平均場理論

Mean-field_theory

 「平均場理論」  
物理学と確率論では、平均場理論( MFT ) または自己無撞着場理論は、自由度(統計の最終計算における値は自由に変更できます)。このようなモデルでは、相互に作用する多くの個々のコンポーネントが考慮されます。
MFT の主なアイデアは、任意の 1 つの物体に対するすべての相互作用を、分子場と呼ばれることもある平均的または効果的な相互作用に置き換えることです。これにより、多体問題が有効な単体問題に還元されます。MFT の問題を簡単に解決できるということは、より低い計算コストでシステムの動作に関する洞察を得ることができることを意味します。
それ以来、MFT は物理学以外の幅広い分野に適用されてきました。これには、統計的推論、グラフィカル モデル、神経科学、 人工知能、流行モデル、 待ち行列理論、 コンピュータ ネットワーク パフォーマンス、ゲーム理論などが 等量反応平衡のように .
コンテンツ
1 起源
2 有効
3 正式なアプローチ (ハミルトニアン)
4 アプリケーション
4.1 イジングモデル
4.1.1 正式な派生
4.1.2 非相互作用スピン近似
4.2 他システムへの適用
5 時間依存平均場への拡張
6 こちらもご覧ください
7 参考文献

起源
このアイデアは、ピエール・キュリーとピエール・ヴァイスが相転移を説明するために物理学 (統計力学) で初めて登場しました。 MFT は Bragg-Williams 近似、ベーテ格子上のモデル、Landau 理論、Pierre-Weiss 近似、Flory-Huggins 解理論、およびScheutjens-Fleer 理論で使用されています。
多くの (場合によっては無限の) 自由度を持つシステムは、いくつかの単純なケース (たとえば、特定のガウス確率場理論、1Dイジング モデルなど)を除いて、一般に正確に解いたり、閉じた解析形式で計算したりすることが困難です。多くの場合、システムの分配関数の計算などを困難にする組み合わせ問題が発生します。MFT は、多くの場合、元の解を計算可能にする近似方法であり、場合によっては、MFT によって非常に正確な近似が得られる場合が
場の理論では、ハミルトニアンは場の平均付近の変動の大きさに関して展開される場合がこの文脈では、MFT は、ゆらぎにおけるハミルトニアンの「ゼロ次」展開と見なすことができます。物理的には、これは MFT システムにゆらぎがないことを意味しますが、これは、すべての相互作用を「平均場」に置き換えているという考えと一致します。
多くの場合、MFT は高次のゆらぎを研究するための便利な出発点を提供します。たとえば、分配関数を計算する場合、ハミルトニアンの相互作用項の組み合わせ論を調べても、せいぜい摂動結果または平均場近似を修正するファインマン ダイアグラムを生成できる場合が

有効
一般に、次元は、特定の問題に対して平均場アプローチが機能するかどうかを判断する際に積極的な役割を果たします。それを超えると MFT が有効になり、それを下回ると無効になる重要な次元が存在する場合が
ヒューリスティックに、MFT では多くの相互作用が 1 つの有効な相互作用に置き換えられます。そのため、フィールドまたは粒子が元のシステムで多くのランダムな相互作用を示す場合、それらは互いに打ち消し合う傾向があるため、平均有効相互作用と MFT はより正確になります。これは、高次元の場合、ハミルトニアンに長距離の力が含まれている場合、または粒子が拡張されている場合 (例:ポリマー) に当てはまります。ギンズバーグ基準は、変動がどのように MFT を不十分な近似値にするかを形式的に表現したものであり、多くの場合、対象のシステムの空間次元の数に依存します。

正式なアプローチ (ハミルトニアン)
平均場理論の正式な基礎は、ボゴリュボフの不等式です。この不等式は、ハミルトニアンを持つ系の自由エネルギーはH = H 0 + △ H
{ {mathcal {H}}={mathcal {H}}_{0}+Delta {mathcal {H}}}

次の上限がふ ≤ ふ 0 = d e へ ⟨H ⟩ 0 − T S
0 { Fleq F_{0} {stackrel {mathrm {def} }{=}} langle {mathcal {H}}rangle _{0}-TS_{0}，}

どこS 0
{ S_{0}}

はエントロピーであり、 ふ { F}
と ふ 0
{ F_{0}}

はヘルムホルツ自由エネルギーです。平均は、ハミルトニアンを使用した参照システムの平衡アンサンブルで取得されますH 0
{ {mathcal {H}}_{0}}

. 参照ハミルトニアンが非相互作用系のハミルトニアンであるという特殊なケースでは、次のように記述できます。 0= ∑ I = 1 N
時間 I ( ξ I ) { {mathcal {H}}_{0}=sum _{i=1}^{N}h_{i}(xi _{i})，}

