K3曲面

K3_surface
数学では、複素解析K3曲面は、自明な標準束と不規則性がゼロの2次元のコンパクトに接続された複素多様体です。任意の体上の（代数）K3曲面は、同じ条件を満たす滑らかで適切な幾何学的に接続された代数曲面を意味します。エンリケス・コダイラの表面分類では、K3曲面は、小平次元ゼロの極小曲面の4つのクラスの1つを形成します。簡単な例は、フェルマーの四次曲面です。
3空間の滑らかな四次曲面。この図は
、特定の複素K3曲面（複素次元2、したがって実次元4）の（実次元2の）
実点の一部を示しています。
Dans la seconde partie de mon rapport、ils’agitdesvariétéskählériennesditesK3、ainsinomméesenl’honneur de Kummer、Kähler、Kodaira et de la belle montagne K2auCachemire。私のレポートの第2部では、 Kummer、Kähler、Kodaira 、およびカシミールの美しい山K2にちなんで名付けられたK3として知られるKählerの品種を扱います。
アンドレ・ヴェイユ（1958、p。546）、「K3曲面」という名前の理由を説明X4 + y 4 + z 4 + w 40 41 42
{ x ^ {4} + y ^ {4} + z ^ {4} + w ^ {4} = 0}
複素射影3空間で。
K3曲面は、 2次元のコンパクトな複素トーラスとともに、2次元のカラビ-ヤウ多様体（および超ケーラー多様体）です。このように、それらは代数的表面の分類の中心にあり、正に湾曲したデルペッゾ表面（分類が容易）と一般型の負に湾曲した表面（本質的に分類できない）の間にK3曲面は、構造が曲線やアーベル多様体に還元されないが、実質的な理解が可能な最も単純な代数多様体と見なすことができます。複雑なK3曲面の実次元は4であり、滑らかな4次元多様体の研究において重要な役割を果たします。K3曲面は、カッツ・ムーディ代数、ミラー対称性、および弦理論に適用されています。
複雑な代数K3曲面を、より広範な複雑な分析K3曲面のファミリーの一部と考えると便利です。他の多くのタイプの代数多様体には、そのような非代数変形はありません。

コンテンツ
1 意味
2 ベッチ数の計算
3 プロパティ
4 例
5 ピカード格子
6 楕円形のK3曲面
7 K3曲面上の有理曲線
8 期間マップ
9 射影K3曲面のモジュライ空間
10 十分な円錐と曲線の錐
11 自己同形群
12 弦双対性との関係
13 歴史
14 も参照してください
15 ノート
16 参考文献
17 外部リンク

意味
K3曲面を定義するための同等の方法がいくつか自明な標準束を持つ唯一のコンパクトな複素トーラスはK3曲面とコンパクトな複素トーラスであるため、後者を除く任意の条件を追加してK3曲面を定義できます。たとえば、複素解析K3曲面を、どこにも消えない正則2形式を持つ次元2の単連結コンパクト複素多様体として定義することと同等です。（後者の条件は、標準束が取るに足らないことを正確に示しています。）
定義にはいくつかのバリエーションも複素数について、一部の著者は代数K3曲面のみを考慮しています。（代数的K3曲面は自動的に射影します。）または、K3曲面が滑らかではなくデュバル特異点（次元2の標準特異点）を持つことを許可する場合が

ベッチ数の計算
複雑な分析K3曲面のベッチ数は次のように計算されます。 （同様の議論は、 l-adicコホモロジーを使用して定義された任意の体上の代数K3曲面のベッチ数に対して同じ答えを与えます。）定義上、標準束 KX =ΩX 2
{ K_ {X} = Omega _ {X} ^ {2}}

 は自明であり、不規則性q（X）（次元h 1（（ X OX）。
{ h ^ {1}（X、O_ {X}）}

 連接層コホモロジー群のH 1（（ X OX）。
{ H ^ {1}（X、O_ {X}）}

 ）はゼロです。セール双対性により、h 2（（ X OX
）。= h 0（（ X KX
）。 = 1.1。
{ h ^ {2}（X、{ mathcal {O}} _ {X}）= h ^ {0}（X、K_ {X}）=1。}
  結果として、Xの数論的種数（または正則オイラー標数）は次のようになります。 χ （（ X OX ）。 ：= ∑ I（（ − 1 ）。I h I（（ X OX
）。= 1 − 0 + 1 =
2.2。
{ chi（X、{ mathcal {O}} _ {X}）：= sum _ {i}（-1）^ {i} h ^ {i}（X、{ mathcal {O} } _ {X}）= 1-0 + 1=2。}
  一方、リーマン・ロッホの定理（ネーターの定理）は次のように述べています。 χ （（ X OX ）。 =1 12（（ c 1 （（ X）。2 2 （ X ）。
）。 { chi（X、{ mathcal {O}} _ {X}）= { frac {1} {12}} left（c_ {1}（X）^ {2} + c_ {2} （X） right）、}
  どこc I （ X ）。
{ c_ {i}（X）}

