M-matrix
数学、特に線形代数では、M行列は、実部が非負の固有値を持つZ行列です。非特異なM行列の集合は、 P行列のクラスのサブセットであり、逆正行列のクラス (正の行列のクラスに属する逆行列を含む行列) のサブセットでも M行列という名前は、ヘルマン ミンコフスキーを参照してアレクサンダー オストロフスキーによって最初に選ばれたようです。Z 行列のすべての行の合計が正の場合、その行列式は正であることを証明しました。
コンテンツ
1 キャラクタリゼーション
2 同等物
3 アプリケーション
4 こちらもご覧ください
5 参考文献
キャラクタリゼーション
M 行列は、一般に次のように定義されます。
定義: Aをn × n実数Z 行列とする。つまり、A = ( a ij )ここで、すべてのi ≠ j、 1 ≤ i，j ≤ n に対してa ij ≤ 0です。その場合、行列Aは、A = sI − Bの形式で表現できる場合、 M 行列でもここで、B = ( b ij ) with b ij ≥ 0で、すべての1 ≤ i，j ≤ nについて、sは最小でBの固有値のモジュラスの最大値と同じ大きさであり、Iは恒等行列です。
Aの非特異性については、ペロン-フロベニウスの定理によれば、 s > ρ ( B )でなければなりません。また、特異でない M 行列の場合、Aの対角要素a iiは正でなければなりません。ここでは、非特異 M 行列のクラスのみをさらに特徴付けます。
非特異 M 行列のこの定義に相当する多くのステートメントが知られており、これらのステートメントのいずれかが非特異 M 行列の開始定義として機能します。たとえば、Plemmons は 40 のそのような等価物を挙げています。これらの特徴付けは、Plemmons によって、(1) 主な未成年者の陽性、(2) 逆陽性と分裂、(3) 安定性、(4) 半陽性と対角優勢の特性との関係によって分類されています。 . 行列Aが任意の行列であり、必ずしも Z 行列であるとは限らない場合でも、特定のグループ内のステートメントは互いに関連しているため、この方法でプロパティを分類することは理にかなっています。ここでは、各カテゴリのいくつかの特徴について説明します。
同等物
以下では、≥は要素単位の順序を示します (行列の通常の正の半正定順序ではありません)。つまり、サイズm × nの実数行列A、Bについて、すべてのi、jに対して a ij ≥ b ij (またはa ij > b ij )の場合、A ≥ B (またはA > B )と書きます。
Aをn × n実数のZ-matrixとすると、次のステートメントは、 Aが特異でないM-matrixであることと同等です。
主な未成年者の陽性
Aの主要未成年者はすべて陽性です。つまり、A の対応する行と列のセット (場合によっては空) を削除することによって得られる A の各部分行列の行列式は正です。
A + Dは、各非負の対角行列Dに対して正則です。
A の実固有値はすべて正です。
A の主な未成年者はすべて陽性です。
A = LUとなる正の対角を持つ下三角行列Lと上三角行列Uがそれぞれ存在します。
逆陽性と分裂
Aは逆正です。つまり、A −1が存在し、A −1 ≥ 0です。
Aはモノトーン。つまり、Ax ≥ 0はx ≥ 0 を意味します。
Aには、収束規則分割がつまり、Aは表現A = M − Nを持ちます。ここで、M −1 ≥ 0、N ≥ 0で、M −1 N convergentです。つまり、ρ ( M −1 N ) M 1 ≤ A ≤ M 2の逆正行列M 1およびM 2が存在します。
A の規則的な分割はすべて収束します。
安定
AD + DA Tが正定となるような正の対角行列Dが存在します。
Aは正の安定です。つまり、Aの各固有値の実部は正です。
AW + WA Tが正定である対称正定行列 Wが存在します。
A + Iは正則で、 G = ( A + I ) −1 ( A − I )は収束します。
A + Iは非特異であり、 G = ( A + I ) −1 ( A − I )に対して、 W − G T WGが正定であるような正定対称行列Wが存在します。
半陽性と対角優位
Aは半陽性です。つまり、Ax > 0でx > 0が存在します。
Ax > 0でx ≥ 0が存在します。
正の対角行列Dが存在し、ADがすべて正の行の和を持つようにします。
Aはすべて正の対角要素をもち、正の対角行列Dが存在するため、ADは厳密に対角優勢です。
Aはすべて正の対角要素を持ち、 D -1 ADが厳密に対角優勢であるような正の対角行列Dが存在します。
アプリケーション
M 行列理論への主な貢献は、主に数学者と経済学者によるものです。M 行列は、数学で固有値の境界を確立するために使用され、線形方程式の大規模なスパースシステムを解く反復法の収束基準を確立するために使用されます。M 行列は、ラプラシアンなどの微分演算子の一部の離散化で自然に発生し、科学計算でよく研究されています。M 行列は、線形相補性問題の解の研究でも使用されます。線形相補性の問題は、線形および二次計画法、計算力学、およびバイマトリックス ゲームの平衡点を見つける問題で発生します。最後に、M 行列は、確率論の分野における有限マルコフ連鎖の研究や待ち行列理論などの操作研究で発生します。一方、経済学者は総代替可能性、一般均衡の安定性、および経済システムにおけるレオンチェフの入出力分析に関連して M 行列を研究してきました。すべての主要未成年者が陽性であるという条件は、経済学の文献ではホーキンス・サイモン条件としても知られています。エンジニアリングでは、M 行列は、制御理論におけるリアプノフ安定性とフィードバック制御の問題でも発生し、 Hurwitz 行列に関連しています。計算生物学では、人口動態の研究で M 行列が発生します。
こちらもご覧ください
A が非特異弱対角優勢M 行列であるのは、それが弱連鎖対角優勢 L行列である場合に限られます。
A が M 行列の場合、−Aはメッツラー行列です。
非特異対称M行列は、スティルチェス行列と呼ばれることも
フルヴィッツ行列
P行列
ペロン・フロベニウスの定理
Z マトリックス
H行列
参考文献
^ Fujimoto， Takao & Ranade， Ravindra （2004)， “Two Characterizations of Inverse-Positive Matrixs: The Hawkins-Simon Condition and the Le Chatelier-Braun Principle” (PDF) ， Electronic Journal of Linear Algebra ， 11 : 59–65.
^ バーモン、アブラハム。Plemmons， Robert J. (1994)， Nonnegative Matrix in the Mathematical Sciences ， Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics， p. 134，161 (Thm. 2.3 および第 6 章の注 6.1)、ISBN 0-89871-321-8.
^ フィードラー、M。Ptak， V. (1962)、「非正の非対角要素と正の主マイナーを持つ行列について」、 Czechslovak Mathematical Journal、12 (3): 382–400.
^ Plemmons， RJ (1977)， “M-Matrix Characterizations. I — Nonsingular M-Matrices”， Linear Algebra and its Applications ， 18 (2): 175–188， doi : 10.1016/0024-3795(77)90073-8.
^ 二階堂浩（1970）．現代経済学におけるセットとマッピングの紹介。ニューヨーク：エルゼビア。pp.13–19。ISBN 0-444-10038-5.