どこξ I
{ xi _{i}}

は、統計システムの個々のコンポーネント (原子、スピンなど)の自由度であり、不等式の右側を最小化することによって上限をシャープにすることを検討できます。最小化基準システムは、相関のない自由度を使用した真のシステムへの「最良の」近似であり、平均場近似として知られています。
ターゲット ハミルトニアンがペアワイズ相互作用のみを含む最も一般的なケースでは、つまり、H = ∑( I j) ε P Ⅴ I j( ξ
I ξ j ) { {mathcal {H}}=sum _{(i，j)in {mathcal {P}}}V_{i，j}(xi _{i}，xi _{j} )、}

どこ P { {mathcal {P}}}

相互作用するペアのセットである場合、最小化手順は形式的に実行できます。定義Tr I へ( ξ I) { operatorname {Tr} _{i}f(xi _{i})}

観測量の一般化された合計として へ { f}

単一成分の自由度 (離散変数の合計、連続変数の積分)。近似自由エネルギーは、ふ 0 = Tr
1 2 … N H ( ξ
1 ξ
2 … ξN ) P 0 N ) ( ξ 1 ξ
2 … ξN ) + k T r
1 2 … N 0 N ) ( ξ 1 ξ
2 … ξN )
ログP 0 N ) ( ξ 1 ξ
2 … ξ N ) { {begin{aligned}F_{0}&=operatorname {Tr} _{1，2，ldots ，N}{mathcal {H}}(xi _{1}，xi _{ 2}，ldots ，xi _{N})P_{0}^{(N)}(xi _{1}，xi _{2}，ldots ，xi _{N})\ &+kT，operatorname {Tr} _{1，2，ldots ，N}P_{0}^{(N)}(xi _{1}，xi _{2}，ldots ， xi _{N})log P_{0}^{(N)}(xi _{1}，xi _{2}，ldots ，xi _{N})，end{aligned}} }

どこP 0( N ) ( ξ
1 ξ
2 … ξ N) { P_{0}^{(N)}(xi _{1}，xi _{2}，dots ，xi _{N})}

変数によって指定された状態で参照システムを見つける確率です。 ( ξ 1 ξ
2 … ξ N) { (xi _{1}，xi _{2}，dots ，xi _{N})}

. この確率は、正規化されたボルツマン係数によって与えられます。 0 N ) ( ξ 1 ξ
2 … ξN ) = 1 Z 0( N) e − β H 0 ( ξ 1 ξ
2 … ξN )=∏ I=1 1Z 0 e − β
時間 I ( ξI ) = d e へ ∏ I=1 P 0 I )( ξ I ) { {begin{aligned}P_{0}^{(N)}(xi _{1}，xi _{2}，ldots ，xi _{N})&={frac { 1}{Z_{0}^{(N)}}}e^{-beta {mathcal {H}}_{0}(xi _{1}，xi _{2}，ldots ， xi _{N})}\&=prod _{i=1}^{N}{frac {1}{Z_{0}}}e^{-beta h_{i}(xi _{i})} {stackrel {mathrm {def} }{=}} prod _{i=1}^{N}P_{0}^{(i)}(xi _{i })，end{整列}}}

どこZ 0
{ Z_{0}}

はパーティション関数です。したがってふ 0 = ∑( I j) ε P Tr I j
Ⅴ I j ( ξ
I ξj ) P 0 I )( ξI ) P 0 j )( ξj ) + k T ∑ I=1 Tr I 0 I )( ξI )
ログP 0 I )( ξI ) .
{ {begin{aligned}F_{0}&=sum _{(i，j)in {mathcal {P}}}operatorname {Tr} _{i，j}V_{i，j }(xi _{i}，xi _{j})P_{0}^{(i)}(xi _{i})P_{0}^{(j)}(xi _{j })\&+kTsum _{i=1}^{N}operatorname {Tr} _{i}P_{0}^{(i)}(xi _{i})log P_{ 0}^{(i)}(xi _{i}).end{整列}}}

