Immanant
内在的、
差し迫った、または
著名な
と混同しないでください 数学では、行列式のイマナントは、ダドリーE.リトルウッドとアーチボルドリードリチャードソンによって、行列式と永久の概念の一般化として定義されました。
させてλ =（（ λ
1 λ
2 … ）。 { lambda =（ lambda _ {1}、 lambda _ {2}、 ldots）}
整数のパーティションである n { n}
そしてしましょうχ λ
{ chi _ { lambda}}
対応する既約表現である-対称群の理論的 性質
S n { S_ {n}}
。イマナント_ _ n ×× n { n times n}
マトリックスA =（（ a I j）。
{ A =（a_ {ij}）}
キャラクターに関連付けられているχ λ
{ chi _ { lambda}}
式として定義されます
イム λ （（ A
）。= ∑
σ∈ S n χ λ （（ σ
）。a 1 σ（（ 1
）。a 2 σ（（ 2
）。⋯ a n σ（（ n
）。 { operatorname {Imm} _ { lambda}（A）= sum _ { sigma in S_ {n}} chi _ { lambda}（ sigma）a_ {1 sigma（1）} a_ {2 sigma（2）} cdots a_ {n sigma（n）}。}
例
行列式は、イマナントの特殊なケースです。χ λ
{ chi _ { lambda}}
交互の文字です sgn { operatorname {sgn}}
、S nの、順列のパリティによって定義されます。
パーマネントはχ λ
{ chi _ { lambda}}
は自明な文字であり、同じように1に等しくなります。
たとえば、 3 ×× 3 { 3 times 3}
行列には、3つの既約表現がS 3
{ S_ {3}}
、指標表に示されているように：S 3
{ S_ {3}}
e { e}
（（ 1 2 ）。
{（1 2）}
（（ 12 3 ）。 {（1 2 3）}
χ 1
{ chi _ {1}}
11 1 2
{ chi _ {2}}
1-11 3
{ chi _ {3}}
20 -1
上記のように、χ 1
{ chi _ {1}}
パーマネントを生成し、χ 2
{ chi _ {2}}
行列式を生成しますが、χ 3
{ chi _ {3}}
次のようにマップする操作を生成します。（（ a11 12 13
a21 22 23
a31 32 33
）。⇝ 2 a 11 a 22
a33 − a 12 a 23
a31 − a 13 a 21a 32
{ { begin {pmatrix} a_ {11}＆a_ {12}＆a_ {13} \ a_ {21}＆a_ {22}＆a_ {23} \ a_ {31}＆a_ {32}＆a_ {33} end {pmatrix}} rightsquigarrow 2a_ {11} a_ {22} a_ {33} -a_ {12} a_ {23} a_ {31} -a_ {13} a_ {21} a_ {32}}
プロパティ
イマナントは、行列式およびパーマネントといくつかのプロパティを共有します。特に、イマナントは行列の行と列で多重線形です。そして、イマナントは、対称群の同じ要素による行または列の同時順列の下で不変です。
リトルウッドとリチャードソンは、対称群の表現理論において、イマナントとシュール関数の関係を研究しました。
参考文献
DEリトルウッド; ARリチャードソン（1934）。「グループ文字と代数」。王立協会の哲学的取引A。233（721–730）：99–124。土井：10.1098/rsta.1934.0015。
DEリトルウッド（1950）。グループ文字の理論とグループのマトリックス表現（第2版）。オックスフォード大学 プレス（AMS、2006年に転載）。p。81。”