Categories: 未分類

平均


、通常はX ¯ { {bar {x}}}

は、サンプル値の合計をサンプル内の項目数で割ったものです
X¯ = 1 n( ∑I = 1 n
XI ) X 1 +X 2 + ⋯ +Xn n
{ {bar {x}}={frac {1}{n}}left(sum _{i=1}^{n}{x_{i}}right)={frac { x_{1}+x_{2}+cdots +x_{n}}{n}}}

たとえば、4、36、45、50、75 の 5 つの値の算術平均は次のようになります。
4+ 36 + 45 + 50 +75 5 =210 5= 42.
{ {frac {4+36+45+50+75}{5}}={frac {210}{5}}=42.}

幾何平均 (GM)
幾何平均は、正の数のセットに役立つ平均であり、それらの合計 (算術平均の場合のように) ではなく、積 (成長率の場合のように) に従って解釈されます。
X¯ =( ∏I = 1 nX I ) 1 n =(X 1X 2 ⋯X n ) 1 n
{ {bar {x}}=left(prod _{i=1}^{n}{x_{i}}right)^{frac {1}{n}}=left( x_{1}x_{2}cdots x_{n}right)^{frac {1}{n}}}

たとえば、4、36、45、50、75 の 5 つの値の幾何平均は次のようになります。( 4× 36 × 45 × 50 × 75 )1 5 =24 300 000 = 30.
{ (4times 36times 45times 50times 75)^{frac {1}{5}}={sqrt{24;300;000}}=30 .}

調和平均 (HM)
調和平均は、速度(つまり、単位時間あたりの距離)の場合のように、あるunitに関連して定義される数値のセットに役立つ平均です。
X¯ = n( ∑I = 1 n 1X I ) − 1
{ {bar {x}}=nleft(sum _{i=1}^{n}{frac {1}{x_{i}}}right)^{-1}}

たとえば、4、36、45、50、75 の 5 つの値の調和平均は、5 1 4 +1 36 +1 45 +1 50 +1 75=5 1 3= 15.
{ {frac {5}{{tfrac {1}{4}}+{tfrac {1}{36}}+{tfrac {1}{45}}+{tfrac {1}{ 50}}+{tfrac {1}{75}}}}={frac {5}{;{tfrac {1}{3}};}}=15.}

AM、GM、HMの関係

算術平均と幾何平均の不等式の証明:
PR は O を中心とする円の直径です。その半径 AO はaとbの算術平均です。幾何平均定理を使用すると、三角形 PGR の高度GQ が幾何平均になります。任意の比率a : b に対して、AO ≥ GQ。
算術平均と幾何平均の不等式
AM、GM、および HM は、次の不等式を満たします。あ MG M H M
{ mathrm {AM} geq mathrm {GM} geq mathrm {HM} ，}

与えられたサンプルのすべての要素が等しい場合、等しいと言えます。

統計上の場所
参照:平均 § 統計的位置

2 つの歪んだ (対数正規) 分布
の算術平均、中央値、最頻値の比較。

任意の確率密度関数の最頻値、中央値、平均値の幾何学的視覚化。
記述統計では、平均は、中央値、最頻値、または中間範囲と混同される可能性がこれらはいずれも「平均」(より正式には、中心傾向の尺度) と呼ばれる場合があるためです。一連の観測値の平均は、値の算術平均です。ただし、歪んだ分布の場合、平均は必ずしも中央値 (中央値) または最も可能性の高い値 (最頻値) と同じではありません。たとえば、平均所得は通常、非常に多額の所得を持つ少数の人々によって上方に歪められ、大多数の所得は平均よりも低くなります。対照的に、中央値所得は、人口の半分がそれ以下で、半分がそれ以上のレベルです。モード所得は最も可能性の高い所得であり、所得が低いほど多数の人々に有利です。多くの場合、中央値と最頻値は、このような歪んだデータのより直感的な尺度ですが、実際には、指数分布やポアソン分布など、多くの歪んだ分布はその平均によって最もよく説明されます。

確率分布の平均
期待値
参照:母平均
確率分布の平均は、その分布を持つ確率変数の長期算術平均値です。確率変数がX
{ X}

の期待値とも呼ばれます。X
{ X}
(表記え (X )
{ E(X)}

）。離散確率分布の場合、平均は次の式で与えられます。∑X P (X )
{ textstyle sum xP(x)}

、ここで、合計は確率変数のすべての可能な値で取得され、P (X )
{ P(x)}

は確率質量関数です。連続分布の場合、平均は
∫− ∞ ∞X へ (X ) dX
{ textstyle int _{-infty}^{infty}xf(x)，dx}

