Hodges’_estimator
統計では、 Joseph Hodgesにちなんで名付けられたHodgesの推定量（またはHodges –Le Cam推定量）は、 「超効率的」である推定量の有名な反例です。通常の効率的な推定量。このような反例の存在が、通常の推定量の概念を導入した理由です。
Hodgesの推定量は、単一の点で通常の推定量を改善します。一般に、ルベーグ測度ゼロのセットでは、超効率的な推定量は最大で通常の推定量を超える可能性が
コンテンツ
1 工事
2 例
3 も参照してください
4 ノート
4.1 参考文献
工事
仮定する
θ
{ scriptstyle { hat { theta}} _ {n}}
は、あるパラメータθの「一般的な」推定量です。一貫性があり、√nレートである漸近分布Lθ（通常、これは平均ゼロと分散がθに依存 する可能性のある正規分布です）に収束します。 n （（ θ − θ ）。 d L θ { { sqrt {n}}（{ hat { theta}} _ {n}- theta） { xrightarrow {d}} L _ {theta}。}
次に、ホッジスの推定量
θ H { scriptstyle { hat { theta}} _ {n} ^ {H}}
として定義されます
θ H =
{{θ ^
n もしも
|θ ^ n | ≥ n −1 /
4 と
0 もしも
|θ ^ n | < n −1 /
4{ { hat { theta}} _ {n} ^ {H} = { begin {cases} { hat { theta}} _ {n}、＆{ text {if}} | { hat { theta}} _ {n} | geq n ^ {-1/4}、{ text {and}} \ 0、＆{ text {if}} | { hat { theta}} _ {n} | この推定量は
θ
{ scriptstyle { hat { theta}} _ {n}}
ゼロに等しい小さな間隔[− n −1 /4 、n −1/4 ]を除いてどこでも。この推定量がθに対して一致していることを確認するのは難しくありません。その漸近分布はです。n α（（ θ^ n
H − θ）。 d 0いつ θ = 0 n （（ θ^ n
H − θ）。d L
θいつ θ ≠
0 { { begin {aligned}＆n ^ { alpha}（{ hat { theta}} _ {n} ^ {H}- theta） { xrightarrow {d}} 0、 qquad { text {when}} theta = 0、\＆{ sqrt {n}}（{ hat { theta}} _ {n} ^ {H}- theta） { xrightarrow {d}} L _ { theta}、 quad { text {when}} theta neq 0、 end {aligned}}}
任意のα∈Rに対して。したがって、この推定量はと同じ漸近分布を持ちます
θ
{ scriptstyle { hat { theta}} _ {n}}
すべてのθ ≠0の場合、θ = 0の場合、収束速度は任意に速くなります。この推定量は、有効推定量の漸近的振る舞いを超えるため、超効率的です。
θ
{ scriptstyle { hat { theta}} _ {n}}
少なくとも1つのポイントでθ =0。一般に、超効率は、パラメーター空間Θのルベーグ測度ゼロのサブセットでのみ達成できます。
例
Hodgesの推定量の
平均二乗誤差（ ×n ）。青い曲線は
n =5に対応し、紫色は
n = 50に対応し、オリーブは
n =500に対応します。
x 1、…、x nが、平均が不明で分散が既知の正規分布N（θ、1）からの独立同分布（IID）ランダムサンプルであると仮定します。次に、母平均θの一般的な推定量は、すべての観測値の算術平均です。X ¯ { scriptstyle { bar {x}}}
。対応するHodgesの推定量は次のようになります
θ H =X ¯ ⋅ 1 { |
X¯ |
≥ n −1 4 } { scriptstyle { hat { theta}} _ {n} ^ {H} ; = ; { bar {x}} cdot mathbf {1} {| { bar {x}} | 、 geq 、n ^ {-1/4} }}
、ここで、1 {…}はインジケーター関数を示します。
通常の推定量xに関連する平均二乗誤差（ nでスケーリング）は一定であり、すべてのθ ‘に対して1に等しくなります。同時に、ホッジスの推定量の平均二乗誤差
θ H { scriptstyle { hat { theta}} _ {n} ^ {H}}
ゼロ付近で不規則に動作し、n ∞のように無制限になります。これは、ホッジスの推定量が規則的ではなく、その漸近特性が形式の限界（ θ固定、n ∞ ）によって適切に記述されていないことを示しています。
も参照してください
James–Stein推定量
ノート
^ Vaart（1998、p。109）
^ ケール（1985）
^ ビッケル（1998年、21ページ）
^ Vaart（1998、p.116）
^ Stoica＆Ottersten（1996、p。135）
^ Vaart（1998、p。109）
^ Vaart（1998、p。110）
参考文献
ビッケル、ピーターJ .; Klaassen、Chris AJ; リトフ、ヤアコヴ; ウェルナー、ジョンA.（1998）。セミパラメトリックモデルの効率的で適応性のある推定。スプリンガー：ニューヨーク。ISBN 0-387-98473-9。
ケール、BK（1985）。「超効率推定量に関する注記」。統計計画と推論のジャーナル。12：259–263。土井：10.1016 / 0378-3758（85）90074-6。
Stoica、P .; Ottersten、B.（1996）。「超効率の悪」。信号処理。55：133–136。土井：10.1016 / S0165-1684（96）00159-4。
Vaart、AW van der（1998）。漸近統計。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-78450-4。”