Kodaira%E2%80%93Spencer_map
数学では、小平邦彦とドナルドC.スペンサーによって導入された小平・スペンサーマップは、スキームまたは複素多様体Xの変形に関連付けられたマップであり、変形空間の点の接空間を最初のコホモロジーグループに取ります。X上 のベクトルフィールドの束の。
コンテンツ
1 意味
1.1 歴史的動機 1.2 元の定義 1.3 備考
2 構造
2.1 無限小の使用
2.1.1 変形のコサイクル条件
2.1.2 ベクトル場のコサイクルへの変換
2.2 ベクトル場の使用 2.3 概型理論では 2.4 環状トポイの
3 例
3.1 分析細菌を使って 3.2 コタンジェント複合体を伴うアフィン超曲面について
4 も参照してください
5 参考文献
意味
歴史的動機
小平・スペンサーマップは、もともと複素多様体の設定で作成されました。複雑な分析的多様体が与えられた M { M}
チャート付きU I
{ U_ {i}}
および双正則写像f j k
{ f_ {jk}}
送信z k z j = （（ z j 1 … z j n）。
{ z_ {k} to z_ {j} =（z_ {j} ^ {1}、 ldots、z_ {j} ^ {n}）}
チャートを接着して、変形理論のアイデアは、これらの遷移マップを置き換えることですf j k （ z k）。
{ f_ {jk}（z_ {k}）}
パラメータ化された遷移マップによるf j k（（ z k t 1 … t
k）。
{ f_ {jk}（z_ {k}、t_ {1}、 ldots、t_ {k}）}
いくつかのベースの上 B { B}
（実際の多様体である可能性があります）座標 t 1 … t k { t_ {1}、 ldots、t_ {k}}
、 そのようなf j k （ z k 0 … 0
）。= f j k （ z k）。
{ f_ {jk}（z_ {k}、0、 ldots、0）= f_ {jk}（z_ {k}）}
。これはパラメータを意味しますt I
{ t_ {i}}
元の複素多様体の複素構造を変形する M { M}
。次に、これらの関数は、1コサイクルを与えるコサイクル条件を満たす必要が M { M}
接束に値がベースは多重円板であると見なすことができるため、このプロセスにより、ベースの接空間とH 1（（ M T M）。
{ H ^ {1}（M、T_ {M}）}
小平・スペンサーマップと呼ばれます。
元の定義
より正式には、小平・スペンサーマップはです。K S ： T 0 B H 1（（ M T M ）。
{ KS：T_ {0} B to H ^ {1}（M、T_ {M}）}
どこM B
{ { mathcal {M}} to B}
複雑な空間間の滑らかな固有写像（つまり、特殊繊維の変形）M = M 0
{ M = { mathcal {M}} _ {0}}
。）K S
{ KS}
全射の長く正確なコホモロジーシーケンスを取ることによって得られる接続準同型ですT M | M T 0 B ⊗ O T0
{ T { mathcal {M}} | _ {M} to T_ {0} B otimes { mathcal {O}} _ {M}}
そのカーネルは接束です
T M { T_ {M}}
。
もしも v { v}
にあります T0 { T_ {0} B}
、次にその画像K S（（ v ）。 { KS（v）}
小平・スペンサークラスと呼ばれます v { v}
。
備考
変形理論は、スキーム理論の変形や環状トポスなど、他の複数のコンテキストに拡張されているため、これらのコンテキストの小平・スペンサーマップの構築が
ベースフィールド上の概型理論では k { k}
特徴の 0 { 0}
、同型類の間に自然全単射がありますXS =
スペック （ k [ t] / t 2）。
{ { mathcal {X}} to S = operatorname {Spec}（k / t ^ {2}）}
とH 1（（ X TX ）。 { H ^ {1}（X、TX）}
。
構造
無限小の使用
変形のコサイクル条件
オーバー特性 0 { 0}
小平・スペンサーマップの構築は、コサイクル条件の微小な解釈を使用して行うことができます。複素多様体がある場合X
{ X}
限りなく多くのチャートでカバーされています U =
{{U α }
α
{ { mathcal {U}} = {U _ { alpha} } _ { alpha in I}}
座標付きz α =（（ z α 1 … z α n）。
{ z _ { alpha} =（z _ { alpha} ^ {1}、 ldots、z _ { alpha} ^ {n}）}
および遷移関数f β α ： U β | U α
