ジャンフランソワメルテンス

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Jean-FrançoisMertens（1946年3月11日– 2012年7月17日）は、ベルギーのゲーム理論家および数理経済学者でした。
ジャンフランソワメルテンス
生まれ（1946-03-11）1946年3月11日
ベルギー、アントワープ
死亡しました
2012年7月17日（2012-07-17）（66歳）
母校
UniversitéCatholiquedeLouvainDocteurèsSciences1970 _
で知られている
ソリューションの概念安定した平衡信念の階層確率ゲーム不完全な情報を使用した繰り返しゲームシャープレイ値賞計量経済学会フェローフォンノイマンゲーム理論学会講師
科学的キャリア
田畑
ゲーム理論数理経済学
機関
UniversitéCatholiquedeLouvainCenter for Operations Research and Econometrics（CORE）
指導教官
JoséParisJacquesNeveu _
博士課程の学生
フランソワーズフォージ
影響
ロバート・オーマンラインハルト・ゼルテンジョン・ハーサニジョン・フォン・ノイマン
メルテンスは、市場ゲーム、協力ゲーム、非協力ゲーム、繰り返しゲーム、戦略的行動のエピステミックモデル、およびナッシュ均衡の改良に関する経済理論に貢献しました（ソリューションの概念を参照）。協力ゲーム理論では、彼はコアとシャープレイ値と呼ばれるソリューションの概念に貢献しました。
繰り返しゲームと確率ゲームに関しては、Mertens 1982 と1986 の調査記事、およびSylvainSorinとShmuelZamirが共同執筆した1994 の調査は、彼自身の貢献を含む、このトピックに関する結果の概要です。Mertensは、確率論や、基本トポロジーに関する公開記事にも貢献しました。

コンテンツ
1 認識論的モデル
2 情報が不完全な繰り返しゲーム
3 確率ゲーム
4 マーケットゲーム：制限価格メカニズム
5 シャープレイ値
6 改良とメルテンス-安定した平衡
7 社会選択理論と相対的功利主義
8 政策評価における世代間格差
9 参考文献

認識論的モデル
MertensとZamir は、各プレーヤーが彼の実行可能な戦略とペイオフ、および他のプレーヤーの確率分布を説明する個人的に知られているタイプによって特徴付けられると仮定して、不完全な情報でゲームをモデル化するというJohnHarsanyiの提案を実装しました。タイプ。彼らは、特定の一貫性条件に従って、各タイプが他の人の確率的信念についての彼の確率的信念の無限の階層に対応するタイプの普遍的な空間を構築しました。彼らはまた、任意の部分空間が有限の部分空間によって任意に厳密に近似できることを示しました。これは、アプリケーションの通常の戦術です。

情報が不完全な繰り返しゲーム
不完全な情報で繰り返されるゲームは、AumannとMaschlerによって開拓されました。ジャン＝フランソワ・メルテンスのフィールドへの貢献の2つは、（1）プレーヤーが利用できる情報の種類と、（2）両方の情報が不完全な、2人のゼロサムゲームの繰り返しの延長です。信号構造。（1）情報：Mertensは、プレーヤーの個人情報が独立確率変数によって生成される独立したケースから、相関が許可される従属ケースに理論を拡張しました。（2）シグナル構造：各ステージの後に両方のプレーヤーに前の動きが通知される標準的なシグナル理論は、各ステージの後に各プレーヤーが動きとオンに依存する可能性のあるプライベート信号を受け取る一般的なシグナル構造を処理するように拡張されました状態。
これらの設定では、Jean-FrançoisMertensが、状態に依存しない信号を使用した依存ケースでの無限ゲームの最小値と最大値の特性の拡張を提供しました。さらにシュムエル・ザミールとともに、ジャン＝フランソワ・メルテンスは限界値の存在を示しました。このような値は、値の限界と考えることができますv n
{ v_ {n}}
$v_{n}""$
の n { n}

