Lubin%E2%80%93Tate_formal_group_law
数学では、Lubin-Tate 形式群法則はLubinとTate ( 1965 )によって導入された形式群法則であり、楕円関数の複素乗算の古典的な理論の局所体部分を分離します。特に、局所体の完全分岐アーベル拡張を構築するために使用できます。これは、形式群の (形式的な)自己同型写像を考慮して、追加の自己同型写像を持つ楕円曲線を使用して大域体のアーベル拡張を与える方法をエミュレートすることによって行われます。
コンテンツ
1 正式なグループの定義
2 例
3 枝分かれした拡張機能の生成
4 安定ホモトピー理論との関連
5 参考文献
5.1 ノート 5.2 ソース
6 外部リンク
正式なグループの定義
Z pをp進整数の環とする。Lubin–Tate 形式群法則は、 e ( x ) = px + x pがFの自己同型写像であるような一意の(1 次元) 形式群法則Fです。つまり、 e ( ふ(X y) ) = ふ( e (X ) e( y) ) .
{ e(F(x，y))=F(e(x)，e(y)). }
より一般的には、eの選択は、
e (x ) =
px + 高次項および
e (x ) = x p mod
p .
これらの条件を満足するeのさまざまな選択について、そのような群の法則はすべて厳密に同形です。これらの条件を選択して、最大イデアルを法としてフロベニウスに還元し、原点での導関数が素元になるようにします。
Z pの各元aに対して、 f ( x ) = ax + 高次項となる Lubin-Tate 形式群法則の一意の内部同型写像fがこれにより、ルビン・テート形式群法則に対する環Z pの作用が得られる。
Z pを有限残余クラス体を持つ任意の完全な離散評価環に置き換えた同様の構成があり、ここでpは均一化の選択に置き換えられます。
より一般的には、eの選択は、 例
ここでは、クラス体理論で非常に重要なフロベニウス元の正式な群等価を概説し、相反写像のイメージとして最大の非分枝拡大を生成します。
この例では、ドメインが余ドメインである形式群準同型fである、形式群の自己同型の概念が必要です。形式群Fから形式群Gへの形式群準同型写像は、形式群と同じ環上のベキ級数であり、ゼロ定数項を持ち、次のようになります。 へ ( ふ(X よ) ) = G( へ (X ) へ( よ) )
{ f(F(X，Y))=G(f(X)，f(Y))}
局所体の整数環に係数を持つ形式群F(X，Y)を考えます (たとえば、Z p )。XとYを一意の最大イデアルに入れると、収束べき級数が得られます。この場合、F(X，Y) = X + F Yを定義すると、真の群法則が得られます。たとえば、F(X，Y)=X+Yの場合、これは通常の加算です。これはF(X，Y)=X+Y+XYの場合と同形であり、素イデアルの元に 1 を加えたものとして記述できる元の集合に乗算が後者の場合、f(S) = ( 1 + S ) p -1 は F の自己同型写像であり、同型写像は f をフロベニウス元と同一視します。
枝分かれした拡張機能の生成
Lubin–Tate 理論は明示的な局所類体理論において重要です。任意のアーベル拡張の枝分かれしていない部分は簡単に構築できます。これは、累乗級数の根と見なすことができるもので構成された整数の環上でモジュールのファミリ (自然数でインデックス付け) を定義することによって機能します。それ自体で繰り返し構成されます。そのようなモジュールを元のフィールドに隣接させることによって形成されるすべてのフィールドの複合体は、枝分かれした部分を提供します。
局所体Kのルビン・テート拡張は、ルビン・テート群のp分割点を考慮することによって得られるKのアーベル拡張です。gがアイゼンシュタイン多項式f ( t ) = t g ( t ) であり、Fが Lubin-Tate 形式群である場合、θ nがgf n -1 ( t ) = g ( f ( f (⋯( f ( t ))⋯))))。このとき、K (θ n ) は、 U /1+ p nに同型のガロア群をもつKのアーベル拡張です。ここで、UはKの整数環の単位群であり、pは最大イデアルです。
安定ホモトピー理論との関連
Lubin と Tate は、このような形式群の変形理論を研究しました。理論のその後の適用は、安定したホモトピー理論の分野で行われ、特定の異常なコホモロジー理論の構築が、特定の素数pの構築に関連付けられました。形式群の一般的な機構の一部として、スペクトルを持つコホモロジー理論が Lubin-Tate 形式群に設定されます。これは、Morava E 理論または完全なJohnson-Wilson 理論の名前でも呼ばれます。
参考文献編集
ノート
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ソース
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外部リンク
Lurie， J. （2010)、Lubin–Tate 理論 (PDF)”