m 派生フィルター

M-derived_filter
またはセクションの一部は、コンデンサとインダクタの複雑なインピーダンス表現に関する読者の知識と、信号の周波数ドメイン表現に関する知識に依存しています。
m派生フィルターまたはm型フィルターは、イメージ法を使用して設計された電子フィルターの一種です。それらは、1920 年代初頭にオットー ゾーベルによって発明されました。このフィルタ タイプは、もともと電話多重化で使用することを目的としており、既存の定数 k タイプ フィルタを改良したものです。対処された主な問題は、フィルタと終端インピーダンスの整合を改善する必要があることでした。一般に、イメージ法によって設計されたすべてのフィルターは完全に一致するわけではありませんが、m 型フィルターは、パラメーター m を適切に選択することで大幅に改善されます。m 型フィルタ セクションには、通過帯域のカットオフ周波数から阻止帯域のすぐ内側の減衰極への急速な遷移があるという点で、さらなる利点がこれらの利点にもかかわらず、m 型フィルターには欠点が減衰の極を超える周波数では、応答が再び上昇し始め、m 型では阻止帯域の除去が不十分になります。このため、m 型セクションを使用して設計されたフィルターは、多くの場合、k 型セクションと m 型セクションが混在し、両方のタイプから最適なパフォーマンスが得られるように、さまざまな点で異なる m 値を持つ複合フィルターとして設計されます。
中点インピーダンス
パラメータmにこの記号が付けられたのは、Zobel がこの主題の最初の扱いで使用した概念である中点インピーダンスとの関連性によるものです。中点インピーダンスは次のように発生します。と最新のほとんどの教科書では、開始点は単純な半分のセクションであり、これからより複雑なフィルターが構築されます。ゾーベルと彼の同時代の人々の扱いでは、出発点は常に無限のはしごネットワークです。「中間シリーズ」セクションは、直列インピーダンス Z の「中間をカットする」ことによって得られ、T セクションになります。イメージ インピーダンス Z iTは、中間シリーズ イメージ インピーダンスと呼ばれます。同様に、「中間シャント」セクションは、シャント アドミタンス Y の中間を切断することによって得られ、中間シャント イメージ インピーダンスをもつ Π セクションになります。「シリーズ m 派生セクション」は、「ミッド シリーズ派生ラダー型セクション」の省略形です。これにより、シリーズという言葉は、T セクションの端が (半分) 直列コンポーネントであり、追加のコンポーネントがシャント要素と直列になっているため、時々考えられるものではないことを明確に示しています。同様に、「シャント m 派生セクション」は、「ミッドシャント派生ラダー型セクション」の省略形です。
コンテンツ
1 バックグラウンド
2 導出
2.1 動作周波数 2.2 イメージインピーダンス
2.2.1 シリーズ セクション
2.2.2 シャントセクション
2.3 伝送パラメータ 2.4 プロトタイプ変換
3 カスケード セクション
4 こちらもご覧ください
5 参考文献
6 参考文献

バックグラウンド
Zobel は 1920 年にインピーダンス整合ネットワークの特許を取得しました。これは本質的に、現在 m 型フィルターと呼ばれるもののトポロジーを使用していましたが、Zobel はそれらをそのように命名したり、イメージ法で分析したりしませんでした。これは、ジョージ・キャンベルが 1922 年に一定の k 型の設計を発表する前の日付であり、これに基づいて m 型フィルターが作成されました。 Zobel は 1923 年に m 型フィルターの画像解析理論を発表しました。かつて人気があった M 型フィルターと画像パラメーターで設計されたフィルターは、現在ではほとんど設計されておらず、より高度なネットワーク合成法に取って代わられています。