ステージゲーム、 n { n}

無限大、または値の限界になりますv λ
{ v _ { lambda}}

の λ { { lambda}}

-エージェントがより忍耐強くなり、λ 1
{ { lambda} to 1}

。
メルテンスとザミールのアプローチの構成要素は、オペレーターの建設であり、現在、彼らに敬意を表して、フィールドでは単にMZオペレーターと呼ばれています。連続時間（情報が不完全な微分ゲーム）では、MZ演算子は、そのようなゲームの理論の中核となる微小演算子になります。関数方程式のペアのユニークな解、MertensとZamirは、限界値がmaxminやminmax（完全な情報の場合の値）とは異なり、超越関数である可能性があることを示しました。Mertensはまた、片側の情報が不完全で一般的な信号構造を持つゲームの場合の正確な収束率を発見しました。 nステージゲーム（有限に繰り返される）値の限界への収束速度の詳細な分析は、中心極限定理と正規法則、および有界マルチンゲールの最大変動に深く関連しています。状態に依存する信号があり、再帰的な構造がないゲームの困難なケースの研究を攻撃して、MertensとZamirは、補助ゲームに基づく導入に新しいツールを導入し、一連の戦略をコアに減らしました。「統計的に十分です。」
Zamir（およびSorin）とのJean-FrançoisMertensの貢献は、確率的で不完全な情報の側面を含み、評判などの幅広い関連性の概念が展開されている2人のゼロサム繰り返しゲームの一般理論の基礎を提供します。ペイオフの合理的なレベルだけでなく、分裂補題、シグナリング、親しみやすさなどのツールも多くの点で、ここでのメルテンスの仕事は、ゼロサム2人が設定された、ゲーム理論のフォンノイマンの元のルーツにまでさかのぼりますが、より幅広いアプリケーションによる活力と革新が浸透しています。

確率ゲーム
確率ゲームは1953年にロイドシャプリーによって導入されました。最初の論文は、有限の数の状態とアクションを持つ割引された2人のゼロサム確率ゲームを研究し、価値と定常的な最適戦略の存在を示しています。割引されていないケースの研究は、1968年のブラックウェルとファーガソンと1974年のコールバーグによる特別なケースの解決策とともに、その後30年間で発展しました。非常に強い意味での割引されていない価値の存在、均一な価値と平均値を制限することは、1981年にJean-FrançoisMertensとAbrahamNeymanによって証明されました。一般的な状態と行動空間を伴う非ゼロ和の研究は大きな注目を集め、MertensとParthasarathy は、状態と行動の関数としての遷移という条件下での一般的な存在結果を証明しました。、アクションでは標準が継続しています。

マーケットゲーム：制限価格メカニズム
Mertensは、線形競争経済をオーダーブック（取引）として使用して、指値注文をモデル化し、ダブルオークションを多変量セットアップに一般化するというアイデアを持っていました。プレーヤーの許容可能な相対価格は、彼らの直線的な好みによって伝えられます。お金は商品の1つであり、この場合、エージェントがお金に対して正の限界効用を持っていても問題ありません（すべてのエージェントは実際には単なる注文です！）。実際、これは実際のほとんどの注文に当てはまります。同じ実際のエージェントから複数の注文（および対応する注文エージェント）を取得できます。均衡状態では、販売された財は、効用関数によって暗示されるもの以上に購入された財と比較して相対価格であったに違いありません。市場に持ち込まれた商品（注文の数量）は、初期の寄付によって運ばれます。指値注文は次のように表されます。注文エージェントは1つの商品を市場に持ち込み、その商品と別の商品（お金またはニュメレール）にゼロ以外の限界効用が市場での売り注文は、市場で売られた商品の効用がゼロで、お金やニュメレールにプラスになります。メルテンスは、補助線形経済のために最も通常の内部条件に違反しているにもかかわらず、競争均衡を使用してマッチングエンジンを作成する注文をクリアします。Mertensのメカニズムは、Shapley-Shubikトレーディングポストの一般化を提供し、1つの市場に1人のスペシャリストだけでなく、市場全体で指値注文を行う実際の実装の可能性を秘めています。

シャープレイ値
非原子協同組合ゲームの理論における対角線式は、すべての可能なサンプルサイズで平均した場合の、プレーヤーの母集団の完全なサンプルの価値に対する彼のわずかな貢献として、各微小プレーヤーのシャープレイ値をエレガントに示しています。このようなわずかな寄与は、導関数の形で最も簡単に表現され、AumannとShapleyによって定式化された対角式につながります。これが、非原子協力ゲームのシャープレイ値を定義するために元々いくつかの差別化条件が必要とされてきた歴史的な理由です。しかし、最初に「すべての可能なサンプルサイズの平均」を取り、そのような導関数をとる順序を交換し、Jean-FrançoisMertensは、そのような平均化プロセスの平滑化効果を使用して、対角式の適用性を拡張します。このトリックだけでも、多数派のゲームでうまく機能します（連立の人口の割合に適用される階段関数で表されます）。Jean-FrançoisMertensは、導関数をとる前に平均を取るというこの転流のアイデアをさらに活用して、導関数をとる前に、不変変換を調べ、それらの平均をとることによって支出します。そうすることで、Mertensは対角式をはるかに広いゲーム空間に費やし、同時にシャープレイ値を定義します。

