ホッジ予想 – 日本の辞書

Hodge_conjecture

数学では、ホッジ予想は代数幾何学と複素幾何学における主要な未解決の問題であり、非特異な複素代数の多様性の代数トポロジーをその亜種に関連付けます。
簡単に言えば、ホッジ予想は、特定の幾何学的空間の穴の数、複雑な代数の種類などの基本的な位相幾何学的情報は、それらの空間内にある可能性のある素敵な形を研究することによって理解できると主張しています。後者のオブジェクトは、代数と解析関数の微積分を使用して研究できます。これにより、他の方法では簡単に視覚化できない、多くの場合高次元の空間の広い形状と構造を間接的に理解できます。
より具体的には、予想は、特定のド・ラームコホモロジーのクラスが代数的であると述べています。つまり、それらは亜変種の相同性クラスのポアンカレ双対の合計です。これは、1930年から1940年にかけて、複雑な代数的品種の場合に存在する余分な構造を含むようにド・ラームコホモロジーの記述を充実させるための作業の結果として、スコットランドの数学者ウィリアム・ヴァランス・ダグラス・ホッジによって策定されました。マサチューセッツ州ケンブリッジで開催された1950年の国際数学者会議で、ホッジが演説で発表するまでは、ほとんど注目されていませんでした。ホッジ予想は、クレイ数学研究所のミレニアム懸賞問題の1つであり、ホッジ予想を証明または反証できる人には1，000，000ドルの賞金が与えられます。

コンテンツ
1 動機
2 ホッジ予想の声明
2.1 代数的サイクルの観点からの再定式化
3 ホッジ予想の既知の事例
3.1 低次元と余次元 3.2 超曲面 3.3 アーベル多様体
4 一般化
4.1 積分ホッジ予想 4.2 ケーラー品種のホッジ予想 4.3 一般化されたホッジ予想
5 ホッジ遺伝子座の代数性
6 も参照してください
7 参考文献
8 外部リンク

動機
Xを複素次元nのコンパクトな複素多様体とします。その場合、 Xは実次元の向き付け可能な滑らかな多様体です2 n
{ 2n}
$2n""$
、したがって、そのコホモロジー群はゼロからゼロ度にあります2 n
{ 2n}

。Xがケーラー多様体であると仮定すると、そのコホモロジーは複素係数で分解されます。H n（（ X C）。= ⨁
p+ q = n H p q（（ X
）。 { H ^ {n}（X、 mathbb {C}）= bigoplus _ {p + q = n} H ^ {p、q}（X）、}
どこH p q （ X ）。
{ H ^ {p、q}（X）}

タイプの調和形式によって表されるコホモロジークラスのサブグループです（（ p q ）。 {（p、q）}

。つまり、これらは微分形式で表されるコホモロジークラスであり、ローカル座標のいくつかの選択で z 1 … z n { z_ {1}、 ldots、z_ {n}}

、調和関数時間として書くことができますd z I1 ⋯ ∧ d zI p
∧d z ¯ j1 ⋯ ∧ dz ¯ j
q { dz_ {i_ {1}} wedge cdots wedge dz_ {i_ {p}} wedge d { bar {z}} _ {j_ {1}} wedge cdots wedge d { bar {z}} _{j_{q}}。}
（詳細については、ホッジ理論を参照して）
これらの調和代表のくさび積を取ることは、コホモロジーのカップ積に対応するため、複素係数のカップ積はホッジ分解と互換性が⌣ ： H p q（（ X ）。 ××H p ′q ′（（ X
）。H p + p ′ q + q ′ （（ X
）。 { smile Colon H ^ {p、q}（X） times H ^ {p’、q’}（X） rightarrow H ^ {p + p’、q + q’}（X）。 }
Xはコンパクトな方向付け多様体であるため、Xは基本クラスを持ち、 Xを統合することができます。
Zを次元kのXの複雑な部分多様体とし、I ： Z X
{ i Colon Z to X}

包含マップになります。微分形式を選択する α { alpha}

タイプの（（ p q ）。 {（p、q）}

。統合できます α { alpha}

プルバック機能を使用してZを超えるI ∗
{ i ^ {*}}

、 ∫ ZI ∗ α
{ int _ {Z} i ^ {*} alpha}

。
この積分を評価するには、Zの点を選択してそれを呼び出しますz =（（ z
1 … z
k）。
{ z =（z_ {1}、 ldots、z_ {k}）}

。Xにzを含めることは、ローカル座標を選択できることを意味します z 1 … z k { z_ {1}、 ldots、z_ {k}}

ZがのサブセットであるようなX上z k+1 ⋯ = z n 0
{ z_ {k + 1} = cdots = z_ {n} = 0}

。もしも p >> k { p> k}
k}””>
、それから α { alpha}

いくつか含まれている必要がありますd z I
{ dz_ {i}}

どこz I
{ z_ {i}}

Zでゼロに戻ります。同じことが当てはまります d z¯ j
{ d { bar {z}} _ {j}}

もしも q >> k { q> k}
k}””>
。したがって、この積分は次の場合にゼロになります。（（ p q
）。 ≠ （（ k k ）。 {（p、q） neq（k、k）}

