み合わせると、最終的に| ∫
ΓA dX + B d y − ∫ R
φφ| < C
ε{ left vert int _ { Gamma} A 、dx + B 、dy quad- int _ {R} varphi right vert
いくつかのための C >> 0 { C> 0}
0}””>
。これはすべてに当てはまるので ε >> 0 { varepsilon> 0}
0″”>
、完了です。
さまざまな仮説の下での妥当性
グリーンの定理が真であるのは、最後の定理の仮説だけではありません。別の一般的な条件のセットは次のとおりです。
機能A B ： R ¯ R
{ A、B：{ overline {R}} to mathbb {R}}
まだ連続的であると想定されています。ただし、現在では、すべての点でフレシェ微分可能である必要が R { R}
。これは、特にすべての方向微分の存在を意味しますD e
I A =：D I D e
I B =：D I
B 私= 1 2
{ D_ {e_ {i}} A =：D_ {i} A、D_ {e_ {i}} B =：D_ {i} B、、i = 1，2}
、ここで、いつものように、（（ e 1 e 2）。
{（e_ {1}、e_ {2}）}
の正規の順序付けられた基底ですR 2
{ mathbb {R} ^ {2}}
。また、機能が必要ですD1 − D2
{ D_ {1} B-D_ {2} A}
リーマン和になります R { R}
。
この結果として、修正可能なジョルダン曲線のコーシー積分定理が得られます。
定理（Cauchy） — If Γ { Gamma}
の修正可能なジョルダン曲線です C { mathbb{C}}
で、もしf ：
の内部領域の閉鎖
Γ C { f：{ text {}} Gamma to mathbb{C}}の内部領域の閉鎖
の内部領域全体で正則な連続マッピングです Γ { Gamma}
、 それから∫ Γ f =
0 { int _ { Gamma} f = 0、}
積分は複雑な周回積分です。
証拠
複素平面を次のように見なしますR 2
{ mathbb {R} ^ {2}}
。ここで、定義しますu v ： R ¯ R
{ u、v：{ overline {R}} to mathbb {R}}
そのようなこと f （（ X+ I y
）。= u（（ X y
）。+ I v（（ X y
）。 { f（x + iy）= u（x、y）+ iv（x、y）。}
これらの機能は明らかに継続的です。よく知られています u { u}
と v
{ v}
フレシェ微分可能であり、コーシー・リーマン方程式を満たしていること。 1v + D 2 u = D1 u − D 2 v = 零点関数
{ D_ {1} v + D_ {2} u = D_ {1} u-D_ {2} v = { text {zero function}}}
。
ここで、問題の複素周回積分を定義するために使用される合計を分析すると、次のことを簡単に理解できます。∫ Γ f = ∫ Γ u
dX− v d y + I ∫Γ v dX + u d
y { int _ { Gamma} f = int _ { Gamma} u 、dx-v 、dy quad + i int _ { Gamma} v 、dx + u 、dy、}
RHSの積分は通常の線積分です。これらの発言により、グリーンの定理をこれらの線積分のそれぞれに適用して、証明を完成させることができます。
多重接続された領域
定理。させて Γ 0 Γ
1 … Γ n { Gamma _ {0}、 Gamma _ {1}、 ldots、 Gamma _ {n}}
正に方向付けられた修正可能なジョルダン曲線であるR 2
{ mathbb {R} ^ {2}}
満足Γ I
⊂ R 0 もしも 1 ≤ I ≤ n Γ I
⊂R2 R ¯
j もしも 1 ≤ I j ≤ n
と I ≠
j { { begin {aligned} Gamma _ {i} subset R_ {0}、&& { text {if}} 1 leq i leq n \ Gamma _ {i} subset mathbb { R} ^ {2} setminus { overline {R}} _ {j}、&& { text {if}} 1 leq i、j leq n { text {and}} i neq j、 end {aligned}}}
どこR I
{ R_ {i}}
の内側の領域ですΓ I
{ Gamma _ {i}}
。させて
D= R 0 ∖（（ R¯ 1 ∪
R¯ 2 ∪ ⋯ ∪ ¯ n ）。{ D = R_ {0} setminus（{ overline {R}} _ {1} cup { overline {R}} _ {2} cup cdots cup { overline {R}} _ {n}）。}
仮定するp ： D ¯ R
{ p：{ overline {D}} to mathbb {R}}
とq ： D ¯ R
{ q：{ overline {D}} to mathbb {R}}
に制限されている連続関数です D { D}
フレシェ微分可能です。関数の場合（（ X y ）。 ⟼
∂ （（ X y ）。 −
∂ （（ X y ）。 {（x、y） longmapsto { frac { partial q} { partial e_ {1}}}（x、y）-{ frac { partial p} { partial e_ {2}}} （x、y）}
リーマン和で積分可能 D { D}
、 それから∫ Γ 0 p（（ X y
）。dX + q（（ X y
）。d y − ∑ I = 1n ∫ Γ I p（（ X y
）。dX + q（（ X y
）。d y = ∫ D
{{∂ q
∂ （（ X y
）。 − ∂ p ∂ （（ X y
）。} d（（ X y