 接束のi番目のチャーン類です。以来 KX { K_ {X}}

 些細なことです、その最初のチャーン類c 1（（ KX）。= − c 1 （ X ）。
{ c_ {1}（K_ {X}）=-c_ {1}（X）}

 はゼロなのでc 2 （ X ）。= 24
{ c_ {2}（X）= 24}

 。
次に、指数シーケンス0 ZX OX OX ∗ 0
{ 0 to mathbb {Z} _ {X} to O_ {X} to O_ {X} ^ {*} to 0}

 コホモロジー群の完全系列を与える0 H 1（（ X Z
）。H 1（（ X OX）。
{ 0 to H ^ {1}（X、 mathbb {Z}） to H ^ {1}（X、O_ {X}）}

 、 などH 1（（ X Z
）。= 0
{ H ^ {1}（X、 mathbb {Z}）= 0}

 。したがって、ベッチ数b 1 （ X ）。
{ b_ {1}（X）}

 はゼロであり、ポアンカレ双対性により、b 3 （ X ）。
{ b_ {3}（X）}

 もゼロです。ついに、c 2 （ X ）。= 24
{ c_ {2}（X）= 24}

 トポロジカルオイラー標数に等しい χ （（ X
）。= ∑ I （（ − 1 ）。I b I（（ X
）。 { chi（X）= sum _ {i}（-1）^ {i} b_ {i}（X）。}
  以来b 0 （ X ）。= b 4 （ X ）。= 1
{ b_ {0}（X）= b_ {4}（X）= 1}

 とb 1 （ X ）。= b 3 （ X ）。= 0
{ b_ {1}（X）= b_ {3}（X）= 0}

 、それはそれに続くb 2 （ X ）。= 22
{ b_ {2}（X）= 22}

 。

プロパティ
小平邦彦による、 2つの複雑な解析的K3曲面は、滑らかな4次元多様体のように微分同相写像です。
すべての複雑な分析K3曲面には、Yum-TongSiuによるケーラー計量が（類似していますが、はるかに簡単です。体上のすべての代数K3曲面は射影的です。）カラビ予想に対するシントゥンヤウの解により、すべての複雑な分析K3曲面はリッチ平坦ケーラー計量を持つことになります。
K3曲面
のホッジ番号は、ホッジダイヤモンドにリストされています。 0 1 0 0 1
これを示す1つの方法は、特定のK3曲面のヤコビイデアル
を計算し 、代数K3曲面の モジュラスでホッジ構造のバリエーションを使用して、 そのようなすべてのK3曲面が同じホッジ数を持っていることを示すことです。ベッチ数の計算と、で計算され たホッジ構造の部分を使用して、より低額の計算を行うことができます 。H 2（（ X ; Z ）。 { H ^ {2}（X; mathbb {Z}）}
 任意のK3曲面の場合。この場合、ホッジ対称力H 0（（ X; X
2）。≅ C
{ H ^ {0}（X; Omega _ {X} ^ {2}） cong mathbb {C}}
 、したがってH 1（（ XΩX）。≅ C 20
{ H ^ {1}（X、 Omega _ {X}） cong mathbb {C} ^ {20}}
 。標 数p >0のK3曲面の場合 、これはAlexeyRudakovとIgorShafarevichによって最初に示されまし た。
複雑な分析K3曲面Xの場合、交叉形式（またはカップ積） 2（（ X Z）。≅ Z 22
{ H ^ {2}（X、 mathbb {Z}） cong mathbb {Z} ^ {22}}

 は、 K3格子として知られる、整数の値を持つ対称双線形形式です。これはユニモジュラー格子と同型ですII 3 19
{ operatorname {II} _ {3，19}}

