ホッジ理論 – 日本の辞書

Hodge_theory
数学では、WVDホッジにちなんで名付けられたホッジ理論は、偏微分方程式を使用して滑らかな多様体Mのコホモロジー群を研究するための方法です。重要な観察は、Mのリーマン計量を考えると、すべてのコホモロジークラスには、計量のラプラシアン演算子の下で消滅する微分形式である標準形がこのような形式は高調波と呼ばれます。
この理論は、代数幾何学を研究するために1930年代にホッジによって開発され、ド・ラームコホモロジーに関するジョルジュ・ド・ラムの研究に基づいて構築されました。リーマン多様体とケーラー多様体の2つの設定で主要な用途がホッジの主な動機である複雑な射影多様体の研究は、後者の場合に含まれています。ホッジ理論は、特に代数的サイクルの研究との関連を通じて、代数幾何学の重要なツールになりました。
ホッジ理論は本質的に実数と複素数に依存しますが、数論の質問に適用できます。算術の状況では、p進ホッジ理論のツールは、古典的なホッジ理論の代替の証明または類似の結果を与えています。

コンテンツ
1 歴史
2 実際の多様体のホッジ理論
2.1 ド・ラームコホモロジー 2.2 ホッジ理論の演算子 2.3 楕円型複体のホッジ理論
3 複雑な射影多様体のホッジ理論
4 代数的サイクルとホッジ予想
5 一般化
6 も参照してください
7 ノート
8 参考文献

歴史
代数トポロジーの分野は、1920年代にはまだ初期段階でした。それはまだコホモロジーの概念を発展させておらず、微分形式とトポロジーの間の相互作用はよく理解されていませんでした。1928年、エリ・カルタンは、微分形式とトポロジーをリンクする必要があることを示唆しましたが、証明しなかった、Sur les nombres de Betti des espaces degroupesclosというタイトルのメモを公開しました。それを読んだとき、当時学生だったジョルジュ・ド・ラムはすぐにインスピレーションに襲われました。彼の1931年の論文で、彼は現在deRhamの定理と呼ばれる壮大な結果を証明しました。ストークスの定理により、特異な鎖に沿った微分形式の積分は、コンパクトで滑らかな多様体Mに対して、双線形対を誘導します。H k（（ M ; R）。
××H dR k（（ M ; R）。
R { H_ {k}（M; mathbf {R}） times H _ { text {dR}} ^ {k}（M; mathbf {R}） to mathbf{R}。}
${$ 最初に述べたように、ド・ラームの定理は、これは完全なペアリングであり、したがって、左側の各項は互いにベクトル空間の双対であると主張しています。現代の言語では、ド・ラームコホモロジーは、実際の係数を持つ特異コホモロジーがド・ラームコホモロジーと同型であるというステートメントとして表現されることがよく H 歌う k （（ M ; R）。≅ H dR k（（ M ; R）。 { H _ { text {sing}} ^ {k}（M; mathbf {R}） cong H _ { text {dR}} ^ {k}（M; mathbf {R}）}
デラムの元の声明は、ポアンカレ双対性の結果です。
これとは別に、ソロモン・レフシェッツの1927年の論文は、位相幾何学的手法を使用してリーマンの定理を反証しました。現代語では、ω1とω2が代数曲線C上の正則微分である場合、 Cの複素次元は1つしかないため、それらのウェッジ積は必然的にゼロになります。その結果、彼らのコホモロジークラスのカップ積はゼロであり、明示的にすると、これはレフシェッツにリーマン関係の新しい証拠を与えました。さらに、ωが非ゼロの正則微分である場合、 − 1ω ∧ ω ¯
{ { sqrt {-1}} 、 omega wedge { bar { omega}}}

は正の体積形式であり、そこからレフシェッツはリーマンの不等式を再現することができました。1929年、WVDホッジはレフシェッツの論文を知りました。彼はすぐに、同様の原理が代数曲面に適用されることに気づきました。より正確には、ωが代数曲面上の非ゼロの正則形式である場合、 − 1ω ∧ ω ¯
{ { sqrt {-1}} 、 omega wedge { bar { omega}}}