改良とメルテンス-安定した平衡
ナッシュ均衡の改良である解概念は、主に後退帰納法と前進帰納法の議論によって動機付けられてきました。後退帰納法は、プレーヤーの最適な行動が、彼や他の人の将来の行動の最適性を予測することを前提としています。サブゲーム完全均衡と呼ばれる改良は、後退帰納法の弱いバージョンを実装し、ますます強力なバージョンは、逐次均衡、完全均衡、準完全均衡、および適切な均衡であり、後者の3つは摂動戦略の限界として得られます。前方誘導は、プレーヤーの最適な行動が、それが彼の観察と一致するときはいつでも、他の人の過去の行動の最適性を推定することを前提としています。前方帰納は、情報セットに対するプレーヤーの信念が、その情報に到達できるようにする他の人の最適な戦略にのみ確率を割り当てる逐次均衡によって満たされます。特に、完全に混合されたナッシュ均衡は連続的であるため、それらが存在する場合のそのような均衡は、前進帰納法と後退帰納法の両方を満たします。彼の作品の中で、メルテンスは、前進帰納法と後退帰納法の両方を満たすナッシュ均衡を初めて選択しました。その方法は、完全に混合された戦略を持つことを余儀なくされている混乱したゲームからそのような機能を継承させることです。目標は、より単純なコールバーグメルテンス平衡ではなく、メルテンス安定平衡でのみ達成されます。
ElonKohlbergとMertens は、ソリューションの概念は許容可能な決定ルールと一致している必要があることを強調しました。さらに、展開型ゲームとしての戦略的状況の多くの同等の表現のどれが使用されるかに依存してはならないという不変性の原則を満たす必要が特に、他の純粋な戦略を組み合わせることですべてのプレーヤーの見返りを再現できるため、冗長な純粋な戦略を排除した後に得られるゲームの通常の形式の縮小にのみ依存する必要がMertens は、ソリューションの概念はプレイヤーの好みの序数の特性のみに依存し、ゲームにアクションが影響を及ぼさない無関係なプレイヤーが含まれるかどうかに依存してはならないという小さな世界の原則の重要性も強調しました。元のプレーヤーの実行可能な戦略と見返り。
コールバーグとメルテンスは、許容性、不変性、および後退帰納法を満たす有限数の純粋な戦略を持つゲームの安定性と呼ばれる設定値のソリューションコンセプトを暫定的に定義しましたが、反例は、後退帰納法を満たす必要がないことを示しました。つまり。セットには逐次均衡が含まれていない可能性がその後、Mertens は、安定性とも呼ばれ、現在はしばしばMertens-stable平衡のセットと呼ばれる、いくつかの望ましい特性を持つ改良を定義しました。
許容性と完全性：安定したセット内のすべての平衡は完全であるため、許容されます。
後退帰納法と前進帰納法：安定したセットには、ゲームの通常の形式の適切な均衡が含まれ、同じ通常の形式を持つ完全な想起を伴うすべての展開型ゲームで準完全かつ逐次均衡を誘発します。安定したセットのサブセットは、弱く支配された戦略と、セット内のすべての平衡で劣った応答である戦略の反復的な排除に耐えます。
不変性と小さな世界：ゲームの安定したセットは、元のプレーヤーの実行可能な戦略と見返りを維持しながら、それが埋め込まれているより大きなゲームの安定したセットの予測です。
分解とプレーヤーの分割。2つの独立したゲームの製品の安定したセットは、それらの安定したセットの製品です。安定したセットは、ゲームツリーを通るパスに2人のエージェントのアクションが含まれないように、プレーヤーをエージェントに分割しても影響を受けません。
完全なリコールと一般的なペイオフを備えた2人用ゲームの場合、安定性はこれらのプロパティの3つに相当します。安定したセットは、支配されていない戦略のみを使用し、準完全均衡を含み、より大きなゲームへの埋め込みの影響を受けません。
安定したセットは、完全に混合された戦略に向けてプレイヤーの戦略を混乱させることによって得られた混乱したゲームの空間にわたるナッシュ均衡のグラフの閉じた接続された近隣からの投影マップの（簡単に）本質性によって数学的に定義されます。この定義は、すべての近くのゲームが近くの平衡を持っているという特性以上のものを伴います。本質はさらに、投影法の変形が境界にマッピングされないことを必要とします。これにより、ナッシュ均衡を定義する固定小数点問題の摂動が近くの解を持つことが保証されます。これは、上記のすべての望ましいプロパティを取得するために明らかに必要です。