、 どこへ (X )
{ f(x)}

は確率密度関数です。分布が離散的でも連続的でもない場合を含め、すべての場合において、平均は、確率変数 に関する確率変数のルベーグ積分です。平均は存在する必要も、有限である必要もありません。確率分布によっては、平均が無限 ( +∞または−∞ ) である確率分布もあれば、平均が定義されていない分布も
一般化された手段編集

パワー平均
累乗平均またはヘルダー平均とも呼ばれる一般化平均は、二次平均、算術平均、幾何平均、および調和平均を抽象化したものです。これは、 n 個の正の数x iの集合に対して次のように定義されます。X ¯ ( メートル) =( 1n ∑ I = 1 nX I
メートル) 1
メートル
{ {bar {x}}(m)=left({frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}x_{i}^{m}right) ^{frac {1}{m}}}

パラメータmに異なる値を選択すると、次のタイプの平均が得られます。
リム
メートル ∞ { lim _{mto infty }}
大_X I
{ x_{i}}

リム
メートル 2 { lim _{mto 2}}

二次平均
リム
メートル 1 { lim _{mto 1}}

算術平均
リム
メートル 0 { lim _{mto 0}}

幾何平均
リム
メートル− 1
{ lim _{mto -1}}

調和平均
リム
メートル− ∞
{ lim _{mto -infty }}
小_X I
{ x_{i}}

f平均
これは、一般化されたf平均としてさらに一般化できます。X¯ = へ − 1( 1n ∑ I = 1 n へ (X I) )
{ {bar {x}}=f^{-1}left({{frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}{fleft(x_{ i}right)}}right)}

また、可逆fを適切に選択すると、次のようになります。へ (X ) =X
{ f(x)=x}

算術平均，へ (X ) = 1X
{ f(x)={frac {1}{x}}}

調和平均，へ (X ) =X
メートル
{ f(x)=x^{m}}

パワー平均、へ (X ) = で (X )
{ f(x)=ln(x)}

幾何平均。

加重算術平均
同じ母集団の異なるサイズのサンプルからの平均値を組み合わせたい場合は、加重算術平均 (または加重平均) が使用されます。
X¯ = ∑ I = 1 n w 私X
I¯ ∑ I = 1 n w I .
{ {bar {x}}={frac {sum _{i=1}^{n}{w_{i}{bar {x_{i}}}}{sum _{i =1}^{n}w_{i}}}.}

どこX I ¯
{ {bar {x_{i}}}}
と w I
{ w_{i}}

サンプルの平均とサイズ I { i}

それぞれ。他のアプリケーションでは、それらはそれぞれの値による平均への影響の信頼性の尺度を表します。

切り捨て平均
場合によっては、一連の数値に外れ値が含まれる場合があります (つまり、他の数値よりもはるかに低いまたははるかに高いデータ値)。多くの場合、外れ値はアーティファクトによって引き起こされた誤ったデータです。この場合、切り捨てられた平均を使用できます。これには、上端または下端のデータの特定の部分 (通常は両端で同量) を破棄し、残りのデータの算術平均を取得する必要が削除された値の数は、値の総数に対するパーセンテージで示されます。

四分位平均
四分位平均は、切り捨てられた平均の具体的な例です。これは、値の最低と最高の 4 分の 1 を除いた単純な算術平均です。
X¯ = 2 n ∑ I =
n4 1 3 4X I
{ {bar {x}}={frac {2}{n}};sum _{i={frac {n}{4}}+1}^{{frac {3} {4}}n}!!x_{i}}

値が順序付けられていると仮定すると、特定の重みのセットに対する加重平均の具体例にすぎません。

関数の平均
関数の平均
状況によっては、数学者は無限 (または数えられない) の値のセットの平均を計算する場合がこれは、平均値を計算するときに発生する可能性があります y 平均
{ y_{text{avg}}}

