隠されたアトラクタ – 日本の辞書

Hidden_attractor
分岐理論では、定在集合の安定性を失うことなく生まれる有界振動を隠れ振動と呼びます。非線形制御理論では、有界状態の時不変制御システムで隠れた振動が発生するということは、定常状態の局所的な安定性が全体的な安定性を意味する、パラメーターの領域で境界を越えることを意味します（たとえば、Kalmanの推測を参照）。。隠れた振動（または動的システムの位相空間のコンパクトなサブセットを満たすそのような隠れた振動のセット）がすべての近くの振動を引き付ける場合、それは隠れたアトラクタと呼ばれます。のためにグローバルに魅力的な独自の平衡点を持つ動的システムである隠れたアトラクタの誕生は、単安定から双安定への動作の質的な変化に対応します。一般的なケースでは、動的システムは多安定であり、位相空間に共存するローカルアトラクタを持っていることが判明する場合が些細なアトラクタ、つまり安定した平衡点は、分析的または数値的に簡単に見つけることができますが、周期的で無秩序なアトラクタの検索は、困難な問題であることが判明する可能性があります（たとえば、ヒルベルトの第16問題の2番目の部分を参照）。

コンテンツ
1 非表示または自励としてのアトラクタの分類
1.1 自励アトラクタ 1.2 隠されたアトラクタ
2 隠れた振動の理論
3 参考文献
4 本
5 厳選された講義

非表示または自励としてのアトラクタの分類
物理的または数値的な実験でローカルアトラクタを特定するには、アトラクタの引力の盆地で初期システムの状態を選択し、この初期状態から開始して、一時的なプロセスの後、システムの状態がアトラクタをどのように視覚化するかを観察する必要がアトラクタを非表示または自励として分類することは、アトラクタの盆地を明らかにし、位相空間でローカルアトラクタを検索することの難しさを反映しています。
定義。アトラクタは、そのアトラクションの盆地が平衡点の特定の開いた近傍と交差しない場合、隠れたアトラクタと呼ばれます。それ以外の場合は、自励アトラクタと呼ばれます。
隠されたアトラクタまたは自励のアトラクタの分類は、2009年に初めて隠されたチュアアトラクタの発見に関連してG.レオノフとN.クズネツォフによって導入されました。同様に、位相空間の引力の盆地として必ずしも開いた近傍を持たない任意の有界振動は、自励振動または隠れた振動として分類されます。

Chuaのシステムにおけるカオス的
自励アトラクタ（グリーンドメイン）。2つの鞍点（青）とゼロ平衡点（オレンジ）の近傍に初期データがある軌道は、アトラクタになる傾向があります（緑）。

Chuaのシステムの混沌とした隠されたアトラクタ（緑のドメイン）。2つの鞍点（青）の近傍に初期データがある軌道は、無限大になる傾向（赤い矢印）または安定したゼロ平衡点（オレンジ色）になる傾向があります（黒い矢印）。

チュア回路では、2つの隠れたカオスアトラクタと1つの隠れた周期的アトラクタが2つの些細なアトラクタと共存しています（IJBCカバー
から）

自励アトラクタ
自励発振アトラクタの場合、その引力の盆地は不安定な平衡状態に関連しているため、自励発振アトラクタは、一時的なプロセスの後、軌道が次の近傍で始まる標準的な計算手順によって数値的に見つけることができます。不安定な平衡状態は、振動の状態に引き付けられ、それを追跡します（たとえば、自励発振プロセスを参照）。したがって、自己励起アトラクタは、多安定性の場合でも共存している場合でも、簡単に明らかにして数値で視覚化することができます。ローレンツシステムでは、古典的なパラメーターの場合、アトラクターは既存のすべての平衡に関して自励式であり、それらの近傍からの任意の軌道によって視覚化できます。ただし、他のいくつかのパラメータ値については、カオスアトラクタと共存する2つの些細なアトラクタがこれは、ゼロ平衡に関してのみ自励するアトラクタです。Van der Pol、Beluosov–Zhabotinsky、Rössler、Chua、Hénonの動的システムの古典的なアトラクターは自励しています。
推測では、自励アトラクタのリャプノフ次元は、不安定な多様体が引力の盆地と交差してアトラクタを視覚化する不安定な平衡の1つのリャプノフ次元を超えないということです。