βU α | U α β { f _ { beta alpha}：U _ { beta} | _ {U _ { alpha beta}} to U _ { alpha} | _ {U _ { alpha beta}}}
どこ
fα β（（ z β ）。= z α
{ f _ { alpha beta}（z _ { beta}）= z _ { alpha}}
変形は可換図式によって与えられることを思い出してくださいXX ↓ ↓ スペック（（ C ）。 スペック（（ C ）。 { { begin {matrix} X＆ to＆{ mathfrak {X}} \ downarrow && downarrow \ { text {Spec}}（ mathbb {C}）＆ to＆{ text {Spec}}（ mathbb {C} [ varepsilon]） end {matrix}}}
どこ C [ ε ] { mathbb {C} }
は二重数のリングであり、垂直マップはフラットであり、変形はコサイクルとしてのコホモロジー的解釈を持っていますf 〜 α β （（ z
β ε ）。 { { tilde {f}} _ { alpha beta}（z _ { beta}、 varepsilon）}
の上U α ×× スペック（（ C
[ ε ] ）。
{ U _ { alpha} times { text {Spec}}（ mathbb {C} [ varepsilon]）}
どこz α = f 〜
α β （（ z
β ε
）。= f α β（（ z β ）。+ ε b α β（（ z β ）。
{ z _ { alpha} = { tilde {f}} _ { alpha beta}（z _ { beta}、 varepsilon）= f _ { alpha beta}（z _ { beta}）+ varepsilon b _ { alpha beta}（z _ { beta}）}
の場合f 〜 α β { { tilde {f}} _ { alpha beta}}
コサイクル条件を満たすと、変形に接着しますX
{ { mathfrak {X}}}
。これは次のように読むことができますf 〜 α γ（（ z
γ ε）。= f 〜 α β（（ f〜 β γ（（ z
γ ε）。 ε）。=f α β（（ fβ γ（（ z γ ）。+ ε
bβ γ（（ z γ ）。
）。+ ε
bα β（（ fβ γ（（ z γ ）。+ ε
bβ γ（（ z γ ）。 ）。 { { begin {aligned} { tilde {f}} _ { alpha gamma}（z _ { gamma}、 varepsilon）=＆{ tilde {f}} _ { alpha beta}（ { tilde {f}} _ { beta gamma}（z _ { gamma}、 varepsilon）、 varepsilon）\ =＆f _ { alpha beta}（f _ { beta gamma}（z _ { gamma}）+ varepsilon b _ { beta gamma}（z _ { gamma}））\＆+ varepsilon b _ { alpha beta}（f _ { beta gamma}（z _ { gamma}）+ varepsilon b _ { beta gamma}（z _ { gamma}）） end {aligned}}}
二重数のプロパティを使用する、すなわち g （（ a+ b ε
）。= g（（ a
）。+ ε g ′（（ a
）。 b { g（a + b varepsilon）= g（a）+ varepsilon g’（a）b}
、 我々は持っていますf α β（（ fβ γ（（ z γ ）。+ ε
bβ γ（（ z γ ）。
）。= f α β（（ fβ γ（（ z γ ）。
）。 + ε β ∂ （（ z α ）。b β γ （（ z γ ）。
{ { begin {aligned} f _ { alpha beta}（f _ { beta gamma}（z _ { gamma}）+ varepsilon b _ { beta gamma}（z _ { gamma}））= ＆f _ { alpha beta}（f _ { beta gamma}（z _ { gamma}））+ varepsilon { frac { partial f _ { alpha beta}} { partial z _ { alpha}}} （z _ { alpha}）b _ { beta _ { gamma}}（z _ { gamma}）\ end {aligned}}}
と ε bα β（（ fβ γ（（ z γ ）。+ ε