）。 { { begin {aligned}＆ int _ { Gamma _ {0}} p（x、y）、dx + q（x、y）、dy- sum _ {i = 1} ^ {n} int _ { Gamma _ {i}} p（x、y）、dx + q（x、y）、dy \ = {}＆ int _ {D} left {{ frac { partial q} { partial e_ {1}}}（x、y）-{ frac { partial p} { partial e_ {2}}}（x、y） right } 、d（x、y）。 end {aligned}}}
ストークスの定理との関係
グリーンの定理は、ケルビン・ストークス定理の特殊なケースであり、X y { xy}
-飛行機。
2次元フィールドを常に0であるz成分を持つ3次元フィールドに拡張できます。ベクトル値関数のFを記述します。F =（（ L M 0 ）。 { mathbf {F} =（L、M、0）}
。グリーンの定理の左側から始めます。∮ C（（ LdX + M d y
）。= ∮ C（（ L M 0
）。 ⋅ （（ dX dy d z
）。= ∮ C F ⋅ d
r{ oint _ {C}（L 、dx + M 、dy）= oint _ {C}（L、M、0） cdot（dx、dy、dz）= oint _ {C} mathbf {F} cdot d mathbf{r}。}
ケルビン・ストークスの定理：∮ C F ⋅ d r =∬ S ∇ ×× F ⋅ n^ d
S{ oint _ {C} mathbf {F} cdot d mathbf {r} = iint _ {S} nabla times mathbf {F} cdot mathbf { hat {n}} 、dS。}
表面 S { S}
平面内の領域にすぎません D { D}
、通常のユニットでn ^
{ mathbf { hat{n}}}}
両方の定理の「正の方向」の定義に一致させるために、正のz成分を持つように（慣例により）定義されています。
積分内の式は次のようになります ∇ ××
F ⋅ n ^ =
[ （（ ∂0 ∂ y − ∂ M ∂ z ）。 I +（（ ∂L ∂ z − ∂ 0 ∂X
）。 j +（（ ∂M ∂X − ∂ L ∂ y
）。k] ⋅
k = （（∂M X − ∂ L
∂ y ）。{ nabla times mathbf {F} cdot mathbf { hat {n}} = left [ left（{ frac { partial 0} { partial y}}-{ frac {部分的M}{部分的z}}right） mathbf {i} + left（{frac{部分的L}{部分的z}}-{frac{部分的0}{部分的x}} right） mathbf {j} + left（{ frac { partial M} { partial x}}-{ frac { partial L} { partial y}} right） mathbf {k} right] cdot mathbf {k} = left（{ frac { partial M} { partial x}}-{ frac { partial L} { partial y}} right）}
したがって、グリーンの定理の正しい側面が得られます∬ S ∇ ×× F ⋅ n^ d S = ∬ D（（∂M X − ∂ L
∂ y ）。 d A{ iint _ {S} nabla times mathbf {F} cdot mathbf { hat {n}} 、dS = iint _ {D} left（{ frac { partial M} { partial x}}-{ frac { partial L} { partial y}} right）、dA。}
グリーンの定理は、微分形式と外微分を使用した一般的なストークスの定理の直接的な結果でも∮ C L dX + M d
y= ∮ ∂ D ω = ∫D d ω = ∫ D ∂ L
∂ y ∧ dX + ∂
M ∂ XX ∧ d y = ∬ D（（∂M X − ∂ L
∂ y ）。dX d
y{ oint _ {C} L 、dx + M 、dy = oint _ { partial D} ！ omega = int _ {D} d omega = int _ {D} { frac { partial L} { partial y}} 、dy wedge 、dx + { frac { partial M} { partial x}} 、dx wedge 、dy = iint _ {D} left（{ frac { partial M} { partial x}}-{ frac { partial L} { partial y}} right）、dx 、dy。}
発散定理との関係
2次元のベクトル場のみを考慮すると、グリーンの定理は発散定理の2次元バージョンと同等です。∭ V（（ ∇ ⋅ F）。d V =
{ iiint _ {V} left（ mathbf { nabla} cdot mathbf {F} right）、dV =}
∂ V
{ partial scriptstyle V}
（（ F ⋅ n
^）。 d S{（ mathbf {F} cdot mathbf { hat {n}}）、dS。}
どこ∇ ⋅ F
{ nabla cdot mathbf{F}}
2次元ベクトル場の発散です F { mathbf{F}}
、 とn ^
{ mathbf { hat{n}}}}
は、境界上の外向きの単位法線ベクトルです。
これを確認するには、通常のユニットを検討してくださいn ^
{ mathbf { hat{n}}}}
方程式の右辺にグリーンの定理以来d r =（（ dX d y ）。
{ d mathbf {r} =（dx、dy）}
は曲線に沿って接線方向を指すベクトルであり、曲線Cは境界に沿った正の方向（つまり反時計回り）の曲線です。外向きの法線はこれの右に90°を指すベクトルになります。1つの選択肢は（（ d
y − dX ）。
{（dy、-dx）}
。このベクトルの長さは dX 2+ d y = d s { textstyle { sqrt {dx ^ {2} + dy ^ {2}}}=ds。}