が正なので、のカップ積 ω { omega}

とω ¯
{ { bar { omega}}}

ゼロ以外である必要がしたがって、ω自体は非ゼロのコホモロジークラスを表す必要があるため、その周期をすべてゼロにすることはできません。これにより、Severiの質問が解決されました。
ホッジは、これらの技術は高次元の品種にも適用できるはずだと感じました。彼の同僚のピーター・フレイザーは、ド・ラームの論文を彼に勧めました。ド・ラームの論文を読んで、ホッジは、リーマン面上の正則1形式の実数部と虚数部が、ある意味で互いに二重であることに気づきました。彼は、より高い次元でも同様の二重性があるはずだと疑った。この二重性は現在、ホッジ双対として知られています。彼はさらに、各コホモロジークラスは、それとその二重の両方が外微分演算子の下で消えるという特性を持つ著名な代表を持つべきであると推測しました。これらは現在、調和形式と呼ばれています。ホッジは1930年代のほとんどをこの問題に捧げました。証明での彼の最初の公表された試みは1933年に現れました、しかし彼はそれを「極端に粗野」であると考えました。当時最も優秀な数学者の一人であるヘルマン・ワイルは、ホッジの証明が正しいかどうかを判断できないことに気づきました。1936年、ホッジは新しい証拠を発表しました。Hodgeは新しい証明をはるかに優れていると考えていましたが、Bohnenblustによって重大な欠陥が発見されました。独立して、ヘルマン・ワイルと小平邦彦は、エラーを修復するためにホッジの証明を修正しました。これにより、調和型とコホモロジークラスの間でホッジが求めていた同型写像が確立されました。
振り返ってみると、存在定理の技術的な難しさは、実際には重要な新しいアイデアを必要とせず、古典的な方法を注意深く拡張しただけであることは明らかです。ホッジの主な貢献であった真の目新しさは、調和積分の概念と代数幾何学との関連性にありました。テクニックに対するこのコンセプトの勝利は、ホッジの偉大な前任者であるベルンハルトリーマンの作品における同様のエピソードを彷彿とさせます。— MF Atiyah、William Vallance Douglas Hodge、1903年6月17日– 1975年7月7日、王立協会のフェローの伝記の回顧録、vol。22、1976、pp。169–192。

実際の多様体のホッジ理論
ド・ラームコホモロジー

ホッジ理論は、ド・ラームコホモリックを参照しています。Mを滑らかな多様体とします。非負の整数kの場合、Ωk （M）をM上の次数kの滑らかな微分形式の実数ベクトル空間とします。de Rham複合体は、微分演算子のシーケンスです0 Ω 0 （（ M
）。d 0 Ω 1 （（ M
）。d1 d n −
1 Ω n（（ M
）。d n
0 { 0 to Omega ^ {0}（M） xrightarrow {d_ {0}} Omega ^ {1}（M） xrightarrow {d_ {1}} cdots xrightarrow {d_ {n-1 }} Omega ^ {n}（M） xrightarrow {d_ {n}} 0、}
ここで、d kはΩk（M）の外微分を示します。これは、dk + 1∘dk =0（d 2 = 0とも表記）という意味での鎖複体です。ド・ラームの定理によれば、実係数を持つMの特異コホモロジーは、ド・ラーム複素数によって計算されます。H k（（ M R）。 ≅ カーd k
わたしはd k −
1 { H ^ {k}（M、 mathbf {R}） cong { frac { ker d_ {k}} { operatorname {im}d_{k-1}}}。}

ホッジ理論の演算子
Mでリーマン計量gを選択し、次のことを思い出して Ω k（（ M
）。= Γ（（ ⋀k T ∗（（ M ）。）。 { Omega ^ {k}（M）= Gamma left（ bigwedge nolimits ^ {k} T ^ {*}（M） right）}
メトリックは、各ファイバーの内積を生成します⋀ k（（ Tp ∗（（ M ）。）。
{ bigwedge nolimits ^ {k}（T_ {p} ^ {*}（M））}