bβ γ（（ z γ ）。
）。= ε
bα β（（ fβ γ（（ z γ ）。
）。+ ε 2
∂ β ∂ （（ z α ）。b β γ （（ z γ ）。= ε bα β（（ fβ γ（（ z γ ）。 ）。 = ε bα β（（ z β ）。
{ { begin {aligned} varepsilon b _ { alpha beta}（f _ { beta gamma}（z _ { gamma}）+ varepsilon b _ { beta gamma}（z _ { gamma}） ）=＆ varepsilon b _ { alpha beta}（f _ { beta gamma}（z _ { gamma}））+ varepsilon ^ {2} { frac { partial b _ { alpha beta}} { partial z _ { alpha}}}（z _ { alpha}）b _ { beta _ { gamma}}（z _ { gamma}）\ =＆ varepsilon b _ { alpha beta}（f _ { beta gamma}（z _ { gamma}））\ =＆ varepsilon b _ { alpha beta}（z _ { beta}） end {aligned}}}
したがって、コサイクル条件はU α ×× スペック（（ C
[ ε ] ）。
{ U _ { alpha} times { text {Spec}}（ mathbb {C} [ varepsilon]）}
次の2つのルールですb α γ = ∂ f α β ∂ b0 b1
bβ γ + b α β
{ b _ { alpha gamma} = { frac { partial f _ { alpha beta}} { partial z _ { beta}}} b _ { beta gamma} + b _ { alpha beta} }
f α γ = f α β ∘ f f0 f1
{ f _ { alpha gamma} = f _ { alpha beta} circ f _ { beta gamma}}
ベクトル場のコサイクルへの変換
変形のコサイクルは、ベクトル場のコサイクルに簡単に変換できますθ =
{{θ α
β} ∈ C 1（（ U TX）。
{ theta = { theta _ { alpha beta} } in C ^ {1}（{ mathcal {U}}、T_ {X}）}
次のように：コサイクルが与えられたf 〜 α
β= f α
β+ ε b α β { { tilde {f}} _ { alpha beta} = f _ { alpha beta} + varepsilon b _ { alpha beta}}
ベクトル場を形成することができます θ αβ = ∑
I= 1 n b α β
I∂ ∂ z α I { theta _ { alpha beta} = sum _ {i = 1} ^ {n} b _ { alpha beta} ^ {i} { frac { partial} { partial z _ { alpha } ^ {i}}}}
これは1-コチェーンです。次に、の遷移マップのルールb α γ { b _ { alpha gamma}}
この1-コチェーンを1-コサイクルとして与えるので、クラス
[ θ] ∈ H 1（（ X TX）。
{ in H ^ {1}（X、T_ {X}）}
。
ベクトル場の使用
このマップの元の構造の1つは、微分幾何学と複素解析の設定でベクトル場を使用していました。上記の表記法を考えると、変形からコサイクル状態への遷移は、次元1の小さなベース上で透過的であるため、パラメーターは1つだけです。 t { t}
。次に、コサイクル条件は次のように読み取ることができますf I k α（（ z k t ）。= f I j α（（ fk j 1（（ z k t ）。 … fk j n（（ z k t ）。 t ）。 { f_ {ik} ^ { alpha}（z_ {k}、t）= f_ {ij} ^ { alpha}（f_ {kj} ^ {1}（z_ {k}、t）、 ldots 、f_ {kj} ^ {n}（z_ {k}、t）、t）}
次に、の導関数f I k α（（ z k t ）。
{ f_ {ik} ^ { alpha}（z_ {k}、t）}
に関して t { t}
前の式から次のように計算できます
∂ k α（（ z k t ）。∂ t = ∂ j α（（ z j t ）。∂ t + ∑ β =0 ∂ j α（（ z j t ）。
∂ k β（（ z k t ）。
⋅ k β（（ z k t ）。∂ t
