隠れた線形関数の問題

Hidden_linear_function_problem
隠れた線形関数問題は、Bernstein–Vazirani問題を一般化する探索問題です。 Bernstein–Vazirani問題では、隠された関数はoracleで暗黙的に指定されます。一方、2D隠れ線形関数問題（2D HLF）では、隠れ関数は行列とバイナリベクトルによって明示的に指定されます。2D HLFは、有界ファンインゲートを使用してキュービットの2次元グリッドに制限された一定深さの量子回路によって正確に解くことができますが、非有界ファンを使用するサブ指数サイズの一定深さの古典的回路によって解くことはできません。AND、OR _、ゲートではありません。 Bernstein–Vaziraniの問題は、複雑度クラス BQPとBPPの間のオラクル分離を証明するように設計されましたが、2D HLFは、回路クラス間の明示的な分離を証明するように設計されました。Q N C 0
{ QNC ^ {0}}と N C 0
{ NC ^ {0}}（（ QN C0 N C 0
{ QNC ^ {0} nsubseteq NC ^ {0}}
）。

コンテンツ
1 2DHLF問題ステートメント
2 2DHLFアルゴリズム
3 参考文献
4 外部リンク

2DHLF問題ステートメント
与えられたA ∈ F 2 n
×× n { A in mathbb {F} _ {2} ^ {n times n}}

 （サイズの上三角 バイナリ行列 n ×× n { n times n}

 ） とb ∈ F 2 n
{ b in mathbb {F} _ {2} ^ {n}}

 （長さのバイナリベクトル n { n}

 ）、
関数を定義するq ： F 2 n Z 4
{ q： mathbb {F} _ {2} ^ {n} to mathbb {Z} _ {4}}

 ： q （（ X
）。 = （（ 2XT AX + b TX ）。 モッド4 =（（ 2
∑I j A I jX 私X j I b 私X I ）。 モッド
4 { q（x）=（2x ^ {T} Ax + b ^ {T} x）{ bmod {4}} = left（2 sum _ {i、j} A_ {i、j} x_ {i} x_ {j} + sum _ {i} b_ {i} x_ {i} right）{ bmod {4}}、}

 と L q =
{{X∈ F 2 n ： q（（ X⊕ y
）。 = （（ q（（ X
）。+ q（（ y ）。 ）。
モッド4 ∀ y ∈ F 2 n
} { { mathcal {L}} _ {q} = { Big {} x in mathbb {F} _ {2} ^ {n}：q（x oplus y）=（q（x ）+ q（y））{ bmod {4}} ~~ forall y in mathbb {F} _ {2} ^ {n} {Big}}。}
  存在するz ∈ F 2 n
{ z in mathbb {F} _ {2} ^ {n}}

 そのような q （（ X
）。= 2 z TX ∀X ∈ L
q { q（x）= 2z ^ {T} x ~~ forall x in { mathcal {L}}_{q}。}
  探す z { z}

 。

2DHLFアルゴリズム
3つのレジスタを使用。最初のホールディングホールディング A { A}

 、2番目に含まれる b { b}

 そして3番目は n { n}

 -量子ビット状態、回路は実装する制御されたゲートを持っていますU q=∏ 1 < I < j < n
CZ I j A
Ij ⋅ ⨂ j = 1 n S j j0 j { U_ {q} = prod _ {1
 最初の2つのレジスタから3番目のレジスタまで。
この問題は、量子回路によって解決することができます、H ⊗
nU q H
⊗ 0 n ⟩
{ H ^ { otimes n} U_ {q} H ^ { otimes n} mid 0 ^ {n} rangle}

 、ここで、Hはアダマールゲート、SはSゲート、CZはCZゲートです。この回路で解決されるのは p （（ z
）。= | ⟨ z ⊗
nU q H ⊗
n | 0
n 2
{ p（z）= left | langle z | H ^ { otimes n} U_ {q} H ^ { otimes n} | 0 ^ {n} rangle right | ^ {2}}

 、 p （（ z ）。 >> 0 { p（z）> 0}
0}””> iff z
{ z}

 解決策です。