 、または同等に 8（（ − 1 ）。⊕ 2 ⊕ U ⊕ 3
{ E_ {8}（-1）^ { oplus 2} oplus U ^ { oplus 3}}

 、ここで、Uはランク2の双曲線格子であり、 8
{ E_ {8}}

 E8格子です。
松本幸雄の11/8予想は、交叉形式が均一であるすべての滑らかな方向の4次元多様体は、署名の絶対値の少なくとも11/8倍の2番目のベッチ数を持っていると予測しています。これは、真の場合に最適です。これは、シグネチャ3-19=-16を持つ複雑なK3曲面に対して等式が成り立つためです。予想は、交差形式が均一な単連結の滑らかな4次元多様体はすべて、K3曲面との連結和に同相であることを意味します。 2
××S 2
{ S ^ {2} times S ^ {2}}

 。
K3曲面と微分同相写像であるすべての複雑な曲面は、RobertFriedmanとJohnMorganによるK3曲面です。一方、KodairaとMichael Freedmanによると、K3曲面と同相ではあるが、微分同相ではない滑らかで複雑な表面（一部は射影）がこれらの「ホモトピーK3曲面」はすべて小平次元1です。

例
滑らかな六次（次数6）曲線に沿って分岐した射影平面の二重カバー Xは、属2（つまり、次数2 g -2 = 2）のK3曲面です。（この用語は、の一般的な超平面のXの逆像を意味しますP 2
{ mathbf {P} ^ {2}}

 属2の滑らかな曲線です。）
の滑らかな四次（次数4）表面P 3
{ mathbf {P} ^ {3}}

 属3（つまり、次数4）のK3曲面です。
クンマー曲面は、アクションによる2次元アーベル多様体 Aの商です。a ↦ − a
{ a mapsto -a}

 。これにより、 Aの2つのねじれ点で16個の特異点が生じます。この特異な表面の最小解像度は、クンマー曲面と呼ばれることもその解像度はK3曲面です。Aが属2の曲線のヤコビアンである場合、Kummerはその商がA /（（ ± 1 ）。
{ A /（ pm 1）}

 に埋め込むことができますP 3
{ mathbf {P} ^ {3}}

 16ノードの四次曲面として。
より一般的には、デュバル特異点を持つ四次曲面Yの場合、 Yの最小解像度は代数K3曲面です。
二次曲面と立方インチの交点P 4
{ mathbf {P} ^ {4}}

 属4（つまり、次数6）のK3曲面です。
の3つの二次曲面の交差P 5
{ mathbf {P} ^ {5}}

 属5（つまり、次数8）のK3曲面です。
重み付き射影空間にデュバル特異点を持つK3曲面のデータベースがいくつか

ピカード格子
複雑な解析的K3曲面Xのアーベル群Pic（X ）は、 X上の複雑な解析的直線束のアーベル群を意味します。代数K3曲面の場合、Pic（X ）はX上の代数直線束のグループを意味します。2つの定義は、 Jean-PierreSerreのGAGA定理による複雑な代数K3曲面について一致しています。
K3曲面XのPicard群は、常に有限生成自由アーベル群です。そのランクはピカード番号と呼ばれます ρ { rho}

 。複雑なケースでは、Pic（X）はのサブグループですH 2（（ X Z
）。≅ Z 22
{ H ^ {2}（X、 mathbb {Z}） cong mathbb {Z} ^ {22}}

 。多くの異なるピカード数が発生する可能性があることは、K3曲面の重要な機能です。Xの場合、複素代数K3曲面、 ρ { rho}

 1から20までの任意の整数にすることができます。複雑な分析の場合、 ρ { rho}

 ゼロの場合も（その場合、Xには閉じた複雑な曲線はまったく含まれません。対照的に、代数曲面には常に多くの連続した曲線のファミリーが含まれます。）標数p > 0の代数的閉体上には、超特異K3曲面の特別なクラスがK3曲面、ピカード番号22。
K3曲面のPicard格子は、アーベル群Pic（X）とその交叉形式（整数の値を持つ対称双線形形式）を意味します。（以上 C { mathbb{C}}

 、交叉形式は、上の交叉形式の制限を意味しますH 2（（ X Z ）。 { H ^ {2}（X、 mathbb {Z}）}

 。一般的なフィールドでは、交叉形式は、Picardグループを除数クラスグループで識別することにより、サーフェス上の曲線の交叉理論を使用して定義できます。）K3曲面のPicard格子は常に偶数であり、整数を意味します。u 2
{ u ^ {2}}

 それぞれのためにさえありますu ∈
写真 （ X ）。
{ u in operatorname {Pic}（X）}

 。
ホッジ指数定理は、代数K3曲面のピカード格子が署名を持っていることを意味します（（ 1 ρ− 1 ）。 {（1、 rho -1）}

 。K3曲面の多くの特性は、整数上の対称双線形形式として、そのピカード格子によって決定されます。これは、K3曲面の理論と対称双線形形式の算術との間に強いつながりをもたらします。この接続の最初の例として、複雑な分析K3曲面は、要素がある場合にのみ代数的です。u ∈
写真 （ X ）。
{ u in operatorname {Pic}（X）}