関数のへ (X )
{ f(x)}

. 直感的に、関数の平均は、曲線のセクションの下の面積を計算し、そのセクションの長さで割ると考えることができます。これは、方眼紙の正方形を数えることによって大まかに行うことができます。より正確には、積分によって行うことができます。積分式は次のように書きます。 y 平均( a b ) =1 − a ∫ a b へ (X ) dX
{ y_{text{avg}}(a，b)={frac {1}{ba}}int limits _{a}^{b}!f(x)，dx}

この場合、積分が確実に収束するように注意する必要がしかし、関数自体がいくつかの点で無限大になる傾向がある場合でも、平均は有限である可能性が

角度の平均と循環量
角度、時刻、およびその他の周期的な数量では、数値を加算または結合するために剰余算術が必要です。これらすべての状況で、一意の平均は存在しません。たとえば、真夜中の前後の 1 時間は、真夜中と正午の両方から等距離です。また、平均が存在しない可能性もカラー ホイールを考えてみましょう。すべての色のセットに意味はありません。このような状況では、どの平均が最も有用かを判断する必要がこれを行うには、平均化する前に値を調整するか、循環量の平均に特化したアプローチを使用します。

フレシェ平均
フレシェ平均は、表面またはより一般的にはリーマン多様体上の質量分布の「中心」を決定する方法を提供します。他の多くの手段とは異なり、フレシェ平均は、要素を必ずしも加算したり、スカラーで乗算したりできない空間で定義されます。ケルヒャー平均(Hermann Karcher にちなんで名付けられた)としても知られています。

スワンソンの法則
これは、適度に歪んだ分布の平均の近似値です。炭化水素探査で使用され、次のように定義されます。
メートル= 0.3 P 10 + 0.4 P 50 +0.3 P 90
{ m=0.3P_{10}+0.4P_{50}+0.3P_{90}}

ここで、P 10、P 50およびP 90は、分布の 10、50、および 90 パーセンタイルです。

他の意味
主なカテゴリー:手段
算術幾何平均
算術調和平均
セザーロ・ミーン
キシニ平均
反高調波平均
初等対称平均
幾何調和平均
総平均
ハインツ平均
ヘロン平均
同一平均
レーマー平均対数平均 移動平均
ノイマン・サンダー平均
準算術平均
二乗平均平方根(二次平均)
Rényi のエントロピー(一般化された f-mean )
球平均
Stolarsky平均
加重幾何平均
加重調和平均

こちらもご覧ください

 数学ポータル
中心傾向 中央値 モード
記述統計
尖度
平均の法則
平均値定理
モーメント (数学)
要約統計
テイラーの法則

ノート
^ 「エックスバー」と発音 ^ ギリシャ文字μ、「平均」を意味し、発音は /'mjuː/.

参考文献
^ アンダーヒル、LG。ブラッドフィールド d. (1998) Introstat ， Juta and Company Ltd. ISBN  0-7021-3838-X p. 181 ^
「平均 | 数学」 . 百科事典ブリタニカ。2020年8月21日閲覧。
^ 「AP 統計レビュー - 密度曲線と正規分布」 . 2015 年 4 月 2 日にオリジナルからアーカイブされました。2015年 3 月 16 日閲覧。
^ Weisstein、Eric W. 「人口平均」。mathworld.wolfram.com . 2020年8月21日閲覧。

Mean

この項目では、数学的概念について説明しています。その他の用法については「平均 」をご覧 意地悪または残酷な状態については、意地悪を参照して このトピックのより広い範囲については、Averageを参照して
数学、特に統計学にはいくつかの種類の平均が各平均は、与えられたデータのグループを要約するのに役立ち、多くの場合、与えられたデータ セットの全体的な値 (大きさと符号)をよりよく理解するのに役立ちます。
データセットの場合、算術平均は「算術平均」とも呼ばれ、有限の数値セットの中心傾向の尺度です。具体的には、値の合計を値の数で割ったものです。一連の数値x 1、x 2、…、x nの算術平均は、通常、オーバーヘッド バーを使用して示されます。X ¯ { {bar {x}}}
. データ セットが、統計母集団からサンプリングすることによって得られた一連の観察に基づいている場合、算術平均は標本平均(X ¯ { {bar {x}}}
)基になる分布の平均または期待値と区別するため、母平均( μ
{ mu}
また μX { mu _{x}} ）。 確率と統計以外にも、幾何学や数学的分析では平均のさまざまな概念がよく使用されます。以下に例を示します。
コンテンツ
1 手段の種類
1.1 ピタゴラスの意味
1.1.1 算術平均 (AM)
1.1.2 幾何平均 (GM)
1.1.3 調和平均 (HM)
1.1.4 AM、GM、HMの関係
1.2 統計上の場所
1.2.1 確率分布の平均
1.3 一般化された手段
1.3.1 パワー平均
1.3.2 f平均
1.4 加重算術平均 1.5 切り捨て平均 1.6 四分位平均 1.7 関数の平均 1.8 角度の平均と循環量 1.9 フレシェ平均 1.10 スワンソンの法則 1.11 他の意味
2 こちらもご覧ください
3 ノート
4 参考文献