社会選択理論と相対的功利主義
社会福祉機能（SWF）は、個人の好みのプロファイルを、固定された選択肢のセットを介して社会的好みにマッピングします。独創的な論文で、アロー（1950）は、有名な「不可能性定理」を示しました。つまり、無制限のドメイン、無関係な選択肢の独立性、パレート基準、および非独裁性という非常に最小限の公理システムを満たすSWFは存在しません。。大きな文献は、可能性のある結果を得るためにアローの公理を緩和するさまざまな方法を文書化しています。相対功利主義（RU）（Dhillon and Mertens、1999）は、0と1の間の個々のユーティリティを正規化し、それらを追加することで構成されるSWFであり、非常に優れた公理のシステムから導出される「可能性」の結果です。アローのオリジナルのものに近いですが、宝くじよりも好みのスペースのために変更されています。古典的な功利主義とは異なり、RUは基数的効用や対人比較可能性を想定しフォンノイマン-モルゲンシュテルン公理（または同等のもの）を満たすと想定される宝くじに対する個人の好みから始めて、公理システムは個人間の比較を独自に修正します。この定理は、「正しい」対人比較の公理的基盤を提供するものとして解釈することができます。これは、長い間社会選択理論を悩ませてきた問題です。公理は次のとおりです。
個人主義：すべての個人がすべての選択肢の間で無関心であるならば、社会もそうです、
非自明性： SWFは、すべての選択肢間で常に完全に無関心ではありません。
悪意はありません：1人を除くすべての個人が完全に無関心である場合、社会の好みが彼と反対であるというのは真実ではありません。
匿名性：すべての個人の順列は、社会的選好を変更しません。
冗長な選択肢の独立性：この公理は、アローの無関係な選択肢の独立性（IIA）を、変更の前後の両方で、「無関係な」選択肢が他の選択肢の宝くじである場合に制限します。
単調性は、次の「善意の公理」よりもはるかに弱いです。2つの宝くじを検討して p { p}
と q
{ q}

およびを除くすべての個人で一致する2つの優先プロファイル I { i}
、 I
{ i}

の間で無関心です p { p}
と q
{ q}

最初のプロファイルにありますが、厳密に優先します p { p}
に q
{ q}

2番目のプロファイルでは、社会は厳密に優先します p { p}
に q
{ q}

2番目のプロファイルでも同様です。
最後に、連続性の公理は、基本的に、選好プロファイルに対して可能な限り強力な収束をとる閉じたグラフプロパティです。
主な定理は、RUがすべての公理を満たし、個人の数が3より大きい場合、候補の数が5より大きい場合、上記の公理を満たすSWFは、少なくとも2つの個人が存在する場合は常に、RUと同等であることを示しています。まったく同じまたはまったく反対の設定が

政策評価における世代間格差
相対的功利主義は、費用便益分析のための世代間で公正な社会的割引率として2％を使用することを合理化するのに役立ちます。MertensとRubinchik は、（一時的な）政策の豊富な空間で定義されたシフト不変の福祉関数が、微分可能である場合、固定された割引率で、派生物として政策（変更）の割引された合計を持っていることを示しています。誘発された社会的割引率。（シフト不変量は、元のポリシーの値のアフィン変換を返すためにシフトされたポリシーで評価された関数を必要としますが、係数はタイムシフトのみに依存します。）外因性の成長を伴う世代重複モデル（時間は実線全体）、バランスの取れた成長均衡（資本ストックが指数関数的に成長する）の周りの（小さな一時的な）政策で評価された場合、相対的な実用的機能はシフト不変です。政策が個人の基金の変化（移転または税金）として表され、すべての世代のユーティリティが等しく重み付けされている場合、相対的な功利主義によって引き起こされる社会的割引率は、一人当たりGDPの成長率です（米国では2％）。これは、米国行政管理予算局の通達A-4に記載されている現在の慣行とも一致しています。
ルールに重要な世代間の利益またはコストがある場合は、3％および7％の割引率を使用して純利益を計算することに加えて、より低いが正の割引率を使用してさらに感度分析を検討することができます。

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