。
一方、積分は、 Zのホモロジークラスとコホモロジークラスのキャップ積として書くことができます。 α { alpha}

。ポアンカレ双対性により、 Zのホモロジークラスはと呼ばれるコホモロジークラスと二重になり、キャップ積はとαのカップ積を取り、 Xの基本クラスでキャップすることによって計算できます。
はコホモロジークラスであるため、ホッジ分解が上記で行った計算により、このクラスを任意のタイプのクラスと組み合わせると（（ p q
）。 ≠ （（ k k ）。 {（p、q） neq（k、k）}

、次にゼロになります。なぜならH 2 n（（ X C
）。= H n n （ X ）。
{ H ^ {2n}（X、 mathbb {C}）= H ^ {n、n}（X）}

、はにある必要があると結論付けますH n − n − k （（ X ）。 { H ^ {nk、nk}（X）}

。
ホッジ予想はそれから（大まかに）尋ねます：
どのコホモロジークラスでH k k（（ X ）。 { H ^ {k、k}（X）}

複雑な亜変種Zから来てい
ますか？

ホッジ予想の声明
させて：Hdg k（（ X
）。= H 2 k（（ X Q）。∩ H k k（（ X
）。 { operatorname {Hdg} ^ {k}（X）= H ^ {2k}（X、 mathbb {Q}） cap H ^ {k、k}（X）。}
これをX上の次数2kのホッジクラスのグループと呼びます。
ホッジ予想の現代の声明は次のとおりです。
ホッジ予想。X を非特異で複雑な射影多様体とします。次に、 X上のすべてのホッジクラスは、 Xの複雑な亜変種のコホモロジークラスの有理係数との線形結合です。
射影複素多様体は、複雑な射影空間に埋め込むことができる複素多様体です。射影空間はケーラー計量、フビニ・スタディ計量を運ぶので、そのような多様体は常にケーラー多様体です。チョウの定理によれば、射影複素多様体は滑らかな射影代数多様体でもつまり、同次多項式の集合の零点集合です。

代数的サイクルの観点からの再定式化
ホッジ予想を言い換える別の方法は、代数的サイクルのアイデアを含みます。Xの代数的サイクルは、 Xの亜変種の形式的な組み合わせです。つまり、次のような形式になります。 ∑ Ic I Z
I { sum _ {i} c_ {i}Z_{i}。}
係数は通常、積分または有理数と見なされます。代数的サイクルのコホモロジークラスを、そのコンポーネントのコホモロジークラスの合計として定義します。これは、ド・ラームコホモロジーのサイクルクラスマップの例です。ヴェイユコホモロジーを参照してたとえば、上記のサイクルのコホモロジークラスは次のようになります。 ∑ Ic I
[ Z I ] { sum _ {i} c_ {i}。}
このようなコホモロジークラスは代数と呼ばれます。この表記法では、ホッジ予想は次のようになります。
X を射影複素多様体とします。次に、 X上のすべてのホッジクラスは代数です。
ホッジ予想では、 Xが代数（射影複素多様体）であるという仮定を弱めることはできません。1977年、スティーブン・ザッカーは、ホッジ予想の反例を、タイプの分析的有理コホモロジーを備えた複素トーラスとして構築できることを示しました。（（ p p ）。 {（p、p）}

、これは射影代数ではありません。（ Zucker（1977）の付録Bを参照）
ホッジ予想の既知の事例編集

低次元と余次元
ホッジ予想の最初の結果は、レフシェッツ（1924）によるものです。実際、それは推測よりも前のものであり、ホッジの動機の一部を提供しました。
定理（（1，1）クラスのレフシェッツ定理）の任意の要素H 2 （ XZ ）。∩ H 1 1 （ X ）。
{ H ^ {2}（X、 mathbb {Z}） cap H ^ {1，1}（X）}
上の除数のコホモロジークラスですX
{ X}
。特に、ホッジ予想はH 2
{ H ^ {2}}
。
層係数コホモロジーと指数関数的正確シーケンスを使用して、非常に迅速な証明を行うことができます。（除数のコホモロジークラスは、最初のチャーンクラスに等しいことがわかります。）レフシェッツの元の証明は、アンリポアンカレによって導入された通常の関数によって進められました。ただし、グリフィスの横断性定理は、このアプローチでは、より高い余次元の亜変種に対するホッジ予想を証明できないことを示しています。
Hard Lefschetzの定理により、次のことが証明できます。
定理。ホッジ予想がホッジクラスの学位に当てはまる場合 p { p}
、すべてのためにp < n
{ p 、その後、ホッジ予想はホッジクラスの学位に当てはまります2 n − p
{ 2n-p}
。
上記の2つの定理を組み合わせると、ホッジ予想はホッジクラスの学位に当てはまります。2 n − 2
{ 2n-2}