手段の種類

ピタゴラスの意味
ピタゴラスの意味

算術平均 (AM)
数値のリストの算術平均(または単に平均) は、すべての数値の合計を数値の数で割ったものです。同様に、サンプルの平均X 1 X 2 … X n { x_{1}，x_{2}，ldots ，x_{n}}

、通常はX ¯ { {bar {x}}}

は、サンプル値の合計をサンプル内の項目数で割ったものです
X¯ = 1 n( ∑I = 1 n
XI ) X 1 +X 2 + ⋯ +Xn n
{ {bar {x}}={frac {1}{n}}left(sum _{i=1}^{n}{x_{i}}right)={frac { x_{1}+x_{2}+cdots +x_{n}}{n}}}

たとえば、4、36、45、50、75 の 5 つの値の算術平均は次のようになります。
4+ 36 + 45 + 50 +75 5 =210 5= 42.
{ {frac {4+36+45+50+75}{5}}={frac {210}{5}}=42.}

幾何平均 (GM)
幾何平均は、正の数のセットに役立つ平均であり、それらの合計 (算術平均の場合のように) ではなく、積 (成長率の場合のように) に従って解釈されます。
X¯ =( ∏I = 1 nX I ) 1 n =(X 1X 2 ⋯X n ) 1 n
{ {bar {x}}=left(prod _{i=1}^{n}{x_{i}}right)^{frac {1}{n}}=left( x_{1}x_{2}cdots x_{n}right)^{frac {1}{n}}}

たとえば、4、36、45、50、75 の 5 つの値の幾何平均は次のようになります。( 4× 36 × 45 × 50 × 75 )1 5 =24 300 000 = 30.
{ (4times 36times 45times 50times 75)^{frac {1}{5}}={sqrt{24;300;000}}=30 .}

調和平均 (HM)
調和平均は、速度(つまり、単位時間あたりの距離)の場合のように、あるunitに関連して定義される数値のセットに役立つ平均です。
X¯ = n( ∑I = 1 n 1X I ) − 1
{ {bar {x}}=nleft(sum _{i=1}^{n}{frac {1}{x_{i}}}right)^{-1}}

たとえば、4、36、45、50、75 の 5 つの値の調和平均は、5 1 4 +1 36 +1 45 +1 50 +1 75=5 1 3= 15.
{ {frac {5}{{tfrac {1}{4}}+{tfrac {1}{36}}+{tfrac {1}{45}}+{tfrac {1}{ 50}}+{tfrac {1}{75}}}}={frac {5}{;{tfrac {1}{3}};}}=15.}

AM、GM、HMの関係

算術平均と幾何平均の不等式の証明:
PR は O を中心とする円の直径です。その半径 AO はaとbの算術平均です。幾何平均定理を使用すると、三角形 PGR の高度GQ が幾何平均になります。任意の比率a : b に対して、AO ≥ GQ。
算術平均と幾何平均の不等式
AM、GM、および HM は、次の不等式を満たします。あ MG M H M
{ mathrm {AM} geq mathrm {GM} geq mathrm {HM} ，}