各コタンジェントファイバーからgによって誘導される内積を拡張することによって（グラム行列を参照）T p ∗（（ M ）。 { T_ {p} ^ {*}（M）}

そのにk t h
{ k ^ {th}}

エクステリア製品：⋀ k（（ Tp ∗（（ M ）。）。
{ bigwedge nolimits ^ {k}（T_ {p} ^ {*}（M））}

。TheΩ k （ M ）。
{ Omega ^ {k}（M）}

次に、内積は、体積形式に関してM上のk形式の特定のペアの点ごとの内積の積分として定義されます。 σ { sigma}

gに関連付けられています。明示的に、いくつかの
ω τ∈ Ω k （ M ）。
{ omega、 tau in Omega ^ {k}（M）}

我々は持っています（（ ω τ
）。↦ ⟨
ω τ ⟩ ：= ∫ M⟨ ω（（ p
）。 τ（（ p
）。 ⟩ p
σ {（ omega、 tau） mapsto langle omega、 tau rangle：= int _ {M} langle omega（p）、 tau（p） rangle _ {p} sigma 。}
当然、上記の内積は、ある固定されたk形式でそのノルムが有限である場合に、ノルムを誘導します。 ⟨ ω ω⟩ = ‖ ω ‖
2 < ∞ { langle omega、 omega rangle = | omega | ^ {2} < infty、}
その場合、被積分関数はMの実数値の自乗可積分関数であり、その点ごとのノルムを介して特定の点で評価されます。‖ ω（（ p
）。 ‖ p： M R
∈L 2（（ M
）。 { | omega（p） | _ {p}：M to mathbf {R} in L ^ {2}（M）}
これらの内積に関してdの随伴作用素を考えてみましょう。δ ： Ω + 1 （（ M
）。 Ω k（（ M
）。 { delta： Omega ^ {k + 1}（M） to Omega ^ {k}（M）。}
次に、フォーム上のラプラシアンは次のように定義されます。Δ = d δ + δ
d { Delta = d delta + deltad。}
これは2階の線形微分演算子であり、Rn上の関数のラプラシアンを一般化します。定義上、 Mのラプラシアンがゼロの場合、Mの形式は調和的です。H Δ k （（ M
）。 = {{α ∈ Ω k （（ M
）。∣ Δ α = 0
} { { mathcal {H}} _ { Delta} ^ {k}（M）= { alpha in Omega ^ {k}（M） mid Delta alpha =0}。}
ラプラシアンは数理物理学で最初に登場しました。特に、マクスウェルの方程式によると、真空中の電磁ポテンシャルは、外微分dA = Fを持つ1形式のAです。ここで、Fは、時空でΔA = 0となるような電磁界を表す2形式であり、ミンコフスキーと見なされます。次元4の空間。
閉じたリーマン多様体上のすべての調和形αは閉じています。つまり、dα =0です。その結果、標準的なマッピングがあります
φφ： H Δ k （（ M
）。H k（（ M R ）。 { varphi：{ mathcal {H}} _ { Delta} ^ {k}（M） to H ^ {k}（M、 mathbf {R}）}

。ホッジ定理は次のように述べています
φφ
{ varphi}

ベクトル空間の同型です。言い換えると、Mの各実コホモロジークラスには固有の調和表現が具体的には、調和表現は、与えられたコホモロジークラスを表す最小L2ノルムの一意の閉じた形です。ホッジの定理は、楕円型偏微分方程式の理論を使用して証明され、ホッジの最初の議論は1940年代に小平らによって完成されました。
たとえば、ホッジ定理は、閉多様体の実係数を持つコホモロジー群が有限次元であることを意味します。（確かに、これを証明する方法は他にも）実際、演算子Δは楕円型であり、閉多様体上の楕円型演算子の核は常に有限次元のベクトル空間です。ホッジ定理のもう1つの結果は、閉多様体Mのリーマン計量がMモジュロねじれの積分コホモロジーの実数値内積を決定することです。たとえば、一般線形群GL（H ∗（M、Z））のMの等長変換群の画像は有限です（格子の等長変換群が有限であるため）。
ホッジ定理の変形は、ホッジ分解です。これは、閉じたリーマン多様体上の微分形式ωが、形式の3つの部分の合計として一意に分解されることを示しています。ω = d α + δ β + γ { omega = d alpha + delta beta + gamma、}
ここで、γは高調波です：Δγ = 0。微分形式のL2メトリックに関して、これは直交直和分解を与えます。 Ω k（（ M
）。 ≅ わたしはd k − 1 ⊕
わたしは δ k+ 1 ⊕ H Δ k （（ M
）。 { Omega ^ {k}（M） cong operatorname {im} d_ {k-1} oplus operatorname {im} delta _ {k + 1} oplus { mathcal {H}} _ { Delta} ^ {k}（M）。}
ホッジ分解は、ド・ラーム複合体のヘルムホルツ分解を一般化したものです。