導出

m 派生系列の一般的なフィルターの半分のセクション

m 派生シャント ローパス フィルターの半分のセクション。C = L R0 2
{ C={frac {L}{R_{0}^{2}}}}

すべてのイメージ インピーダンス フィルターと同様に、m 派生フィルターの構成要素は “”L”” ネットワークであり、半セクションと呼ばれ、直列インピーダンス Zとシャントアドミタンス Yで構成されます。m 派生フィルターは、定数 k filterの導関数です。設計の開始点は、定数 k プロトタイプから導出されたZとYの値であり、次の式で与えられます。k 2 = Z よ
{ k^{2}={frac {Z}{Y}}}

ここで、kはフィルターの公称インピーダンス、またはR 0です。設計者は、 ZとYに任意の定数m (0 < m < 1) を掛けます。m 派生セクションには 2 つの異なる種類がシリーズとシャント。m から派生した直列の半分のセクションを取得するために、設計者は、イメージ インピーダンスZiTを元の定数 k セクションのイメージ インピーダンスと同じにするために 1/mY に追加する必要があるインピーダンスを決定します。イメージ インピーダンスの一般式から、必要な追加インピーダンスは次のように示されます。1 −
メートル 2 メートルZ .
{ {frac {1-m^{2}}{m}}Z.}

m 派生シャントの半分のセクションを取得するには、アドミタンスを 1/mZ に追加して、イメージ インピーダンス ZiΠを元の半分のセクションのイメージ インピーダンスと同じにします。必要な追加のアドミタンスはであることが示されます。1 −
メートル 2 メートルよ .
{ {frac {1-m^{2}}{m}}Y.}

これらの回路の一般的な構成は、ローパスセクションの具体例とともに右の図に示されています。
この設計の結果、m から派生した半分のセクションは、片側のみで k タイプのセクションと一致します。iまた、m のある値の m 型セクションは、k 型の Z を提供する側を除いて、m の別の値の別の m 型セクションと一致しません。

動作周波数
示されているローパスの半分のセクションでは、m 型のカットオフ周波数は k 型と同じであり、次の式で与えられます。 ω c=1 C .
{ omega _{c}={frac {1}{sqrt {LC}}}.}

減衰の極は次の場所で発生します。 ω ∞= ω c 1 −
メートル2 .
{ omega _{infty }={frac {omega _{c}}{sqrt {1-m^{2}}}}.}

このことから、m の値が小さいほど生成されることが明らかです。ω ∞
{ omega _{infty }}

カットオフ周波数に近いω c
{ omega_{c}，!}

したがって、カットオフがよりシャープになります。このカットオフにもかかわらず、m 型の不要な阻止帯域応答をカットオフ周波数に近づけ、後続のセクションでこれをフィルタリングすることをより困難にします。選択される m の値は、通常、これらの相反する要件間の妥協点です。また、インダクタの固有抵抗のために、m をどれだけ小さくできるかにも実際的な制限がこれにより、減衰の極が浅くなり (つまり、真に無限の極ではなくなり)、カットオフの勾配が緩やかになります。この効果は、ω ∞
{ omega _{infty }}

に近づけられるω c
{ omega_{c}，!}

、約 0.2 以下の m で応答の改善がなくなります。

イメージインピーダンス
参照:
イメージインピーダンス § 導出

m から導出されたプロトタイプ シャント ローパス フィルター Z
iTmは、さまざまなmの値に対するイメージ インピーダンスです
。カットオフ周波数以下の値は、わかりやすくするためにのみ表示されています。
以下のイメージ インピーダンスの式はすべて、ローパス プロトタイプ セクションを参照しています。それらは公称インピーダンスR 0 = 1 にスケーリングされ、これらの式の周波数はすべてカットオフ周波数 ω c = 1 にスケーリングされます。

シリーズ セクション
直列セクションのイメージ インピーダンスはで与えられます。Z I T = 1 − ω 2
{ Z_{iT}={sqrt {1-オメガ^{2}}}}

定数 k セクションと同じです。Z I Π
メートル= 1 −( ω/ ω ∞ )2 − ω
2 . { Z_{iPi m}={frac {1-left(omega /omega _{infty}right)^{2}}{sqrt {1-omega ^{2} }}}.}