 と u 2>> 0 { u ^ {2}> 0}
0}””>
 。
大まかに言えば、すべての複雑な分析K3曲面の空間は複素次元20ですが、ピカード数を持つK3曲面の空間は ρ { rho}

 寸法があります20 − ρ
{ 20- rho}

 （超特異の場合を除く）。特に、代数K3曲面は19次元のファミリで発生します。K3曲面のモジュライ空間の詳細を以下に示します。
K3曲面のピカード格子としてどの格子が発生するかについての正確な説明は複雑です。ViacheslavNikulinとDavidMorrisonによる明確な声明の1つは、署名のすべての均一な格子である（（ 1 ρ− 1 ）。 {（1、 rho -1）}

 とρ ≤ 11
{ rho leq 11}

 いくつかの複雑な射影K3曲面のピカード格子です。そのような表面の空間には次元があります20 − ρ
{ 20- rho}

 。

楕円形のK3曲面
K3曲面の重要なサブクラスは、一般的な場合よりも分析が容易で、楕円曲面を持つK3曲面で構成されています。XP 1
{ X to mathbf {P} ^ {1}}

 。「楕円形」とは、この射の有限数を除くすべての繊維が属1の滑らかな曲線であることを意味します。特異繊維は有理曲線の和集合であり、可能な種類の特異繊維は小平によって分類されます。特異繊維の位相オイラー標数の合計は次のようになるため、常にいくつかの特異繊維が存在します。 χ （（ X
）。= 24
{ chi（X）= 24}

 。一般的な楕円形のK3曲面には、それぞれがタイプの正確に24本の特異なファイバーがI 1
{ I_ {1}}

 （節点三次曲線）。
K3曲面が楕円であるかどうかは、そのピカード格子から読み取ることができます。つまり、2または3ではない標数では、ゼロ以外の要素がある場合にのみ、K3曲面Xは楕円曲面を持ちます。u ∈
写真 （ X ）。
{ u in operatorname {Pic}（X）}

 と
u2 0
{ u ^ {2} = 0}

 。（標数2または3では、後者の条件は準楕円曲線にも対応する可能性が）したがって、楕円曲線を持つことは、K3曲面の余次元1条件です。したがって、楕円曲面を持つ複雑な分析K3曲面の19次元ファミリーと、楕円曲面を持つ射影K3曲面の18次元モジュライ空間が
例：すべての滑らかな四次曲面XP 3
{ mathbf {P} ^ {3}}

 線Lを含むものは楕円曲面を持っていますXP 1
{ X to mathbf {P} ^ {1}}

 、 Lから離れて投影することによって与えられます。すべての滑らかな四次曲面（同型まで）のモジュライ空間の次元は19ですが、線を含む四次曲面の部分空間の次元は18です。

K3曲面上の有理曲線
デルペッゾ曲面などの正に湾曲した変種とは対照的に、複素代数K3曲面Xは単線織多様体ではありません。つまり、有理曲線の連続ファミリーではカバーされません。一方、一般型曲面などの負に湾曲した変種とは対照的に、Xには有理曲線の大きな離散セット（おそらく特異）が含まれています。特に、FedorBogomolovとDavidMumfordは、 X上のすべての曲線が有理曲線の正の線形結合と線形的に同等であることを示しました。
負に湾曲した品種とのもう1つの対照は、複雑な分析K3曲面Xの小林距離がまったくゼロであることです。証明は、代数K3曲面Xが常に楕円曲線の画像の連続ファミリーによって覆われていることを使用しています。 （ Xが楕円形のK3曲面でない限り、これらの曲線はXで特異です。）開いたままのより強い質問は、すべての複雑なK3曲面がからの非縮退正則写像を認めるかどうかです。C 2
{ mathbb {C} ^ {2}}

 （ここで、「非退化」とは、マップの導関数がある時点で同型であることを意味します）。

期間マップ
複雑な分析K3曲面Xのマーキングを、からの格子の同型であると定義します。H 2（（ X Z ）。 { H ^ {2}（X、 mathbb {Z}）}

 K3格子にΛ = E 8（（ − 1 ）。
⊕ U ⊕ 3 { Lambda = E_ {8}（-1）^ { oplus 2} oplus U ^ { oplus 3}}