隠されたアトラクタ
隠されたアトラクタには、平衡とは関係がなく、位相空間のどこかに「隠されている」引力の盆地がたとえば、隠れたアトラクタは、平衡のないシステムのアトラクタです。たとえば、Sommerfeld効果のある回転電気機械力学システム（1902）、安定している平衡が1つしかないシステムの場合：たとえば、Aizermanの推測（1949）およびKalmanの推測の反例（1957）非線形制御システムの単安定性について。最初に関連する理論上の問題の1つは、ネストされた安定したリミットサイクルが隠れた周期的アトラクタである2次元多項式システムにおけるリミットサイクルの数と相互配置に関するヒルベルトの16番目の問題の2番目の部分です。隠されたアトラクタの概念は、多くの適用された動的モデルで隠されたアトラクタを発見するための触媒になりました。
一般に、隠れたアトラクタの問題は、システムのダイナミクスについてそのような状態を追跡または予測するための一般的な簡単な方法がないことです（たとえばを参照）。2次元システムの場合、隠れた振動は分析手法を使用して調査できますが（たとえば、ヒルベルトの第16問題の第2部の結果を参照）、複雑な非線形多次元システムの安定性と振動の研究には、数値手法がよく使用されます。。多次元の場合、軌道とランダムな初期データの統合は、引力の盆地が非常に小さい可能性があり、アトラクタの次元自体が考慮された次元よりもはるかに小さい可能性があるため、隠れたアトラクタのローカリゼーションを提供する可能性は低いです。システム。したがって、多次元空間における隠れたアトラクタの数値的位置特定のためには、隠れたアトラクタの引力領域で初期データを選択できる特別な分析数値計算手順を開発する必要が振動（平衡の近傍を含まない）、そして軌道計算を実行します。ホモトピーと数値連続に基づく対応する効果的な方法が最初の（開始）システムの場合、振動解（開始振動）の数値計算の初期データを分析的に取得できるように、同様のシステムのシーケンスが構築されます。次に、あるシステムから別のシステムへの遷移におけるこの開始振動の変換が数値的に追跡されます。

隠れた振動の理論

隠れた振動の理論と力学系の安定性に対して
N.クズネツォフに授与されたAfraimovich賞（2021年）
アトラクタを自己出口または隠れたものとして分類することは、アンドロノフの振動理論の現代的な発展を表す隠れた振動の理論の出現の基本的な前提でした。グローバルな安定性の正確な境界を決定するための鍵であり、その一部はN. Kuznetsovによって些細なもの（つまり、ローカル分岐によって決定される）または隠されたもの（つまり、非ローカル分岐によって決定され、隠されたものの誕生によって決定される）として分類されます。振動）。

参考文献
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本
多安定性と隠れた誘引物質を備えたカオスシステム（編：Wang、Kuznetsov、Chen）、Springer、2021（doi：10.1007 / 978-3-030-75821-9）
自励および隠されたアトラクタを備えた非線形動的システム（編：Pham、Vaidyanathan、Volos et al。）、Springer、2018（doi：10.1007 / 978-3-319-71243-7）

厳選された講義
N.Kuznetsov、招待講演力学系の隠れた振動と安定性の理論、Int。応用数学に関するワークショップ、チェコ共和国、2021年
アフライモビッチ賞の本会議講演：N。クズネツォフ隠れた振動の理論と力学系の安定性。Int。非線形ダイナミクスと複雑さに関する会議、2021年”