楕円型複体のホッジ理論
AtiyahとBottは、楕円型複体をド・ラーム複合体の一般化として定義しました。ホッジ定理は、次のようにこの設定に拡張されます。させてE 0 E
1 … E N { E_ {0}、E_ {1}、 ldots、E_ {N}}

体積形式 dVの閉じた滑らかな多様体M上の、メトリックを備えたベクトル束である。仮定L I ： Γ（（ E I ）。 Γ （（ EI + 1 ）。 { L_ {i}： Gamma（E_ {i}） to Gamma（E_ {i + 1}）}
これらのベクトル束のC∞セクションに作用する線形微分演算子であり、誘導されたシーケンス0 Γ（（ E 0 ）。 Γ （（ E 1 ）。⋯ Γ（（ E N ）。 0 { 0 to Gamma（E_ {0}） to Gamma（E_ {1}） to cdots to Gamma（E_ {N}） to 0}
楕円型複体です。直和を導入します。E ∙ = ⨁ I Γ（（ E I ）。
L= ⨁ I L I ： E ∙ E ∙ { { begin {aligned} { mathcal {E}} ^ { bullet}＆= bigoplus nolimits _ {i} Gamma（E_ {i}）\ L＆= bigoplus nolimits _ {i } L_ {i}：{ mathcal {E}} ^ { bullet} to { mathcal {E}} ^ { bullet} end {aligned}}}
そして、L ∗をLの随伴とする。楕円型作用素Δ= LL ∗ + L ∗ Lを定義します。de Rhamの場合と同様に、これにより調和セクションのベクトル空間が生成されます。H =
{{e ∈ E ∙ ∣ Δ e= 0
} { { mathcal {H}} = {e in { mathcal {E}} ^ { bullet} mid Delta e =0}。}
させてH ： E ∙ H
{ H：{ mathcal {E}} ^ { bullet} to { mathcal {H}}}

を正射影とし、GをΔのグリーンの演算子とします。次に、ホッジ定理は次のように主張します。
HとGは明確に定義されています。
Id = H + ΔG = H + GΔ
LG = GL、L ∗ G = GL ∗
複合体のコホモロジーは、調和セクションの空間と正準同型であり、 H （（ E j ）。≅ H（（ E j ）。
{ H（E_ {j}） cong { mathcal {H}}（E_ {j}）}

