Latin_rectangle
組み合わせ数学では、ラテン長方形はr × n 行列（r≤n）であり、 n 個の記号（通常は1、2、3、…、 nまたは0、1、…、n − 1 ）を使用します。そのエントリとして、どの行または列にも複数回出現する番号はありません。
n × nラテン方格はラテン方格と呼ばれます。
3×5ラテン長方形の例は次のとおりです。0 3 00 01 02 03 2 1
コンテンツ
1 正規化
2 列挙
3 拡張性
4 セミラテン方格
5 アプリケーション
6 も参照してください
7 ノート
8 参考文献
9 参考文献
10 外部リンク
正規化
ラテン語の長方形は、最初の行が自然な順序であり、最初の列も自然な順序である場合、正規化（または縮小）と呼ばれます。
上記の例は正規化され
列挙
L（k、n）が正規化されたk × nラテン長方形の数を表すとします。その場合、 k × nラテン長方形の総数はです。n ！（（ n− 1
）。！ L（（ k n ）。 （（ n− k ）。 ！ { { frac {n！（n-1）！L（k、n）} {（nk）！}}。}
2× nラテン長方形は、不動点のない順列に対応します。このような順列は、不一致順列と呼ばれています。与えられた順列と一致しない順列の列挙は、有名なproblèmedesrencontresです。2つの順列と一致しない順列の列挙（一方は他方の単純な循環シフト）は、メナージュの問題の削減として知られています。
小さいサイズの正規化されたラテン長方形の数L（k、n）は、 で与えられます。
k n 1 0 1 2 3
1 2 1 3 0 1 2 3
46 064 5792 673792 4 6 552 293216 60 61 62 631270400 7206658048 6 408 6942080 35390189568 7 6942080 35281401856 12704000 12704001
k = 1の場合、つまり行は1つだけです。ラテン語の長方形は正規化されているため、この行を選択することはできません。この表は、L（n − 1、n）= L（n、n）であることも示しています。これは、1つの行だけが欠落している場合、各列の欠落しているエントリはラテン方格のプロパティから判断でき、長方形は次のようになるためです。ラテン方格に独自に拡張されました。
2× nラテン長方形は、不動点のない順列に対応します。このような順列は、不一致順列と呼ばれています。与えられた順列と一致しない順列の列挙は、有名なproblèmedesrencontresです。2つの順列と一致しない順列の列挙（一方は他方の単純な循環シフト）は、メナージュの問題の削減として知られています。 拡張性
1行欠けているラテン方格を上記のラテン方格に拡張できるという特性を大幅に強化することができます。つまり、r < nの場合、ホールの定理を使用して、 n −r 行をr × nラテン方格に追加してラテン方格を形成することができます。
セミラテン方格
半ラテン方格は、不完全なラテン方格のもう1つのタイプです。半ラテン方格はn × n配列Lであり、一部の位置は占有されておらず、他の位置は整数{0、1、…、n − 1 }のいずれかで占有されています。たとえば、整数の場合kはLで発生し、次にn回発生し、2つのkが同じ行または列に属しLにm個の異なる整数が存在する場合、Lのインデックスはmになります。
たとえば、次数5およびインデックス3の半ラテン方格は次のとおりです。1 2 0 10 11 12 13
次数nおよびインデックスmの半ラテン方格にはnmの塗りつぶされた位置が疑問が生じます、半ラテン方格をラテン方格に完成させることができますか？やや意外なことに、答えは常にです。
Lを次数nおよびインデックスmの半ラテン方格とします。ここでm
場合に限り a k j =
I { b_ {ij} = k { text {if and only if}} a_ {kj}=i。}
たとえば、3×5ラテン長方形0 3 00 01 02 03
次数5およびインデックス3のこの半ラテン方格に相当します。0 2 0 00 01 02 03
たとえば、ラテン方格では10 = 3なので、半ラテン方格ではb 30 =1です。
アプリケーション
統計では、ラテン語の長方形は実験計画法に応用できます。
も参照してください
組み合わせデザイン
レインボーマッチング
ノート
^ Colbourn＆Dinitz 2007、p。141 ^ Brualdi 2010、p。385 ^ Denes＆Keedwell 1974、p。150harvnbエラー：ターゲットなし：CITEREFDenesKeedwell1974（ヘルプ）
^ 一部の著者、特にJ. Riordanは、最初の列を順番に並べる必要はありません。これは、以下で説明するいくつかの式の有効性に影響します。
^ Colbourn＆Dinitz 2007、p。142 ^ Brualdi 2010、p。386 ^ Brualdi 2010、p。387
^ Brualdi 2010、p。388
参考文献
Brualdi、Richard A.（2010）、Introductory Combinatorics（5th ed。）、Prentice Hall、ISBN 978-0-13-602040-0
コルボーン、チャールズJ .; Dinitz、Jeffrey H.（2007）、Handbook of Combinatorial Designs（2nd ed。）、Boca Raton：Chapman＆Hall / CRC、ISBN 978-1-58488-506-1
Dénes、J .; キードウェル、AD（1974）、ラテンスクエアとその応用、ニューヨーク-ロンドン：アカデミックプレス、p。547、ISBN 0-12-209350-X、MR 0351850
参考文献
Mirsky、L.（1971）、横断理論：組み合わせ数学のいくつかの側面の説明、アカデミックプレス、ISBN 0-12-498550-5、OCLC 816921720
リオーダン、ジョン（2002）、組み合わせ分析入門、ドーバー、ISBN 978-0-486-42536-8
外部リンク
Weisstein、Eric W。、「Latin Rectangle」、mathworld.wolfram.com 、2020年7月12日取得”