シャントセクション
シャント セクションのイメージ インピーダンスはで与えられます。Z I Π=1 − ω 2 { Z_{iPi}={frac {1}{sqrt {1-omega ^{2}}}}}

定数 k セクションと同じです。Z I T
メートル= 1 −
ω − ( ω/ ω ) 2 { Z_{iTm}={frac {sqrt {1-omega ^{2}}}{1-left(omega /omega _{infty}right)^{2}}} }

k タイプ セクションと同様に、mタイプ ローパス セクションのイメージ インピーダンスは、カットオフ周波数より下では純粋に実数であり、それより上では純粋に虚数です。グラフから、パスバンドでは、一定の純粋な抵抗終端に最も近いインピーダンス整合が約m = 0.6 で発生することがわかります。

伝送パラメータ
参照:
像インピーダンス § 伝達関数

1 つの半セクションの m 派生ローパス フィルター伝達関数
一般に m 派生セクションの場合、半セクションの伝送パラメータはで与えられます。γ =
シン− 1
メートルZ k 2 +( 1 − メートル2 ) Z 2
{ gamma =sinh ^{-1}{frac {mZ}{sqrt {k^{2}+(1-m^{2})Z^{2}}}}}

n 個の半セクションに対して γ n= n γ
{ gamma _{n}=ngamma ，!}

ローパス L セクションの特定の例では、伝送パラメーターは 3 つの周波数帯域で異なる方法で解決されます。
為に0 < ω < ω c
{ 0
伝送は無損失です:γ = α + I β = 0 + γ0
コス− 1( 1− 2
メートル 2 ( ω
c ω )2 ( ω
c ω ∞) 2 )
{ gamma =alpha +ibeta =0+i{frac {1}{2}}cos ^{-1}left(1-{frac {2m^{2}}{ left({frac {omega _{c}}{omega }}right)^{2}-left({frac {omega _{c}}{omega _{infty }}} right)^{2}}}right)}

為にω c
<ω < ω ∞
{ omega _{c}
伝送パラメータはγ = α + I β =1 2 コッシュ− 1 ( 2 メートル 2 ( ω
c ω )2 ( ω
c ω ∞) 2 − 1 )+I π 2
{ gamma =alpha +ibeta ={frac {1}{2}}cosh ^{-1}left({frac {2m^{2}}{left({frac {omega _{c}}{omega }}right)^{2}-left({frac {omega _{c}}{omega _{infty }}}right)^{ 2}}}-1右)+i{frac {pi}{2}}}

為にω ∞ < ω < ∞
{ omega _{infty}
伝送パラメータはγ = α + I β =1 2 コッシュ− 1( 1− 2
メートル 2 ( ω
c ω )2 ( ω
c ω ∞) 2 )+I 0
{ gamma =alpha +ibeta ={frac {1}{2}}cosh ^{-1}left(1-{frac {2m^{2}}{left({ frac {omega _{c}}{omega }}right)^{2}-left({frac {omega _{c}}{omega _{infty }}}right) ^{2}}}右)+i0}

プロトタイプ変換
イメージ インピーダンス、減衰、および位相変化のプロットは、ローパスプロトタイプ フィルターセクションのプロットです。プロトタイプのカットオフ周波数は ω c = 1 rad/s で、公称インピーダンスは R 0 = 1 Ω です。これは、L = 1 ヘンリー、C = 1 ファラッドのフィルター ハーフセクションによって生成されます。このプロトタイプは、インピーダンスをスケーリングし、周波数を目的の値にスケーリングできます。ローパス プロトタイプは、適切な周波数変換を適用することにより、ハイパス、バンドパス、またはバンドストップ タイプに変換することもできます。