 。マークされた複素K3曲面の空間Nは、次元20の非ハウスドルフ複素多様体です。複素解析K3曲面の同型クラスのセットは、直交群によるNの商です。 O （（ Λ ）。 { O（ Lambda）}

 、しかし、この商は幾何学的に意味のあるモジュライ空間ではありません。 O （（ Λ ）。 { O（ Lambda）}

 適切に不連続になるにはほど遠いです。（たとえば、滑らかな四次曲面の空間は次元19で既約ですが、20次元ファミリーNのすべての複雑な分析K3曲面には、滑らかな四次曲面と同型である任意の小さな変形が）同じ理由で、少なくとも2次元のコンパクトな複素トーラスの意味のあるモジュラス空間はありません。
周期写像は、K3曲面をそのホッジ構造に送信します。注意深く述べると、トレリの定理が成り立ちます。K3曲面はそのホッジ構造によって決定されます。周期領域は、20次元の複素多様体として定義されますD =
{{u ∈ P（（ Λ ⊗ C）。： u 2 = 0 u ⋅ u ¯
>> 0 } { D = {u in P（ Lambda otimes mathbb {C}）：u ^ {2} = 0、、u cdot { overline {u}}>0}。}
0}.}””>   周期写像N D
{ N to D}

 マークされたK3曲面Xを複素数線に送信しますH 0（（ X Ω
2）。⊂ H 2（（ X C
）。≅ Λ ⊗ C
{ H ^ {0}（X、 Omega ^ {2}） subset H ^ {2}（X、 mathbb {C}） cong Lambda otimes mathbb {C}}

 。これは全射であり、局所的な同型ですが、同型ではありません（特に、Dはハウスドルフであり、Nはそうではないため）。ただし、K3曲面のグローバルトレリの定理は、集合の商マップは次のように述べています。N / O （（ Λ
）。D / O （（ Λ ）。 { N / O（ Lambda） to D / O（ Lambda）}
  全単射です。したがって、2つの複雑な分析K3曲面XとYは、からのホッジ等長写像がある場合にのみ同型です。H 2（（ X Z ）。 { H ^ {2}（X、 mathbb {Z}）}

 にH 2（（ Y Z ）。 { H ^ {2}（Y、 mathbb {Z}）}

 、つまり、交叉形式を保持して送信するアーベル群の同型写像H 0（（ X Ω
2）。⊂ H 2（（ X C ）。 { H ^ {0}（X、 Omega ^ {2}） subset H ^ {2}（X、 mathbb {C}）}

 にH 0（（ Y Ω
2）。
{ H ^ {0}（Y、 Omega ^ {2}）}

 。

射影K3曲面のモジュライ空間
属gの偏光K3曲面Xは、 Lが原始的（つまり、別の直線束の2倍以上ではない）であるような十分な直線束Lとともに射影K3曲面であると定義されます。c 1 （ L ）。2 2g − 2
{ c_ {1}（L）^ {2} = 2g-2}

 。これは、次数2g – 2の偏光K3曲面とも呼ばれます。
これらの仮定の下では、Lはベースポイントフリーです。標数ゼロでは、Bertiniの定理は、線形システムに滑らかな曲線Cがあることを意味します。L |。このような曲線はすべて属gを持っています。これは、（ X、L）が属gを持っていると言われる理由を説明しています。
Lのセクションのベクトル空間の次元はg +1であるため、LはXから射影空間への射を与えます。P g
{ mathbf {P} ^ {g}}

 。ほとんどの場合、この射は埋め込みであるため、Xは2g – 2度の表面と同型です。P g
{ mathbf {P} ^ {g}}

 。
既約の粗いモジュライ空間がありますF g
{ { mathcal {F}} _ {g}}

 それぞれの属gの分極した複雑なK3曲面のg ≥ 2
{ g geq 2}

 ; これは、グループSO（2，19）の志村多様体のザリスキー開集合と見なすことができます。各gについて、F g
{ { mathcal {F}} _ {g}}

 は、次元19の準射影複雑多様体です。 向井茂は、このモジュライ空間が非合理的であることを示しました。g ≤ 13
{ g leq 13}

 またg = 18 20
{ g = 18，20}

 。対照的に、Valery Gritsenko、Klaus Hulek、Gregory Sankaranは、次のことを示しました。F g
{ { mathcal {F}} _ {g}}

 一般的なタイプの場合g ≥ 63
{ g geq 63}

 またg =
47 51 55 58 59 61
{ g = 47，51，55，58，59，61}

 。この地域の調査はVoisin（2008）によって行われました。
異なる19次元のモジュライ空間F g
{ { mathcal {F}} _ {g}}

 複雑な方法でオーバーラップします。確かに、数え切れないほど無限の余次元のセットがあります-それぞれの1つの亜変種F g
{ { mathcal {F}} _ {g}}