それで（（ d
y − dX ）。= n ^ d
s {（dy、-dx）= mathbf { hat {n}} 、ds。}
グリーンの定理の左側から始めます。∮ C（（ LdX + M d y
）。= ∮ C（（ M − L ）。 ⋅ （（ d
y − dX ）。= ∮ C（（ M − L ）。 ⋅ n^ d
s{ oint _ {C}（L 、dx + M 、dy）= oint _ {C}（M、-L） cdot（dy、-dx）= oint _ {C}（M 、-L） cdot mathbf { hat {n}} 、ds。}
2次元発散定理をF =（（ M − L ）。
{ mathbf {F} =（M、-L）}
、グリーンの定理の正しい側を取得します。∮ C（（ M − L ）。 ⋅ n^ d s = ∬ D（（ ∇ ⋅ （（ M − L ）。
）。d A = ∬ D（（∂M X − ∂ L
∂ y ）。 d A{ oint _ {C}（M、-L） cdot mathbf { hat {n}} 、ds = iint _ {D} left（ nabla cdot（M、-L） right）、dA = iint _ {D} left（{ frac { partial M} { partial x}}-{ frac { partial L} { partial y}} right）、dA 。}
面積計算
グリーンの定理は、線積分によって面積を計算するために使用できます。平面領域の面積 D { D}
によって与えられますA = ∬ D d
A{ A = iint _{D}dA。}
選ぶ L { L}
と M { M}
そのような∂ M ∂X − ∂ L ∂y = 1
{ { frac { partial M} { partial x}}-{ frac { partial L} { partial y}} = 1}
、面積はによって与えられますA = ∮ C（（ LdX + M d y
）。{ A = oint _ {C}（L 、dx + M 、dy）。}
の領域の可能な式 D { D}
を含めるA = ∮ CX d y = − ∮C y dX=1 2∮ C（（ −y dX +X d y
）。{ A = oint _ {C} x 、dy =- oint _ {C} y 、dx = { tfrac {1} {2}} oint _ {C}（-y 、dx + x 、dy）。}
歴史
これは、1828年の論文「電気と磁気の理論への数学的分析の適用に関するエッセイ」で同様の結果を述べたジョージ・グリーンにちなんで名付けられました。1846年、オーギュスタン=ルイコーシーは、グリーンの定理を最後から2番目の文として述べた論文を発表しました。これは実際、現代の教科書に登場する形でのグリーンの定理の最初の印刷版です。ベルンハルト・リーマンは、複素変数の関数の理論に関する博士論文で、グリーンの定理の最初の証明を示しました。
も参照してください
数学ポータル
プラニメータ –面積を測定するためのツール。
鏡像法–静電気学で使用される方法で、一意性の定理（グリーンの定理から導出）を利用します。
靴紐の公式–単純なポリゴンに対するグリーンの定理の特殊なケース
参考文献
^ ライリー、KF; ホブソン、MP; ベンス、SJ（2010）。物理学と工学のための数学的方法。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-86153-3。
^ シュピーゲル、MR; Lipschutz、S .; スペルマン、D。（2009）。ベクトル解析。シャウムの概要（第2版）。マグロウヒル。ISBN 978-0-07-161545-7。
^ アポストル、トム（1960）。数学的分析（1版）。米国マサチューセッツ州レディング：Addison-Wesley Publishing Company、INC。
^ Stewart、James（1999）。微積分（第6版）。トムソン、ブルックス/コール。ISBN 9780534359492。
^ ジョージ・グリーン、電気と磁気の理論への数学的分析の適用に関するエッセイ（ノッティンガム、イギリス：T. Wheelhouse、1828）。グリーンは、に登場する「グリーンの定理」の形式を実際に導き出したわけではありません。むしろ、彼はエッセイの10〜12ページにある「発散定理」の形式を導き出しました。1846年、に登場する「グリーンの定理」の形式は、オーギュスタン・コーシーの記事で証明なしに最初に公開されました。A。コーシー（1846）「Surlesintégralesquis’étendentàtouslespointsd’une courbefermée」（閉曲線のすべての点にまたがる積分について）、 Comptes rendus、 23：251–255。（方程式は254ページの下部に表示されます。ここで（ S ）は、領域Sを囲む曲線sに沿った関数kの線積分を示します。）定理の証明は、1851年にベルンハルトリーマンの就任式で論文：Bernhard Riemann（1851） Grundlagenfüreineallgemeine Theorie derFunctioneneinerveränderlichencomplexenGrösse（可変複素量の関数の一般理論の基礎）、（ゲッティンゲン、（ドイツ）：Adalbert Rente、1867）; 8〜9ページを参照して ^ Katz、Victor（2009）。「22.3.3：複素関数と線積分」。数学の歴史：はじめに。アディソン-ウェスリー。pp。801–5。ISBN 978-0-321-38700-4。
参考文献
マースデン、ジェロルドE .; Tromba、Anthony J.（2003）。「ベクトル解析の積分定理」。ベクトル計算（第5版）。ニューヨーク：フリーマン。pp。518–608。ISBN 0-7167-4992-0。
外部リンク
MathWorldに関するグリーンの定理”