カスケード セクション
複合フィルターを形成するために、いくつかの L 個の半セクションをカスケード接続することができます。同様のインピーダンスは、これらの組み合わせで常に同様に面している必要がしたがって、2 つの同一の L ハーフセクションで形成できる 2 つの回路がZ がZにiT面している場合iT、セクションはセクションと呼ばれΠます。iΠZ が Z に面している場合iΠ、形成されるセクションは T セクションです。これらのいずれかにハーフセクションをさらに追加すると、直列またはシャント要素で開始および終了するラダーネットワークが形成されます。
イメージ法によって予測されるフィルタの特性は、セクションがイメージ インピーダンスで終端されている場合にのみ正確であることに注意してこれは通常、固定抵抗で終端されている両端のセクションには当てはまりません。セクションがフィルタの端から離れているほど、中間セクションによって終端インピーダンスの影響がマスクされるため、予測がより正確になります。フィルタの両端に m = 0.6 の半分のセクションを設けるのが通常です。これは、この値がi通過帯域で最も平坦な Z を与えるため、抵抗終端に最もよく一致するためです。
画像フィルター セクション
アンバランス
L ハーフセクション
Tセクション
Π部



ラダーネットワーク

バランスの取れた
C 半断面
Hセクション
ボックスセクション



ラダーネットワーク

X セクション (中間 T 派生)
Xセクション（ミッドΠ派生）


注意
教科書や設計図は通常、不平衡実装を示していますが、電気通信では、平衡回線で使用する場合、設計を平衡実装に変換する必要があることがよく

こちらもご覧ください
イメージインピーダンス
定数 k フィルター
一般的な m n型の画像フィルター
mm’型フィルター
合成画像フィルター

参考文献
^ Belevitch、V、「回路理論の歴史の要約」、 IRE の議事録、 vol 50、Iss 5、pp.849、1962 年 5 月。
^ Bray， J， Innovation and the Communications Revolution ， p.62， Institute of Electrical Engineers， 2002 ISBN  0-85296-218-5 .
^ Zobel， pp. 16–19.
^ Zobel， OJ， Electrical wave filters ， US Patent 1，850，146 ， pp. 2–3， 1930年11月25日出願， 1932年3月22日発行.
^ Zobel， OJ， Terminating network for filters、米国特許 1，557，229、1920年 4 月 30 日出願、1925 年 10 月 13 日発行。
^ Campbell， GA， “Physical Theory of the Electric Wave-Filter”， Bell System Tech J ， November 1922， vol 1， no 2， pp. 1–32.
^ Zobel， OJ， Theory and Design of Uniform and Composite Electric Wave Filters ， Bell System Technical Journal， Vol. 2 (1923)， pp. 1–46.
^ Roberto Sorrentino、電子フィルターのシミュレーションと設計、p. 57歳、マグロウヒル・プロフェッショナル、2007年 ISBN  0-07-149467-7 .
^ Matthaei、p。64.
^ Matthaei， p.66.
^ Matthaei， p. 65.
^ Bode、Hendrik W.、 Wave Filter、米国特許第 2，002，216 号、p. 1c。1 ll.14–26、1933 年 6 月 7 日出願、1935 年 5 月 21 日発行。
^ Alan Keith Walton、 Network analysis and practice、pp. 197、203、Cambridge University Press、1987 ISBN  0-521-31903-X .
^ Matthaei， p. 63.
^ Matthaei， pp. 60–61 (LPF)， 412 (HPF)， 438-439 (BPF).
^ Redifon Radio Diary， 1970 ， pp. 45–48， William Collins Sons & Co， 1969.
^ Matthaei， pp. 72–74.

参考文献
Mathaei， Young， Jones Microwave Filters， Impedance-Matching Networks， and Coupling Structures McGraw-Hill 1964 (1980 年版は ISBN  0-89006-099-1 )。
分析のより簡単な取り扱いについては、以下を参照して
Ghosh， Smarajit， Network Theory: Analysis and Synthesis ， Prentice Hall of India， pp. 564–569 2005
ISBN  81-203-2638-5。”