 少なくとも2のピカード数のK3曲面に対応します。これらのK3曲面は、2 g –2だけでなく、無限に多くの異なる次数の偏光を持っています。つまり、他のモジュライ空間の多くは無限にあると言えますF h
{ { mathcal {F}} _ {h}}

 会うF g
{ { mathcal {F}} _ {g}}

 。すべてのモジュライ空間を含む行儀の良い空間がないため、これは不正確です。F g
{ { mathcal {F}} _ {g}}

 。ただし、このアイデアの具体的なバージョンは、任意の2つの複雑な代数K3曲面が、代数K3曲面を介して変形と同等であるという事実です。
より一般的には、属gの準偏光K3曲面は、次のようなプリミティブnefと大きな直線束Lを持つ射影K3曲面を意味します。c 1 （ L ）。2 2g − 2
{ c_ {1}（L）^ {2} = 2g-2}

 。そのような直線束はまだ射を与えますP g
{ mathbf {P} ^ {g}}

 、しかし今では有限の数（-2）曲線を収縮する可能性があるため、Xの画像Yは特異です。（A （-2）-表面上の曲線は、P 1
{ mathbf {P} ^ {1}}

 自己交差-2を使用します。）g属の準偏光K3曲面のモジュライ空間は、次元19（開集合として前のモジュライ空間を含む）の既約空間です。正式には、これをデュバル特異点を持つK3曲面Yのモジュライ空間と見なす方が適切です。

十分な円錐と曲線の錐
代数K3曲面の注目すべき特徴は、ピカード格子が、十分な除数の凸錐（ピカード格子の自己同型まで）を含む、表面の多くの幾何学的特性を決定することです。十分な円錐は、次のようにピカード格子によって決定されます。ホッジ指数定理により、実数ベクトル空間上の交叉形式N 1 （ X ）。 ：= 写真 （ X ）。⊗ R
{ N ^ {1}（X）：= operatorname {Pic}（X） otimes mathbb {R}}

 署名があります（（ 1 ρ− 1 ）。 {（1、 rho -1）}

 。したがって、の要素のセットはN 1 （ X ）。
{ N ^ {1}（X）}

 正の自己交差を持つ場合、2つの連結成分が正円錐をX上の十分な因子を含む成分と呼びます。
ケース1：Pic（X）の要素uがないu2 − 2
{ u ^ {2} =-2}

 。その場合、十分な円錐は正の円錐に等しくなります。したがって、それは標準的な丸い円錐です。
ケース2：それ以外の場合は、Δ =
{{u ∈
写真 （ X ）。： u2 − 2 }
{ Delta = {u in operatorname {Pic}（X）：u ^ {2} =-2 }}

 、ピカード格子の根のセット。根の直交補空間は、すべてが正の円錐を通過する超平面のセットを形成します。次に、十分な円錐は、正の円錐内のこれらの超平面の補集合の連結成分です。このような2つのコンポーネントは、各ルート超平面での反射が含まれているため、格子Pic（ X ）の直交群を介して同型です。この意味で、ピカード格子は同型までの十分な円錐を決定します。
SándorKovácsによる関連するステートメントは、Pic（X ）で1つの十分な因子Aを知っていると、 Xの曲線の円錐全体が決定されるというものです。つまり、Xがピカード番号を持っていると仮定しますρ ≥ 3
{ rho geq 3}

 。ルートのセットの場合 Δ { Delta}

 が空の場合、曲線の閉じた円錐は正の円錐の閉じです。それ以外の場合、曲線の閉じた円錐は、すべての要素にまたがる閉じた凸錐です。u ∈ Δ
{ u in Delta}

 とA ⋅ u
>> 0 { A cdot u> 0}
0}””>
 。最初のケースでは、Xには（-2）曲線が含まれ2番目のケースでは、曲線の閉じた円錐は、すべての（-2）曲線にまたがる閉じた凸錐です。（ ρ= 2
{ rho = 2}

 、もう1つの可能性が曲線の円錐は、1つの（-2）曲線と、自己交差が0の1つの曲線にまたがることが）したがって、曲線の円錐は、標準の丸い円錐であるか、「鋭い」です。コーナー」（すべての（-2）-曲線が曲線の円錐の孤立した極値光線にまたがるため）。