、各コホモロジークラスが固有の調和表現を持っているという意味で。
この状況ではホッジ分解もあり、上記のdeRham複合体のステートメントを一般化します。

複雑な射影多様体のホッジ理論
ホッジ構造
Xを滑らかな複素射影多様体とします。これは、 Xがいくつかの複素射影空間CPNの閉じた複素部分多様体であることを意味します。チョウの定理によれば、複素射影多様体は自動的に代数的です。それらは、CPN上の同次多項式の消失によって定義されます。CP Nの標準リーマン計量は、 Xにリーマン計量を誘導します。これは、複雑な構造との強い互換性があり、Xをケーラー多様体にします。
複素多様体Xと自然数rの場合、 X上のすべてのC∞r形式（複素係数を含む）は、p + q = rの型（p、q）の形式の合計として一意に記述できます。ローカルでは、用語の有限和として記述でき、各用語は次の形式を取ります。f d z 1 ∧ ⋯ ∧
dz p ∧ d w1 ∧ ⋯∧ d w q ¯ { f 、dz_ {1} wedge cdots wedge dz_ {p} wedge d { overline {w_ {1}}} wedge cdots wedge d { overline {w_ {q}}} }
faC∞関数とzsおよびwsの正則関数を使用します。ケーラー多様体では、調和形の（p、q）成分は再び調和的です。したがって、コンパクトなケーラー多様体Xの場合、ホッジ定理は、複素ベクトル空間の直和として複素係数を持つXのコホモロジーの分解を与えます。 H r（（ X C）。= ⨁
p+ q = r H p q（（ X
）。 { H ^ {r}（X、 mathbf {C}）= bigoplus _ {p + q = r} H ^ {p、q}（X）。}
この分解は、実際にはケーラー計量の選択とは無関係です（ただし、一般的なコンパクトな複素多様体に類似した分解はありません）。一方、ホッジ分解は、複素多様体としてのXの構造に真に依存しますが、グループH r（X、C）は、 Xの基礎となる位相空間にのみ依存します。
ホッジ分解のピースHp 、q（X ）は、複素多様体としてのXのみに依存する連接コホモロジー群で識別できます（ケーラー多様体の選択には依存しません）：H p q（（ X
）。≅ H q（（ X Ω p ）。 { H ^ {p、q}（X） cong H ^ {q}（X、 Omega ^ {p}）、}
ここで、Ωpは、 X上の正則p形式の束を示します。たとえば、H p、0（X ）は、 X上の正則p形式の空間です。（Xが射影的である場合、SerreのGAGA定理は、 X全体の正則p形式が実際には代数的であることを意味します。）
ホッジ数 hp 、q（X ）は、複素ベクトル空間Hpの次元を意味します。q（X）。これらは、滑らかで複雑な射影多様体の重要な不変量です。Xの複雑な構造が連続的に変化しても変化しませんが、一般に位相不変ではありません。ホッジ数の特性には、ホッジ対称性 h p、q = h q、p（H p、q（X）はH q、p（X ）の複素共役であるため）とh p、q = h n −pが、n − q（セール双対性による）。
滑らかで複雑な射影多様体（またはコンパクトなケーラー多様体）のホッジ番号は、ホッジダイアモンド（複素次元2の場合に表示）にリストできます。
h 2，2
h 2，1
h 1，2
h 2，0
h 1，1
h 0，2
h 1，0
h 0，1
h 0，0
たとえば、g属のすべての滑らかな射影曲線には、ホッジダイアモンドが1 g g 1
別の例として、すべてのK3曲面にホッジダイヤモンドがあります1 0 0 1 20 1 0 0 1
Xのベッチ数は、特定の行のホッジ数の合計です。ホッジ理論の基本的な応用は、ホッジ対称性により、滑らかで複雑な射影多様体（またはコンパクトなケーラー多様体）の奇数ベッチ数b 2a +1が偶数であるということです。これは、S1 × S3と微分同相写像であり、したがってb 1 = 1であるホップ曲面の例で示されているように、一般にコンパクトな複素多様体には当てはまりません。
「ケーラーパッケージ」は、ホッジ理論に基づいて構築された、滑らかで複雑な射影多様体（またはコンパクトなケーラー多様体）のコホモロジーに対する強力な一連の制限です。結果には、レフシェッツ超平面定理、ハードレフシェッツ定理、およびホッジ-リーマン双線形関係が含まれます。ホッジ理論および非アベリアホッジ理論などの拡張も、コンパクトなケーラー多様体の可能な基本群に強い制限を与えます。

代数的サイクルとホッジ予想
ホッジ予想
Xを滑らかで複雑な射影多様体とします。余次元pのXの複雑な亜変種Yは、コホモロジー群の要素を定義します 2 p （（ X Z ）。 { H ^ {2p}（X、 mathbb {Z}）}

。さらに、結果として得られるクラスには特別な特性が複雑なコホモロジーにおけるそのイメージです。H 2 p（（ X C ）。 { H ^ {2p}（X、 mathbb {C}）}

ホッジ分解の真ん中の部分にあり、H p p （ X ）。
{ H ^ {p、p}（X）}

。ホッジ予想は逆を予測します：のすべての要素H 2 p（（ X Z ）。 { H ^ {2p}（X、 mathbb {Z}）}

複雑なコホモロジーのイメージは部分空間にありますH p p （ X ）。
{ H ^ {p、p}（X）}

正の整数倍である必要があります Z { mathbb{Z}}

-Xの複雑な亜変種のクラスの線形結合。（このような線形結合は、Xの代数的サイクルと呼ばれます。）
重要な点は、ホッジ分解は、通常、積分（または有理）係数を使用したコホモロジーの分解からは得られない、複素係数を使用したコホモロジーの分解であるということです。その結果、交差点（（ H2 p（（ X Z）。 / ねじれ）。∩ H p p（（ X
）。⊆ H 2 p（（ X C）。
{（H ^ {2p}（X、 mathbb {Z}）/ { text {torsion}}） cap H ^ {p、p}（X） subseteq H ^ {2p}（X、 mathbb {C}）}
グループ全体よりもはるかに小さい可能性がありますH 2 p（（ X Z
）。 / { H ^ {2p}（X、 mathbb {Z}）/}