最小化するために、1 自由度の確率に関して微分をとります。P 0( I ) { P_{0}^{(i)}}

ラグランジュ乗数を使用して、適切な正規化を保証します。最終結果は一連の自己矛盾のない方程式ですP 0( I ) ( ξI )=1 0e − β 間 I M ふ ξ
I) 私 = 1 2 … N { P_{0}^{(i)}(xi _{i})={frac {1}{Z_{0}}}e^{-beta h_{i}^{MF}( xi _{i})}，quad i=1，2，ldots ，N，}

ここで、平均場は次の式で与えられます
時間I MF( ξI ) = ∑ { j ∣( I j) ε P
}Tr j
Ⅴ I j ( ξ
I ξj ) P 0( j ) ( ξj ) .
{ h_{i}^{text{MF}}(xi _{i})=sum _{{jmid (i，j)in {mathcal {P}}}} operatorname {Tr} _{j}V_{i，j}(xi _{i}，xi _{j})P_{0}^{(j)}(xi _{j}).}

アプリケーション
平均場理論は、相転移などの現象を研究するために、多くの物理システムに適用できます。
イジングモデル編集

正式な派生
上に示したボゴリュボフの不等式を使用して、2 次元イジング格子の平均場モデルのダイナミクスを見つけることができます。磁化関数は、得られたおおよその自由エネルギーから計算できます。最初のステップは、真のハミルトニアンのより扱いやすい近似を選択することです。非相互作用または有効なフィールド ハミルトニアンを使用して、 − メートル∑ I s I
{ -msum _{i}s_{i}}
変分自由エネルギーはふ Ⅴ = ふ 0 + ⟨( −J ∑ s I s j − 時間∑ s I ) −( −
メートル∑ s I
) 0 . { F_{V}=F_{0}+leftlangle left(-Jsum s_{i}s_{j}-hsum s_{i}right)-left(-m合計 s_{i}right)rightrangle _{0}.}

ボゴリュボフの不等式により、この量を単純化し、変分自由エネルギーを最小化する磁化関数を計算すると、実際の磁化の最良の近似値が得られます。ミニマイザーは
メートル= J ∑ ⟨ s j ⟩ 0 +
時間 { m=Jsum langle s_{j}rangle _{0}+h，}

これはスピンのアンサンブル平均です。これは次のように単純化されます
メートル = タン( ぜJ β
メートル) +
時間 . { m={text{tanh}}(zJbeta m)+h.}

すべてのスピンによって感じられる実効場を平均スピン値に等しくすることは、変分アプローチを変動の抑制に関連付けます。磁化関数の物理的解釈は、個々のスピンの平均値のフィールドです。

非相互作用スピン近似
上のイジングモデルを考えてみましょう d { d}
-次元格子。ハミルトニアンは、H = − J ∑ ⟨ I j ⟩ sI s j −
時間∑ I s
I { H=-Jsum _{langle i，jrangle}s_{i}s_{j}-hsum _{i}s_{i}，}

どこ∑ ⟨ I j ⟩
{ sum _{langle i，jrangle }}

最近隣のペアの合計を示します⟨ I j ⟩
{ langle i，jrangle }

、 とs I s j ± 1 { s_{i}，s_{j}=pm 1}

隣接するイジングスピンです。
平均値からゆらぎを導入してスピン変数を変換しましょう
メートル I ≡⟨ s I ⟩ { m_{i}equiv langle s_{i}rangle }

. ハミルトニアンを次のように書き直すことができます。H = − J ∑ ⟨ I j ⟩( メートルI + δ s I )( メートルj + δ s j ) −
時間∑ I s
I { H=-Jsum _{langle i，jrangle}(m_{i}+delta s_{i})(m_{j}+delta s_{j})-hsum _ {i}s_{i}，}

定義する場所δ s I
≡s I − メートル I { delta s_{i}equiv s_{i}-m_{i}}

; これがスピンのゆらぎです。
右辺を展開すると、スピンの平均値に完全に依存し、スピン配置には依存しない 1 つの項が得られます。これは自明な項であり、システムの統計的特性には影響しません。次の項は、スピンの平均値とゆらぎの値の積に関する項です。最後に、最後の項には 2 つの変動値の積が含まれます。
平均場近似は、この二次変動項を無視することで構成されます。H ≒ H MF ≡ − J ∑ ⟨I j ⟩( メートル I メートルj +
メートルI δ s j +
メートルj δ s I ) −
時間∑ I s I .
{ Happrox H^{text{MF}}equiv -Jsum _{langle i，jrangle }(m_{i}m_{j}+m_{i}delta s_{j }+m_{j}delta s_{i})-hsum _{i}s_{i}.}