自己同形群
K3曲面は、自己同形群が無限で離散的で非常に非アーベルである可能性があるという点で、代数多様体の中でやや珍しいものです。トレリの定理のバージョンにより、複素代数K3曲面Xのピカード格子は通約可能性までのXの自己同形群を決定します。つまり、ワイル群Wを、根の集合の反射によって生成された直交群O（Pic（X））の部分群とします。 Δ { Delta}

 。その場合、 WはOの正規部分群（Pic（X ））であり、 Xの自己同形群は商群O（Pic（X））/ Wと通約可能です。Hans Sterkによる関連するステートメントは、Aut（X ）が有理多面体基本領域を持つXのnef円錐に作用するというものです。

弦双対性との関係
K3曲面は、弦双対性でほぼ遍在的に現れ、それを理解するための重要なツールを提供します。これらのサーフェスでの文字列のコンパクト化は簡単ではありませんが、ほとんどのプロパティを詳細に分析するのに十分なほど単純です。タイプIIAストリング、タイプIIBストリング、E 8 ×E8ヘテロティックストリング、Spin（32）/ Z2ヘテロティックストリング、およびM理論は、K3曲面でのコンパクト化によって関連付けられます。たとえば、K3曲面でコンパクト化されたタイプIIAストリングは、4トーラスでコンパクト化されたヘテロティックストリングと同等です（Aspinwall（1996））。harvtxtエラー：ターゲットなし：CITEREFAspinwall1996（ヘルプ）

歴史
の四次曲面P 3
{ mathbf {P} ^ {3}}

 エルンスト・クマー、アーサー・ケイリー、フリードリヒ・シューア、その他の19世紀の幾何学者によって研究されました。より一般的には、フェデリゴ・エンリケスは1893年に、さまざまな数gに対して、次数2g – 2の表面があることを観察しました。P g
{ mathbf {P} ^ {g}}

 些細な標準束と不規則性ゼロ。 1909年、エンリケスはそのような表面がすべての人に存在することを示しましたg ≥ 3
{ g geq 3}

 、およびFrancesco Severiは、そのような表面のモジュライ空間が各gに対して19の次元を持つことを示しました。
AndréWeil （1958）は、K3曲面に名前を付け（上記の引用を参照）、それらの分類についていくつかの影響力のある推測を行いました。小平邦彦は1960年頃に基礎理論を完成させ、特に代数的ではない複雑な分析K3曲面の最初の体系的な研究を行いました。彼は、任意の2つの複雑な分析K3曲面が変形と同等であり、したがって微分同相写像であることを示しました。これは、代数K3曲面でも新しいものでした。その後の重要な進歩は、IlyaPiatteski-ShapiroとIgorShafarevich（1971）による複雑な代数K3曲面のトレリの定理の証明であり、DanielBurnsとMichaelRapoport（1975）による複雑な分析K3曲面に拡張されました。

も参照してください
エンリケス曲面
テイト予想
マチュー密造酒、K3曲面とマシュー群M24の不思議な関係。

ノート
^ Huybrechts（2016）、備考1.1.2
^ Huybrechts（2016）、セクション2.3。
^ Huybrechts（2016）、セクション2.4。
^ Huybrechts（2016）、定理7.1.1。
^ バースら。（2004）、セクションIV.3。
^ Huybrechts（2016）、定理9.5.1。
^ Huybrechts（2016）、命題3.3.5。
^ Scorpan（2005）、セクション5.3。
^ Huybrechts（2016）、備考1.3.6（ii）。
^ 次数付き環データベース; マグマのK3データベース。
^ バースら。（2004）、定理6.1。
^ Huybrechts（2016）、結果14.3.1および備考14.3.7。
^ Huybrechts（2016）、備考11.1.12。
^ Huybrechts（2016）、提案11.1.3。
^ Huybrechts（2016）、結果13.1.5。
^ Kamenovaetal。（2014）、結果2.2; Huybrechts（2016）、結果13.2.2。
^ Huybrechts（2016）、セクション13.0.3。
^ Huybrechts（2016）、セクション6.3.3。
^ Huybrechts（2016）、セクション6.3.1および備考6.3.6。
^ Huybrechts（2016）、セクション7.1.3。
^ Huybrechts（2016）、定理7.5.3。
^ Huybrechts（2016）、定義2.4.1。
^ Huybrechts（2016）、結果6.4.4。
^ Huybrechts（2016）、セクション7.1.1。
^ Huybrechts（2016）、セクション5.1.4および備考6.4.5。
^ Huybrechts（2016）、結果8.2.11。
^ Huybrechts（2016）、結果8.3.12。
^ Huybrechts（2016）、定理8.4.2。
^ Enriques（1893）、セクションIII.6。
^ エンリケス（1909）; セヴェリ（1909）。

