Mean-periodic_function
数学的分析では、平均周期関数の概念は、 1935 年にJean Delsarteによって導入された周期関数の概念を一般化したものです。 Laurent Schwartzによってさらなる結果が得られました。
コンテンツ
1 意味
2 ほぼ周期的な関数との関係
3 アプリケーション
4 こちらもご覧ください
5 参考文献
意味
実変数の複素数値関数fを考えてみましょう。関数fは、すべての実数xに対してf ( x ) − f ( x − a ) = 0である場合、正確に周期aで周期的です。これは次のように記述できます。∫ へ (X − y ) d μ( y) = 0( 1 ) { int f(xy)，dmu (y)=0qquad qquad (1)}
どこ μ { mu}
は0 と aでのディラック測度の差です。関数fは、同じ式 (1) を満たす場合、平均周期的ですが、ここで μ { mu}
は、コンパクトな (したがって境界のある) サポートを備えた任意のゼロ以外の尺度です。
式 (1) は畳み込みとして解釈できるため、平均周期関数は、コンパクトにサポートされた (符号付き) ボレル測度が存在する関数fです。 μ { mu}
そのためにへ ∗ μ = 0
{ f*mu =0}
. いくつかのよく知られた同等の定義が
ほぼ周期的な関数との関係
平均周期関数は、ほぼ周期的な関数とは別の周期的な関数の一般化です。たとえば、指数関数はexp( x +1) − e .exp( x ) = 0であるため平均周期的ですが、制限がないためほとんど周期的ではありません。それでも、一様に連続した有界平均周期関数は (ボーアの意味で) ほぼ周期的であるという定理がもう一方の方向には、平均周期的でないほぼ周期的な関数が存在します。
アプリケーション
ラングランズ対応に関連する研究では、算術スキームに関連する特定の (関連する関数) ゼータ関数の平均周期性は、関連する L 関数の自己同形性に対応することが示唆されています。数論から生じる特定のクラスの平均周期関数が
こちらもご覧ください
ほぼ周期的な関数
参考文献
^ Delsarte、ジャン (1935). “”Les fonctions moyenne-périodiques””. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 17 : 403–453. ^
カハネ、Ｊ．（1959）。平均周期関数に関する講義 (PDF) . タタ基礎研究所、ボンベイ。
^ マルグレンジ、バーナード(1954)。””Fonctions moyenne-périodiques (d’après J.-P. Kahane)”” (PDF) . Séminaire Bourbaki (97): 425–437.
^ シュワルツ、ローラン(1947)。””Théorie générale des fonctions moyenne-périodiques” (PDF) . アン。数学の。48 (2): 857–929. ドイ：10.2307/1969386。JSTOR 1969386 .
^ Fesenko、I。リコッタ、Ｇ．鈴木正治 （2012). 「平均周期性とゼータ関数」 . Annales de l’Institut Fourier . 62 (5): 1819–1887. arXiv : 0803.2821 . ドイ: 10.5802/aif.2737 .”