Kodaira_vanishing_theorem
数学では、小平消滅定理は複素多様体理論と複素代数幾何学の基本的な結果であり、インデックスq >0の層係数コホモロジーグループが自動的にゼロになる一般的な条件を記述しています。インデックスq =0のグループの意味は、通常、その次元（独立したグローバルセクションの数）が、ヒルツェブルフ-リーマン-ロックの定理を使用して計算できる正則オイラー標数と一致することです。
コンテンツ
1 複雑な分析ケース
2 代数の場合
3 結果とアプリケーション
4 も参照してください
5 参考文献
複雑な分析ケース
小平邦彦の結果の記述は、 Mが複素次元nのコンパクトなケーラー多様体である場合、Lは正であるM上の任意の正則直線束であり、 KMは標準束であるということです。H q（（ M KM ⊗ L ）。= 0
{ H ^ {q}（M、K_ {M} otimes L）= 0}
q >0の場合。ここK M
⊗ L { K_ {M} otimes L}
直線束のテンソル積を表します。セール双対性によって、H q（（ M L ⊗ − ）。 { H ^ {q}（M、L ^ { otimes -1}）}
q ⊗L ≅ Ω n （ L ）。
{ K_ {M} otimes L cong Omega ^ {n}（L）}
、ここで、Ωn（L ）は、 Lの値を持つM上の正則（n、0）形式の束を示し、 Lの値を持つ正則（r、0）形式の束であるΩr（L）に置き換えられます。 。次に、コホモロジー群H q（M、Ωr （L）） は、 q + r > nのときはいつでも消滅します。
代数の場合
小平消滅定理は、ケーラー計量などの超越的手法を参照せずに、代数幾何学の言語で定式化できます。直線束Lの陽性は、対応する可逆層が十分であることを意味します（つまり、テンソル力によって射影が埋め込まれます）。代数的な小平–秋月–中野の消滅定理は次のとおりです。 kが 標数ゼロ
のフィールドであり
、 Xが
次元
dの滑らかで
射影的
なkスキームであり、
LがX上の十分な可逆層である
場合 H q （（ X L⊗ X / ）。= 0
為に p + q >> d と
{ H ^ {q}（X、L otimes Omega _ {X / k} ^ {p}）= 0 { text {for}} p + q> d、{ text {and}}}
d，{text{ and}}}””>H q（（ X L⊗ − 1 ⊗ X / ）。= 0
為に p + q d{ H ^ {q}（X、L ^ { otimes -1} otimes Omega _ {X / k} ^ {p}）= 0 { text {for}} p + q
ここで、Ωp
は、相対（代数）
微分形式の束を示し
ます（ケーラー微分を参照）。
Raynaud（1978）は、この結果が標数p > 0のフィールドを常に保持するとは限らず、特にレノー曲面では失敗することを示しました。その後、Lauritzen＆Rao（1997）は、非還元スタビライザーを備えた適切な等質空間に触発された基本的な反例を示しました。
しかし、1987年まで、標数ゼロの唯一の既知の証明は、複雑な分析的証明とGAGA比較定理に基づいていました。しかし、1987年にPierreDeligneとLucIllusieは、（ Deligne＆Illusie 1987 ）で消滅する定理の純粋な代数的証明を与えました。彼らの証明は、代数的ド・ラームコホモロジーのホッジ・ド・ラームスペクトルシーケンスが次数1で縮退することを示すことに基づいています。これは、対応するより具体的な結果を特性p >0から持ち上げることによって示されます。しかし、完全な結果を提供するために持ち上げることができます。
結果とアプリケーション
歴史的に、小平埋め込み定理は、消滅定理の助けを借りて導き出されました。セール双対性を適用すると、曲線と表面のさまざまな層係数コホモロジーグループ（通常は標準束に関連する）の消失が、エンリケスコダイラ分類などの複素多様体の分類に役立ちます。
も参照してください
Kawamata–Viehweg消失定理
マンフォードの消滅定理
ラマヌジャンの消滅定理
参考文献
ピエール・ルネ; Illusie、Luc（1987）、””Relèvementsmodulop2etdécompositionducomplexedeRham “、Inventiones Mathematicae、89（2）：247–270、Bibcode ： 1987InMat..89..247D 、 doi ： 10.1007 / BF01389078、S2CID 119635574
エスノー、エレーヌ; Viehweg、Eckart（1992）、消失する定理に関する講義 （PDF）、DMVセミナー、vol。20、BirkhäuserVerlag、ISBN 978-3-7643-2822-1、MR 1193913
フィリップ・グリフィスとジョセフ・ハリス、代数的幾何学の原理
小平邦彦（1953）、「解析的スタックの理論における微分幾何学的方法について」、Proc。国立 Acad。科学 USA、39（12）：1268–1273、Bibcode：1953PNAS … 39.1268K、doi：10.1073 / pnas.39.12.1268、PMC 1063947、PMID 16589409
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