与えられたサンプルのすべての要素が等しい場合、等しいと言えます。

統計上の場所
参照:平均 § 統計的位置

2 つの歪んだ (対数正規) 分布
の算術平均、中央値、最頻値の比較。

任意の確率密度関数の最頻値、中央値、平均値の幾何学的視覚化。
記述統計では、平均は、中央値、最頻値、または中間範囲と混同される可能性がこれらはいずれも「平均」(より正式には、中心傾向の尺度) と呼ばれる場合があるためです。一連の観測値の平均は、値の算術平均です。ただし、歪んだ分布の場合、平均は必ずしも中央値 (中央値) または最も可能性の高い値 (最頻値) と同じではありません。たとえば、平均所得は通常、非常に多額の所得を持つ少数の人々によって上方に歪められ、大多数の所得は平均よりも低くなります。対照的に、中央値所得は、人口の半分がそれ以下で、半分がそれ以上のレベルです。モード所得は最も可能性の高い所得であり、所得が低いほど多数の人々に有利です。多くの場合、中央値と最頻値は、このような歪んだデータのより直感的な尺度ですが、実際には、指数分布やポアソン分布など、多くの歪んだ分布はその平均によって最もよく説明されます。

確率分布の平均
期待値
参照:母平均
確率分布の平均は、その分布を持つ確率変数の長期算術平均値です。確率変数がX
{ X}

の期待値とも呼ばれます。X
{ X}
(表記え (X )
{ E(X)}

）。離散確率分布の場合、平均は次の式で与えられます。∑X P (X )
{ textstyle sum xP(x)}

、ここで、合計は確率変数のすべての可能な値で取得され、P (X )
{ P(x)}

は確率質量関数です。連続分布の場合、平均は
∫− ∞ ∞X へ (X ) dX
{ textstyle int _{-infty}^{infty}xf(x)，dx}

、 どこへ (X )
{ f(x)}

は確率密度関数です。分布が離散的でも連続的でもない場合を含め、すべての場合において、平均は、確率変数 に関する確率変数のルベーグ積分です。平均は存在する必要も、有限である必要もありません。確率分布によっては、平均が無限 ( +∞または−∞ ) である確率分布もあれば、平均が定義されていない分布も
一般化された手段編集

パワー平均
累乗平均またはヘルダー平均とも呼ばれる一般化平均は、二次平均、算術平均、幾何平均、および調和平均を抽象化したものです。これは、 n 個の正の数x iの集合に対して次のように定義されます。X ¯ ( メートル) =( 1n ∑ I = 1 nX I
メートル) 1
メートル
{ {bar {x}}(m)=left({frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}x_{i}^{m}right) ^{frac {1}{m}}}

パラメータmに異なる値を選択すると、次のタイプの平均が得られます。
リム
メートル ∞ { lim _{mto infty }}
大_X I
{ x_{i}}

リム
メートル 2 { lim _{mto 2}}

二次平均
リム
メートル 1 { lim _{mto 1}}

算術平均
リム
メートル 0 { lim _{mto 0}}

幾何平均
リム
メートル− 1
{ lim _{mto -1}}

調和平均
リム
メートル− ∞
{ lim _{mto -infty }}
小_X I
{ x_{i}}

f平均
これは、一般化されたf平均としてさらに一般化できます。X¯ = へ − 1( 1n ∑ I = 1 n へ (X I) )
{ {bar {x}}=f^{-1}left({{frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}{fleft(x_{ i}right)}}right)}

また、可逆fを適切に選択すると、次のようになります。へ (X ) =X
{ f(x)=x}

算術平均，へ (X ) = 1X
{ f(x)={frac {1}{x}}}

調和平均，へ (X ) =X
メートル
{ f(x)=x^{m}}

パワー平均、へ (X ) = で (X )
{ f(x)=ln(x)}

幾何平均。

加重算術平均
同じ母集団の異なるサイズのサンプルからの平均値を組み合わせたい場合は、加重算術平均 (または加重平均) が使用されます。
X¯ = ∑ I = 1 n w 私X
I¯ ∑ I = 1 n w I .
{ {bar {x}}={frac {sum _{i=1}^{n}{w_{i}{bar {x_{i}}}}{sum _{i =1}^{n}w_{i}}}.}

どこX I ¯
{ {bar {x_{i}}}}
と w I
{ w_{i}}

サンプルの平均とサイズ I { i}

それぞれ。他のアプリケーションでは、それらはそれぞれの値による平均への影響の信頼性の尺度を表します。

切り捨て平均
場合によっては、一連の数値に外れ値が含まれる場合があります (つまり、他の数値よりもはるかに低いまたははるかに高いデータ値)。多くの場合、外れ値はアーティファクトによって引き起こされた誤ったデータです。この場合、切り捨てられた平均を使用できます。これには、上端または下端のデータの特定の部分 (通常は両端で同量) を破棄し、残りのデータの算術平均を取得する必要が削除された値の数は、値の総数に対するパーセンテージで示されます。