{ { begin {aligned} { frac { partial f_ {ik} ^ { alpha}（z_ {k}、t）} { partial t}}＆= { frac { partial f_ {ij } ^ { alpha}（z_ {j}、t）} { partial t}} + sum _ { beta = 0} ^ {n} { frac { partial f_ {ij} ^ { alpha} （z_ {j}、t）} { partial f_ {jk} ^ { beta}（z_ {k}、t）}} cdot { frac { partial f_ {jk} ^ { beta}（z_ {k}、t）} { partial t}} \ end {aligned}}}
注意してくださいz j β = f j k β（（ z k t ）。
{ z_ {j} ^ { beta} = f_ {jk} ^ { beta}（z_ {k}、t）}
とz I α = f I j α（（ z j t ）。
{ z_ {i} ^ { alpha} = f_ {ij} ^ { alpha}（z_ {j}、t）}
、その後、導関数は次のようになります
∂ k α（（ z k t ）。∂ t = ∂ j α（（ z j t ）。∂ t + ∑ β =0 ∂
∂
⋅ k β（（ z k t ）。∂ t
{ { begin {aligned} { frac { partial f_ {ik} ^ { alpha}（z_ {k}、t）} { partial t}}＆= { frac { partial f_ {ij } ^ { alpha}（z_ {j}、t）} { partial t}} + sum _ { beta = 0} ^ {n} { frac { partial z_ {i} ^ { alpha} } { partial z_ {j} ^ { beta}}} cdot { frac { partial f_ {jk} ^ { beta}（z_ {k}、t）} { partial t}} \ end {aligned}}}
これらの偏導関数を係数とする前の正則ベクトル場の部分の座標を変更すると、次のように書くことができます。∂ ∂ z j β = ∑
α= 1 n ∂ z I α ∂ z =0 =1⋅ ∂ ∂ z I α
{ { frac { partial} { partial z_ {j} ^ { beta}}} = sum _ { alpha = 1} ^ {n} { frac { partial z_ {i} ^ { alpha}} { partial z_ {j} ^ { beta}}} cdot { frac { partial} { partial z_ {i} ^ { alpha}}}}
したがって、上記の方程式を次のベクトル場の方程式として記述できます。∑ α =0 ∂ k α（（ z k t ）。∂ t ∂ ∂ = ∑ α =0 ∂ j α（（ z j t ）。∂ t ∂ ∂ ∑ β =0 ∂ k β（（ z k t ）。∂ t ∂ ∂
{ { begin {aligned} sum _ { alpha = 0} ^ {n} { frac { partial f_ {ik} ^ { alpha}（z_ {k}、t）} { partial t }} { frac { partial} { partial z_ {i} ^ { alpha}}} =＆ sum _ { alpha = 0} ^ {n} { frac { partial f_ {ij} ^ { alpha}（z_ {j}、t）} { partial t}} { frac { partial} { partial z_ {i} ^ { alpha}}} \＆+ sum _ { beta = 0} ^ {n} { frac { partial f_ {jk} ^ { beta}（z_ {k}、t）} { partial t}} { frac { partial} { partial z_ {j} ^ { beta}}} \ end {aligned}}}
これをベクトル場として書き直す θ I k （（ t
）。= θ
I j （（ t
）。+ θ
j k （（ t ）。 { theta _ {ik}（t）= theta _ {ij}（t）+ theta _ {jk}（t）}
どこ θ I j （（ t
）。= ∂ f I j α（（ z j t ）。
∂t ∂ ∂ z I α
{ theta _ {ij}（t）= { frac { partial f_ {ij} ^ { alpha}（z_ {j}、t）} { partial t}} { frac { partial} { partial z_ {i} ^ { alpha}}}}