。これは、ホッジ予想を証明します。X
{ X}

最大で3つの次元が（1，1）クラスに関するレフシェッツの定理は、すべてのホッジクラスが除数のホッジクラスによって生成される場合、ホッジ予想が真であることも意味します。
当然のことです。代数の場合Hdg ∗（（ X
）。 = ⨁k Hdg k（（ X ）。 { operatorname {Hdg} ^ {*}（X）= bigoplus nolimits _ {k} operatorname {Hdg} ^ {k}（X）}
によって生成されますHdg 1（（ X ）。 { operatorname {Hdg} ^ {1}（X）}
、そしてホッジ予想はX
{ X}
。

超曲面
強いレフシェッツの定理と弱いレフシェッツの定理によると、超曲面のホッジ予想の唯一の自明でない部分は、2 m次元の超曲面の次数mの部分（つまり、中間コホモロジー）です。X⊂ P 2 m + 1
{ X subset mathbf {P} ^ {2m + 1}}

。次数dが2の場合、つまりXが2次曲面の場合、ホッジ予想はすべてのmに当てはまります。にとってm = 2
{ m = 2}

、すなわち、4倍、ホッジ予想はd ≤ 5
{ d leq 5}

。

アーベル多様体
ほとんどのアーベル多様体では、代数Hdg *（X）は1次で生成されるため、ホッジ予想が成り立ちます。特に、ホッジ予想は、十分に一般的なアーベル多様体、楕円曲線の積、および素次元の単純なアーベル多様体に当てはまります。しかし、Mumford（1969）は、除数クラスの積によってHdg 2（X）が生成されないアーベル多様体の例を作成しました。Weil（1977）は、品種が虚数二次体による虚数乗をもつときはいつでも、 Hdg 2（X）が除数クラスの積によって生成されないことを示すことによってこの例を一般化しました。Moonen＆Zarhin（1999）は、次元が5未満の場合、Hdg *（X）が1次で生成されるか、またはその多様性が虚数二次体による虚数乗法を持つことを証明しました。後者の場合、ホッジ予想は特別な場合にのみ知られています。

一般化

積分ホッジ予想
ホッジの当初の予想は次のとおりでした。
積分ホッジ予想。X を射影複素多様体とします。その後、すべてのコホモロジークラスH 2 k （ XZ ）。∩ H k k （ X ）。
{ H ^ {2k}（X、 mathbb {Z}） cap H ^ {k、k}（X）}
Xに積分係数を持つ代数的サイクルのコホモロジークラスです。
これは現在、誤りであることが知られています。最初の反例は、Atiyah＆Hirzebruch（1961）によって作成されました。K理論を使用して、彼らはねじれコホモロジークラスの例を構築しました。つまり、代数的サイクルのクラスではない、ある正の整数nに対してnα =0となるコホモロジークラスαです。そのようなクラスは必然的にホッジクラスです。Totaro（1997）は、コボルディズムの枠組みの中で彼らの結果を再解釈し、そのようなクラスの多くの例を見つけました。
積分ホッジ予想の最も簡単な調整は次のとおりです。
積分ホッジ予想モジュロねじれ。X を射影複素多様体とします。その後、すべてのコホモロジークラスH 2 k （ XZ ）。∩ H k k （ X ）。
{ H ^ {2k}（X、 mathbb {Z}） cap H ^ {k、k}（X）}
は、 Xに積分係数を持つ代数的サイクルのねじれクラスとコホモロジークラスの合計です。
同等に、分割後H 2 k（（ X Z
）。∩ H k k （ X ）。
{ H ^ {2k}（X、 mathbb {Z}） cap H ^ {k、k}（X）}

ねじれクラスによって、すべてのクラスは、積分代数的サイクルのコホモロジークラスのイメージです。これも誤りです。Kollár（1992）は、代数ではないが代数である整数倍を持つホッジクラスαの例を発見しました。
Rosenschon＆Srinivas（2016）は、正しい積分ホッジ予想を得るには、モチヴィックコホモロジーグループとしても表現できる周群を、エタール（またはリキテンバウム）モチヴィックコホモロジーとして知られるバリアントに置き換える必要があることを示しています。彼らは、有理ホッジ予想がこの修正されたモチヴィックコホモロジーの積分ホッジ予想と同等であることを示しています。