参考文献
Aspinwall、Paul（1997）、「K3曲面と弦双対性」、フィールド、弦と双対性（Boulder、CO、1996）、World Scientific、pp。421–540、arXiv：hep-th / 9611137、MR  1479699
バース、ウルフP .; ヒューレック、クラウス; ピーターズ、クリスAM; Van de Ven、Antonius（2004）、コンパクトな複雑な表面、Springer、doi：10.1007 / 978-3-642-57739-0、ISBN 978-3-540-00832-3、MR  2030225
ボーヴィル、アルノー（1983）、「Surfaces K3」、ブルバキセミナー、Vol。1982/83 Exp 609、Astérisque、vol。105、パリ：SociétéMathématiquedeFrance 、pp。217–229 、MR  0728990
ボービル、A .; ブルギニョン、J.-P。; Demazure、M.（1985）、Géométriedessurfaces K3：modulesetpériodes、SéminairePalaiseau、Astérisque、vol。126、パリ：SociétéMathématiquedeFrance、MR  0785216
Brown、Gavin（2007）、「分極K3曲面のデータベース」、実験数学、16（1）：7–20、doi：10.1080 / 10586458.2007.10128983、MR  2312974、S2CID  24693572
バーンズ、ダニエル; Rapoport、Michael（1975）、「kählerianK-3曲面のトレリ問題について」、Annales Scientifiques del’ÉcoleNormaleSupérieure 、Série4、8（2）：235–273、doi：10.24033 / asens.1287、MR  0447635
Enriques、Federigo（1893）、””Richerche di geometria sulle superficie algebriche””、Memorie Accademia di Torino、2、44：171–232、JFM  25.1212.02
Enriques、Federigo（1909）、””Le superficie di genere uno”、Rendiconti Accademia di Bologna、13：25–28、JFM  40.0685.01
グリツェンコ、バージニア州; ヒューレック、クラウス; Sankaran、GK（2007）、「K3曲面のモジュライの小平次元」、Inventiones Mathematicae、169（3）：519–567、arXiv：math / 0607339、Bibcode：2007InMat.169..519G、doi：10.1007 / s00222-007-0054-1、MR  2336040、S2CID  14877568
Huybrechts、Daniel（2016）、K3表面に関する講義 （PDF）、Cambridge Studies in Advanced Mathematics、vol。158、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-1107153042、MR  3586372
カメノバ、リュドミラ; ルー、スティーブン; Verbitsky、Misha（2014）、「超ケーラー多様体の小林擬距離」、Journal of the London Mathematical Society、90（2）：436–450、arXiv：1308.5667、doi：10.1112 / jlms / jdu038、MR  3263959、S2CID  28495199
向井茂（2006）、「13属の偏光K3曲面」、モジュラス空間と算術幾何学、Adv。スタッド。純粋数学、vol。45、東京：数学。Soc。日本、pp。315–326、MR  2310254
Pjateckiĭ-Šapiro、II ; Šafarevič、IR（1971）、「タイプK3の代数曲面に対するトレリの定理」、ソ連の数学–イズベスチヤ、5（3）：547–588、Bibcode：1971IzMat … 5..547P、doi：10.1070 / IM1971v005n03ABEH001075、MR  0284440
Rudakov、AN（2001）、「K3曲面」、エンサイクロペディアオブ数学、EMS Press
Scorpan、Alexandru（2005）、4マニホールドの野生世界、アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-3749-8、MR  2136212
セヴェリ、フランチェスコ（1909）、「Le superficie algebriche con curva canonica d’ordine zero」 （PDF）、Atti del Istituto Veneto、68：249–260、JFM  40.0683.03
Voisin、Claire（2008）、「Géométriedes espaces de modules de courbes et de surface K3（d’aprèsGritsenko-Hulek-Sankaran、Farkas-Popa、Mukai、Verra、et al。）」 （PDF）、Astérisque、SéminaireBourbaki 。2006/2007。Exp 981（317）：467–490、ISBN 978-2-85629-253-2、MR  2487743
ヴェイユ、アンドレ（1958）、「契約AF 18（603）-57に関する最終報告」、科学的研究。収集された論文、vol。II、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、pp。390–395、545–547、ISBN 978-0-387-90330-9、MR  0537935

外部リンク
K3曲面のカタログの次数付き環データベースのホームページ
Magma数式処理システム用のK3データベース
K3曲面の幾何学、 David Morrison（1988）による講義。”