コサイクル条件を与えます。したがって、θ I j
{ theta _ {ij}}
に関連するクラスがあります
[ θI j] ∈ H 1（（ M T M）。
{ [ theta _ {ij}] in H ^ {1}（M、T_ {M}）}
元の変形からf 〜 I j
{ { tilde {f}} _ {ij}}
のf I j
{ f_ {ij}}
。
概型理論では
滑らかな品種の変形XX ↓ ↓ スペック（（ k ）。 スペック（（ k ）。 { { begin {matrix} X＆ to＆{ mathfrak {X}} \ downarrow && downarrow \ { text {Spec}}（k）＆ to＆{ text {Spec}} （k [ varepsilon]） end {matrix}}}
小平・スペンサークラスをコホモロジー的に構築します。この変形に関連するのは、短い正確なシーケンスです 0 π
スペック（（ k
[ ε ] ）。1 ΩX 1 Ω
X/ S1 0
{ 0 to pi ^ {*} Omega _ {{ text {Spec}}（k [ varepsilon]）} ^ {1} to Omega _ { mathfrak {X}} ^ {1 } to Omega _ {{ mathfrak {X}} / S} ^ {1} to 0}
（どこπ ：X
スペック（（ k
[ ε ] ）。
{ pi：{ mathfrak {X}} to { text {Spec}}（k [ varepsilon]）}
）によって打ち切られたとき OX { { mathcal {O}} _ { mathfrak {X}}}
-モジュール OX { { mathcal {O}} _ {X}}
短い正確なシーケンスを与える0 OX ΩX 1 ⊗ OX
Ω 1 0
{ 0 to { mathcal {O}} _ {X} to Omega _ { mathfrak {X}} ^ {1} otimes { mathcal {O}} _ {X} to Omega _ {X} ^ {1} to 0}
派生カテゴリを使用して、これはで要素を定義します R ホム（（ ΩX 1 OX [ +1 ]
）。 ≅ R
ホム（（ OX TX
[ +1 ]
）。 ≅ 内線 1 （（ OX TX ）。 ≅ 1（（ X TX ）。 { { begin {aligned} mathbf {R} { text {Hom}}（ Omega _ {X} ^ {1}、{ mathcal {O}} _ {X} ）＆ cong mathbf {R} { text {Hom}}（{ mathcal {O}} _ {X}、T_ {X} ）\＆ cong { text {Ext}} ^ { 1}（{ mathcal {O}} _ {X}、T_ {X}）\＆ cong H ^ {1}（X、T_ {X}） end {aligned}}}
小平・スペンサーマップの一般化。これは任意の滑らかなマップに一般化できることに注意してくださいf ：X Y
{ f：X to Y}
の Sch / S { { text {Sch}} / S}
コタンジェントシーケンスを使用して、H 1（（ X TX/ Y
⊗f ∗（（ ΩY / Z
1）。 ）。 { H ^ {1}（X、T_ {X / Y} otimes f ^ {*}（ Omega _ {Y / Z} ^ {1}））}
。
環状トポイの
小平・スペンサー写像の最も抽象的な構造の1つは、環状トポスの写像の構成に関連付けられたコタンジェント複合体に由来します。Xf Y Z
{ X xrightarrow {f} Y to Z}
次に、この構成に関連付けられているのは、区別された三角形ですf ∗ L YZ LX Z LX
/ Y [ +1 ]
{ f ^ {*} mathbf {L} _ {Y / Z} to mathbf {L} _ {X / Z} to mathbf {L} _ {X / Y} xrightarrow {}}
この境界マップは、小平・スペンサーマップ（またはコホモロジークラス、 K （（ X/ Y / Z ）。 { K（X / Y / Z）}
）。コンポジション内の2つのマップがスキームのスムーズなマップである場合、このクラスは次のクラスと一致します。H 1（（ X TX/ Y
⊗f ∗（（ ΩY / Z
1）。 ）。 { H ^ {1}（X、T_ {X / Y} otimes f ^ {*}（ Omega _ {Y / Z} ^ {1}））}
。
例
分析細菌を使って