ケーラー品種のホッジ予想
ホッジ予想の自然な一般化は次のように尋ねるでしょう：
ケーラー品種のホッジ予想、ナイーブバージョン。X を複雑なケーラー多様体とします。次に、 X上のすべてのホッジクラスは、 Xの複雑な亜変種のコホモロジークラスの有理係数との線形結合です。
これを機能させるのに十分な亜変種がないため、これは楽観的すぎます。代わりに、次の2つの質問のいずれかを尋ねることもできます。
Kähler品種のホッジ予想、ベクトルバンドルバージョン。X を複雑なケーラー多様体とします。次に、 X上のすべてのホッジクラスは、 X上のベクトル束のチャーンクラスの有理係数との線形結合です。
ケーラー品種のホッジ予想、連接層バージョン。X を複雑なケーラー多様体とします。次に、 X上のすべてのホッジクラスは、 X上の連接層のチャーンクラスの有理係数との線形結合です。
Voisin（2002）は、連接層のチャーン類がベクトル束のチャーン類よりも厳密に多くのホッジクラスを与えること、および連接層のチャーン類がすべてのホッジクラスを生成するには不十分であることを証明しました。その結果、ケーラー変種のホッジ予想の唯一の既知の定式化は誤りです。

一般化されたホッジ予想
ホッジは、統合ホッジ予想よりもさらに強力な予想を行った。XのコホモロジークラスがXのc次元亜変種のコホモロジークラスの写像である場合、Xのコホモロジークラスはコレベルc （ coniveau c）であると言います。少なくともcのコホモロジークラスはXのコホモロジーをフィルター処理し、フィルター処理のc番目のステップN c H k（X、Z）が満たすことが容易にわかります。N c H k（（ X Z）。⊆ H k（（ X Z）。 ∩ （（ Hk − c c（（ X
）。⊕ ⋯ ⊕ H c k − c（（ X ）。）。 { N ^ {c} H ^ {k}（X、 mathbf {Z}） subseteq H ^ {k}（X、 mathbf {Z}） cap（H ^ {kc、c}（X ） oplus cdots oplus H ^ {c、kc}（X））。}
ホッジの当初の声明は次のとおりです。
一般化されたホッジ予想、ホッジのバージョン。N c H k （ XZ ）。 = H k （（ XZ
）。 ∩ （（Hk − c （ X ）。⊕ ⋯ ⊕ H c k − c （（ X ）。）。 { N ^ {c} H ^ {k}（X、 mathbf {Z}）= H ^ {k}（X、 mathbf {Z}） cap（H ^ {kc、c}（X） oplus cdots oplus H ^ {c、kc}（X））。}

Grothendieck（1969）は、右辺が常にホッジ構造であるとは限らないため、有理係数を使用しても、これは当てはまらないことを観察しました。ホッジ予想の彼の修正された形式は次のとおりです。
一般化されたホッジ予想。 N c H k（ X、
Q ）は、に含まれるH k（ X、
Z）の最大のサブホッジ構造です。H k − c （ X ）。⊕ ⋯ ⊕ H c k − c （（ X
）。 { H ^ {kc、c}（X） oplus cdots oplus H ^ {c、kc}（X）。}

このバージョンは開いています。

ホッジ遺伝子座の代数性
ホッジ予想を支持する最も強力な証拠は、Cattani、Deligne＆Kaplan（1995）の代数性の結果です。単連結ベース上でXの複雑な構造を変化させると仮定します。その場合、 Xの位相コホモロジーは変化しませんが、ホッジ分解は変化します。ホッジ予想が真である場合、ファイバーのコホモロジーがホッジクラスであるベース上のすべての点の軌跡は、実際には代数サブセットです。つまり、多項式方程式によって切り出されます。Cattani、Deligne＆Kaplan（1995）は、ホッジ予想を仮定せずに、これが常に真実であることを証明しました。

も参照してください
テイト予想
ホッジ理論
ホッジ構造
周期写像

参考文献
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外部リンク
ウィキクォートにはホッジ予想に関連する引用があります
ピエール・ルネ。「ホッジ予想」（PDF）（クレイ数学研究所の公式問題の説明）。
ダン・フリード（テキサス大学）によるホッジ予想に関する人気のある講義（リアルビデオ）（スライド）
ビスワス、インドラニル; Paranjape、Kapil Hari（2002）、「一般的なPrym品種のホッジ予想」、Journal of Algebraic Geometry、11（1）：33–39、arXiv：math / 0007192、doi：10.1090 / S1056-3911-01-00303- 4、MR 1865912
バート・トタロ、なぜホッジ予想を信じるのか？
クレール・ヴォイシン、ホッジ遺伝子座”