これらの変動は低次元で強化されるため、MFT は高次元のより適切な近似になります。
繰り返しますが、被加数は再展開できます。さらに、イジング鎖は並進不変であるため、各スピンの平均値は部位に依存しないと予想されます。これにより、H MF = − J ∑ ⟨ I j ⟩( メートル2 + 2
メートル( sI −
メートル) ) −
時間∑ I s I .
{ H^{text{MF}}=-Jsum _{langle i，jrangle}{big (}m^{2}+2m(s_{i}-m){big )}-hsum _{i}s_{i}.}

隣接するスピンの合計は、次のように書き直すことができます。∑ ⟨ I j
⟩ 1 2∑ I ∑ j ε n n( I ) { sum _{langle i，jrangle }={frac {1}{2}}sum _{i}sum _{jin nn(i)}}

、 どこn n( I ) { nn(i)}

「の最も近い隣人」を意味します I { i}

“”、 そしてその1 / 2
{ 1/2}

各結合が 2 つのスピンに参加するため、prefactor は二重カウントを回避します。単純化は最終的な表現につながりますH MF = J
メートル2 N ぜ 2 −( 時間 + メートルJ ぜ ) ⏟
時間
効果∑ I s
I { H^{text{MF}}={frac {Jm^{2}Nz}{2}}-underbrace {(h+mJz)} _{h^{text{eff.}} }sum_{i}s_{i}，}

どこ ぜ { z}

は調整番号です。この時点で、イジング ハミルトニアンは、有効な平均場を持つ 1 体のハミルトニアンの和に分離されています。
時間
効果 = 時間+ J ぜ
メートル
{ h^{text{eff.}}=h+Jzm}

、これは外部フィールドの合計です
時間
{ h}

および隣接するスピンによって誘導される平均場の。この平均場は最近傍の数に直接依存するため、システムの次元に依存することに注意してください (たとえば、次元の超立方格子の場合)。 d { d}
ぜ= 2 d
{ z=2d}
）。 このハミルトニアンを分配関数に代入し、有効な 1D 問題を解くと、次のようになります。Z = e − β J
メートル2 ぜ 2 [2
コッシュ( 時間 + メートルJ ぜ k
B T )]
N { Z=e^{-{frac {beta Jm^{2}Nz}{2}}}left[2cosh left({frac {h+mJz}{k_{text{ B}}T}}right)right]^{N}，}

どこ N { N}

格子サイトの数です。これは、システムの分配関数の閉じた正確な式です。システムの自由エネルギーを取得し、臨界指数を計算できます。特に、磁化を得ることができます
メートル
{ m}

の関数として 時間 効果
{ h^{text{eff.}}}
. したがって、間に2つの方程式があります
メートル
{ m}
と 時間
効果
{ h^{text{eff.}}}

、私たちが決定できるようにする
メートル
{ m}

温度の関数として。これは、次の観察につながります。
特定の値よりも高い温度の場合T c
{ T_{text{c}}}

、唯一の解決策は
メートル= 0
{ m=0}

. システムは常磁性です。
為にT { T
、ゼロでない解が 2 つ
メートル= ±
メートル 0 { m=pm m_{0}}

. システムは強磁性です。T c
{ T_{text{c}}}

は次の関係で与えられます。T c=J ぜ k B { T_{text{c}}={frac {Jz}{k_{B}}}}
. これは、MFT が強磁性相転移を説明できることを示しています。

他システムへの適用
同様に、次の場合のように、MFT を他のタイプのハミルトニアンに適用できます。
金属から超伝導体への転移を研究する。この場合、磁化のアナログは超伝導ギャップです △ { Delta }
. ディレクタ フィールドのラプラシアンがゼロでない場合に現れる液晶の分子フィールド。
タンパク質構造予測において固定タンパク質バックボーンが与えられた場合に最適なアミノ酸 側鎖パッキングを決定する( Self-consistent mean field (biology)を参照)。
複合材料の弾性特性を決定します。
平均場理論のような変分最小化は、統計的推論にも使用できます。

時間依存平均場への拡張
動的平均場理論
平均場理論では、単一サイト問題に現れる平均場は、時間に依存しないスカラーまたはベクトル量です。ただし、常にそうであるとは限りません。動的平均場理論(DMFT) と呼ばれる平均場理論の変種では、平均場は時間依存量になります。たとえば、DMFT をHubbard モデルに適用して、金属 – モット – 絶縁体遷移を調べることができます。

こちらもご覧ください
動的平均場理論
ミーンフィールドゲーム理論
一般化された流行平均場モデル

参考文献
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