分析細菌を検討する際の小平・スペンサーマップは、変形理論の接線コホモロジーとその多様な変形を使用して簡単に計算できます。たとえば、多項式の胚芽を考えると f （（ z
1 … z
n）。∈ C
{{ z 1 … z n }= H
{ f（z_ {1}、 ldots、z_ {n}） in mathbb {C} {z_ {1}、 ldots、z_ {n} } = H}
、その変形の空間はモジュールによって与えることができますT 1 = H
df ⋅ H n
{ T ^ {1} = { frac {H} {df cdot H ^ {n}}}}
たとえば、f = y 2 X 3
{ f = y ^ {2}-x ^ {3}}
次に、その多様な変形は次のように与えられます。T 1 = C
{{X y } （（ y X 2 ）。
{ T ^ {1} = { frac { mathbb {C} {x、y }} {（y、x ^ {2}）}}}
したがって、任意の変形はによって与えられます F （（ X y a 1 a 2）。= y 2 X3 a1 a2
{ F（x、y、a_ {1}、a_ {2}）= y ^ {2}-x ^ {3} + a_ {1} + a_ {2} x}
。次に、ベクトルの場合v ∈ T 0 （ C 2）。
{ v in T_ {0}（ mathbb {C} ^ {2}）}
、これは基礎を持っています∂ ∂ a
1 ∂∂ a 2
{ { frac { partial} { partial a_ {1}}}、{ frac { partial} { partial a_ {2}}}}
そこに地図K S ： v ↦ v（（ F ）。 { KS：v mapsto v（F）}
送信ϕ 1 ∂
∂ + ϕ 2 ∂
∂ ↦ ϕ 1 ∂ F
∂ + ϕ 2 ∂ F
∂ ϕ 1 + ϕ 2 ⋅ X { { begin {aligned} phi _ {1} { frac { partial} { partial a_ {1}}} + phi _ {2} { frac { partial} { partial a_ { 2}}} mapsto＆ phi _ {1} { frac { partial F} { partial a_ {1}}} + phi _ {2} { frac { partial F} { partial a_ { 2}}} \＆= phi _ {1} + phi _ {2} cdot x end {aligned}}}
コタンジェント複合体を伴うアフィン超曲面について
アフィン超曲面の場合 I ：X0 A n
スペック（（ k ）。 { i：X_ {0} hookrightarrow mathbb {A} ^ {n} to { text {Spec}}（k）}
フィールド上 k { k}
多項式で定義 f { f}
、関連する基本的な三角形がありますI ∗ L A n /
スペック（（ k
）。LX 0 /
スペック（（ k
）。LX 0 / A n
[ +1 ]
{ i ^ {*} mathbf {L} _ { mathbb {A} ^ {n} / { text {Spec}}（k）} to mathbf {L} _ {X_ {0} / { text {Spec}}（k）} to mathbf {L} _ {X_ {0} / mathbb {A} ^ {n}} xrightarrow {}}
次に、適用しますR H o m（（ − OX 0 ）。
{ mathbf {RHom}（-、{ mathcal {O}} _ {X_ {0}}）}
長く正確なシーケンスを与える RHom （（ 私∗ L A n /
スペック （ k ）。 OX 0 [ +1 ]
）。 RHom （（ LX0 /
スペック （ k ）。 OX 0 [ +1 ]
）。 RHom （（ LX0 / A n OX 0
[ +1 ]
）。 RHom （（ 私∗ L A n /
スペック （ k ）。 OX 0 ）。 RHom （（ LX0 /
スペック （ k ）。 OX 0 ）。 RHom （（ LX0 / A n OX 0 ）。 { { begin {aligned}＆{ textbf {RHom}}（i ^ {*} mathbf {L} _ { mathbb {A} ^ {n} / { text {Spec}}（k） }、{ mathcal {O}} _ {X_ {0}} ） leftarrow { textbf {RHom}}（ mathbf {L} _ {X_ {0} / { text {Spec}} （k）}、{ mathcal {O}} _ {X_ {0}} ） leftarrow { textbf {RHom}}（ mathbf {L} _ {X_ {0} / mathbb {A } ^ {n}}、{ mathcal {O}} _ {X_ {0}} ）\ leftarrow＆{ textbf {RHom}}（i ^ {*} mathbf {L} _ { mathbb {A} ^ {n} / { text {Spec}}（k）}、{ mathcal {O}} _ {X_ {0}}） leftarrow { textbf {RHom}}（ mathbf {L} _ {X_ {0} / { text {Spec}}（k）}、{ mathcal {O}} _ {X_ {0}}） leftarrow { textbf {RHom}}（ mathbf { L} _ {X_ {0} / mathbb {A} ^ {n}}、{ mathcal {O}} _ {X_ {0}}） end {aligned}}}
同型があることを思い出してください RHom （（ LX0 /
スペック（（ k
）。 OX 0 [ +1 ]
）。 ≅ 内線 1 （（ LX0 /
スペック（（ k
）。 OX
0）。
{ { textbf {RHom}}（ mathbf {L} _ {X_ {0} / { text {Spec}}（k）}、{ mathcal {O}} _ {X_ {0}} ） cong { text {Ext}} ^ {1}（ mathbf {L} _ {X_ {0} / { text {Spec}}（k）}、{ mathcal {O}} _ {X_ {0}}）}
導来圏の一般理論から、extグループは一次変形を分類します。次に、一連の削減を通じて、このグループを計算できます。まず、L /
スペック（（ k ）。 ≅Ω A
n / スペック（（ k
）。 1 { mathbf {L} _ { mathbb {A} ^ {n} / { text {Spec}}（k）} cong Omega _ { mathbb {A} ^ {n} / { text {仕様}}（k）} ^ {1}}
無料のモジュールです、 RHom （（ 私∗ L /
スペック（（ k
）。 OX 0 [ +1 ]
）。= 0
{ { textbf {RHom}}（i ^ {*} mathbf {L} _ { mathbb {A} ^ {n} / { text {Spec}}（k）}、{ mathcal {O }} _ {X_ {0}} ）= 0}
。また、 LX 0/ A
n≅ I / I 2
[ +1 ]
{ mathbf {L} _ {X_ {0} / mathbb {A} ^ {n}} cong { mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2} }
、同型写像があります RHom （（ LX0 / A n OX 0
[ +1 ]
）。≅ RHom（（ 私/ I 2
[ + 1 ] OX 0 [ +1 ] ）。 ≅ RHom （（ 私/ I 2 OX 0
）。 ≅ 内線 0 （（ 私/ I 2 OX 0
）。 ≅ ホム（（ 私/ I 2 OX 0 ）。 ≅OX 0
{ { begin {aligned} { textbf {RHom}}（ mathbf {L} _ {X_ {0} / mathbb {A} ^ {n}}、{ mathcal {O}} _ {X_ {0}} ） cong＆{ textbf {RHom}}（{ mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2} 、{ mathcal {O} } _ {X_ {0}} ）\ cong＆{ textbf {RHom}}（{ mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2}、{ mathcal { O}} _ {X_ {0}}）\ cong＆{ text {Ext}} ^ {0}（{ mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2}、{ mathcal {O}} _ {X_ {0}}）\ cong＆{ text {Hom}}（{ mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2}、{ mathcal { O}} _ {X_ {0}}）\ cong＆{ mathcal {O}} _ {X_ {0}} end {aligned}}}
最後の同型は同型から来ますI / I2 I ⊗ O An OX 0
{ { mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2} cong { mathcal {I}} otimes _ {{ mathcal {O}} _ { mathbb {A} ^ {n}}} { mathcal {O}} _ {X_ {0}}}