四分位平均
四分位平均は、切り捨てられた平均の具体的な例です。これは、値の最低と最高の 4 分の 1 を除いた単純な算術平均です。
X¯ = 2 n ∑ I =
n4 1 3 4X I
{ {bar {x}}={frac {2}{n}};sum _{i={frac {n}{4}}+1}^{{frac {3} {4}}n}!!x_{i}}

値が順序付けられていると仮定すると、特定の重みのセットに対する加重平均の具体例にすぎません。

関数の平均
関数の平均
状況によっては、数学者は無限 (または数えられない) の値のセットの平均を計算する場合がこれは、平均値を計算するときに発生する可能性があります y 平均
{ y_{text{avg}}}

関数のへ (X )
{ f(x)}

. 直感的に、関数の平均は、曲線のセクションの下の面積を計算し、そのセクションの長さで割ると考えることができます。これは、方眼紙の正方形を数えることによって大まかに行うことができます。より正確には、積分によって行うことができます。積分式は次のように書きます。 y 平均( a b ) =1 − a ∫ a b へ (X ) dX
{ y_{text{avg}}(a，b)={frac {1}{ba}}int limits _{a}^{b}!f(x)，dx}

この場合、積分が確実に収束するように注意する必要がしかし、関数自体がいくつかの点で無限大になる傾向がある場合でも、平均は有限である可能性が

角度の平均と循環量
角度、時刻、およびその他の周期的な数量では、数値を加算または結合するために剰余算術が必要です。これらすべての状況で、一意の平均は存在しません。たとえば、真夜中の前後の 1 時間は、真夜中と正午の両方から等距離です。また、平均が存在しない可能性もカラー ホイールを考えてみましょう。すべての色のセットに意味はありません。このような状況では、どの平均が最も有用かを判断する必要がこれを行うには、平均化する前に値を調整するか、循環量の平均に特化したアプローチを使用します。

フレシェ平均
フレシェ平均は、表面またはより一般的にはリーマン多様体上の質量分布の「中心」を決定する方法を提供します。他の多くの手段とは異なり、フレシェ平均は、要素を必ずしも加算したり、スカラーで乗算したりできない空間で定義されます。ケルヒャー平均(Hermann Karcher にちなんで名付けられた)としても知られています。

スワンソンの法則
これは、適度に歪んだ分布の平均の近似値です。炭化水素探査で使用され、次のように定義されます。
メートル= 0.3 P 10 + 0.4 P 50 +0.3 P 90
{ m=0.3P_{10}+0.4P_{50}+0.3P_{90}}

ここで、P 10、P 50およびP 90は、分布の 10、50、および 90 パーセンタイルです。

他の意味
主なカテゴリー:手段
算術幾何平均
算術調和平均
セザーロ・ミーン
キシニ平均
反高調波平均
初等対称平均
幾何調和平均
総平均
ハインツ平均
ヘロン平均
同一平均
レーマー平均対数平均 移動平均
ノイマン・サンダー平均
準算術平均
二乗平均平方根(二次平均)
Rényi のエントロピー(一般化された f-mean )
球平均
Stolarsky平均
加重幾何平均
加重調和平均

こちらもご覧ください

 数学ポータル
中心傾向 中央値 モード
記述統計
尖度
平均の法則
平均値定理
モーメント (数学)
要約統計
テイラーの法則

ノート
^ 「エックスバー」と発音 ^ ギリシャ文字μ、「平均」を意味し、発音は /’mjuː/.

参考文献
^ アンダーヒル、LG。ブラッドフィールド d. (1998) Introstat ， Juta and Company Ltd. ISBN  0-7021-3838-X p. 181 ^
「平均 | 数学」 . 百科事典ブリタニカ。2020年8月21日閲覧。
^ 「AP 統計レビュー – 密度曲線と正規分布」 . 2015 年 4 月 2 日にオリジナルからアーカイブされました。2015年 3 月 16 日閲覧。
^ Weisstein、Eric W. 「人口平均」。mathworld.wolfram.com . 2020年8月21日閲覧。
^ Hurst A， Brown GC， Swanson RI （2000) Swanson’s 30-40-30 Rule. 米国石油地質学者会報 84(12) 1883-1891″

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