ホッジ番号であってもねじれh p p
{ h ^ {p、p}}

大きい。要するに、ホッジ予想は、Xの複雑な亜変種の可能な「形状」（コホモロジーによって記述される）は、Xのホッジ構造（積分コホモロジーと複雑なコホモロジーのホッジ分解の組み合わせ）によって決定されると予測しています。
レフシェッツ（1，1）の定理は、ホッジ予想がp = 1の場合に真であると述べています（積分でも、つまり、ステートメントに正の整数倍は必要ありません）。
さまざまなXのホッジ構造は、Xのホモロジークラスに対するXの代数微分形式の積分を記述します。この意味で、ホッジ理論は微積分学の基本的な問題に関連しています。一般に、代数関数の積分の「公式」はありません。特に、周期として知られる代数関数の定積分は、超越数である可能性がホッジ予想の難しさは、一般的にそのような積分の理解の欠如を反映しています。
例：滑らかな複素射影K3曲面Xの場合、グループH 2（X、Z）はZ 22と同型であり、H 1，1（X）はC20と同型です。それらの交差点のランクは1から20の間です。このランクはXのピカード番号と呼ばれます。すべての射影K3曲面のモジュライ空間には、可算無限のコンポーネントのセットがあり、それぞれが複素次元19です。ピカード番号aのK3曲面の部分空間は、次元20- aです。（したがって、ほとんどの射影K3曲面では、H 2（X、Z）とH 1，1（X ）の交点はZと同型ですが、「特殊な」K3曲面の場合、交点は大きくなる可能性が）
この例は、複雑な代数幾何学においてホッジ理論が果たすいくつかの異なる役割を示唆しています。まず、ホッジ理論は、どの位相空間が滑らかで複雑な射影多様体の構造を持つことができるかについての制限を与えます。第二に、ホッジ理論は、与えられた位相幾何学的タイプを持つ滑らかで複雑な射影多様体のモジュライ空間に関する情報を提供します。最良のケースは、トレリの定理が成り立つ場合です。つまり、多様性は、そのホッジ構造によって同型まで決定されます。最後に、ホッジ理論は、与えられた品種の代数的サイクルの周群に関する情報を提供します。ホッジ予想は、周群から通常のコホモロジーまでのサイクルマップのイメージに関するものですが、ホッジ理論は、たとえばホッジ構造から構築された中間ヤコビ多様体を使用して、サイクルマップの核に関する情報も提供します。

一般化
ピエール・ルネによって開発された混合ホッジ理論は、ホッジ理論をすべての複雑な代数の種類に拡張しますが、必ずしも滑らかまたはコンパクトである必要はありません。つまり、複雑な代数多様体のコホモロジーは、より一般的なタイプの分解、混合ホッジ構造を持っています。
ホッジ理論の特異な変種への異なる一般化は、交叉ホモロジーによって提供されます。つまり、斎藤盛彦は、複雑な射影多様体（必ずしも滑らかである必要はない）の交叉ホモロジーが、滑らかな場合と同様に純粋なホッジ構造を持っていることを示しました。実際、ケーラーパッケージ全体が交叉ホモロジーにまで及びます。
複素幾何学の基本的な側面は、非同型の複素多様体の連続的なファミリーがあることです（これらはすべて実際の多様体として微分同相です）。フィリップ・グリフィスのホッジ構造の変化の概念は、Xが変化するときに滑らかで複雑な射影多様体Xのホッジ構造がどのように変化するかを説明しています。幾何学的に言えば、これは品種のファミリーに関連する周期写像を研究することになります。齋藤のホッジモジュールの理論は一般化です。大まかに言えば、品種Xの混合ホッジモジュールは、滑らかまたはコンパクトである必要のない品種のファミリーから生じるように、X上の混合ホッジ構造の束です。

も参照してください
ポテンシャル論
セール双対性
ヘルムホルツ分解

ノート
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