、および射
ホムOX 0（（ 私 ⊗ O A nOX 0 OX
0）。
{ { text {Hom}} _ {{ mathcal {O}} _ {X_ {0}}}（{ mathcal {I}} otimes _ {{ mathcal {O}} _ { mathbb {A} ^ {n}}} { mathcal {O}} _ {X_ {0}}、{ mathcal {O}} _ {X_ {0}}）}
送信
[ gf ] ↦ g ′
g + （（ f ）。 { mapsto g’g +（f）}
望ましい同型を与える。コタンジェントシーケンスから（（ f ）。 （（ f
）。 2 [ g] ↦ d g ⊗ 1 Ω
An 1 ⊗ OX 0 ΩX 0 /
スペック（（ k
）。1 0
{ { frac {（f）} {（f）^ {2}}} xrightarrow { mapsto dg otimes 1} Omega _ { mathbb {A} ^ {n}} ^ { 1} otimes { mathcal {O}} _ {X_ {0}} to Omega _ {X_ {0} / { text {Spec}}（k）} ^ {1} to 0}
（基本三角形の切り捨てられたバージョンです）長い正確なシーケンスの接続マップは、
[ g] ↦ d g ⊗ 1
{ mapsto dg otimes 1}
、同型写像を与える
内線 1 （（ LX0 / k OX
0）。≅ k [X
1 … Xn ]（（ f ∂f ∂ X 1 … ∂ f ∂ ）。 { { text {Ext}} ^ {1}（ mathbf {L} _ {X_ {0} / k}、{ mathcal {O}} _ {X_ {0}}） cong { frac {k [x_ {1}、 ldots、x_ {n}]} { left（f、{ frac { partial f} { partial x_ {1}}}、 ldots、{ frac { partial f} { partial x_ {n}}} right）}}}
この計算は、コタンジェントシーケンスと計算を使用して実行できることに注意してください
内線 1 （（ ΩX
0 1 OX 0 ）。 { { text {Ext}} ^ {1}（ Omega _ {X_ {0}} ^ {1}、{ mathcal {O}} _ {X_ {0}}）}
。次に、小平・スペンサーマップは変形を送信します k [ ε] [X
1 … Xn ]
f+ ε g
{ { frac {k [ varepsilon] [x_ {1}、 ldots、x_ {n}]} {f + varepsilon g}}}
要素にg ∈
内線 1 （（ LX
0/ k OX 0 ）。
{ g in { text {Ext}} ^ {1}（ mathbf {L} _ {X_ {0} / k}、{ mathcal {O}} _ {X_ {0}}）}
。
も参照してください
変形理論
コタンジェントコンプレックス
シュレッシンガーの定理
代数的な曲線ファミリーの特徴的な線形システム
ガウス・マニン接続
導来圏
Extファンクター
参考文献
^ 小平（2005）。複素多様体と複素構造の変形。数学の古典。pp。182–184、188–189。 _ 土井：10.1007/b138372。ISBN 978-3-540-22614-7。
^ Huybrechts 2005、6.2.6。
^ 複素多様体と複素空間の主な違いは、後者は冪零を持つことができるということです。
^ Arbarello; コルナルバ; グリフィス（2011）。代数曲線の幾何学II。Grundlehren der mathematischen Wissenschaften、Arbarello、E。et al：代数曲線I、II。スプリンガー。pp。172–174。ISBN 9783540426882。
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Huybrechts、ダニエル（2005）。複素幾何学：はじめに。スプリンガー。ISBN 3-540-21290-6。
小平邦彦（1986）、複雑な多様体と複雑な構造の変形、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 、vol。283、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-96188-0、MR 0815922
変形をjacobianリングに関連付けるMathoverflowの投稿。”