平均異常

Mean_anomaly
天力学では、平均偏差は、軌道を回る物体が近点を通過してから経過した楕円軌道の周期の割合であり、古典的な二体問題でその物体の位置を計算する際に使用できる角度として表されます。これは、架空の天体が、その楕円軌道にある実際の天体と同じ公転周期で一定の速度で円軌道を移動した場合に、その天体が持つ近心からの角距離です。
単位時間あたりの掃き出し面積
  楕円軌道の物体によって、そして
  円軌道（同じ軌道周期を持つ）の架空の物体によって。どちらも同じ時間に同じ面積を掃引しますが、掃引の角速度は楕円軌道では変化し、円軌道では一定です。表示されているのは、2 単位時間の平均異常と真の異常です。(見やすくするために、重ならない円軌道が図示されていることに注意してしたがって、同じ軌道周期を持つこの円軌道は、この楕円軌道では実際の縮尺では示され同じ周期の 2 つの軌道に対して縮尺が正しくなるためには、これらの軌道は交差する必要が)

コンテンツ
1 意味
2 数式
3 こちらもご覧ください
4 参考文献
5 外部リンク

意味
特定の天体が 1 周するのに必要な時間としてTを定義します。時間Tで、半径ベクトルは 2 πラジアン (360°) をスイープします。スイープの平均レートnは、次のようになります。n = 2 π T = 360 ∘
T { n={frac {，2，pi ，}{T}}={frac {，360^{circ }，}{T}}~，}

これは、単位時間あたりのラジアンまたは単位時間あたりの度の次元で、物体の平均角運動と呼ばれます。
体が近心にある時間としてτを定義します。上記の定義から、平均異常である新しい量Mを定義できます。M = n( t− τ
) { M=n，(t-tau )~，}

これは、任意の時間tでの近心からの角距離を示します。ラジアンまたは度の次元。
増加率nは一定の平均値であるため、平均偏差は、軌道ごとに 0 から 2 πラジアンまたは 0° から 360° まで一様に (直線的に) 増加します。物体が近心にあるときは 0 、アポセンターではπラジアン (180°)、 1 回転すると 2 πラジアン (360°) になります。任意の時点での平均異常値がわかっている場合は、 n⋅δtを単純に加算 (または減算) することで、任意の後の (または前の) 時点で計算できます。ここで、δtは小さな時間差を表します。
平均偏差は、物理オブジェクト間の角度を測定しません (近心またはアポセンター、または円軌道を除く)。これは単に、天体が近心点から軌道をどれだけ進んだかを示す便利な一様な尺度です。平均異常は、軌道に沿った位置を定義する 3 つの角度パラメーター (歴史的に「異常」として知られている) の 1 つであり、他の 2 つは偏心異常と真の異常です。

数式
平均異常Mは、偏心異常 Eと偏心 eからケプラーの方程式で計算できます。M = え − e
sin え . { M=Ee，sin E~.}

平均異常は、次のように頻繁に見られます。M = M 0 + n ( t − 0 )   { M=M_{0}+nleft(t-t_{0}right)~，}

ここで、M 0はエポックでの平均異常であり、t 0はエポックであり、軌道要素が参照される基準時間であり、近心通過時間であるτと一致する場合と一致しない場合が一連の軌道要素から楕円軌道内のオブジェクトの位置を見つける古典的な方法は、この方程式によって平均偏差を計算し、偏心偏差についてケプラーの方程式を解くことです。
ϖを近心の経度、基準方向からの近心までの角距離として定義します。平均経度としてℓを定義します。同じ参照方向からの物体の角距離であり、平均異常と同様に、物体が一様な角運動で動くと仮定します。したがって、平均異常もM = ℓ − ϖ .
{ M=ell -varpi ~.}

平均角運動も表現できます。n = μ a
3 { n={sqrt {{frac {mu }{;a^{3}，}}，}}~，}

ここで、μは物体の質量によって変化する重力パラメータであり、 aは軌道の長半径です。次に、平均異常を拡張できます。M = μ a 3( t− τ )
  { M={sqrt {{frac {mu }{;a^{3}，}}，}}，left(t-tau right)~，}

ここで、平均異常は、半径aの円上の均一な角運動を表し ます。
平均異常は、偏心異常を見つけてケプラーの式を使用することにより、偏心と真の異常 fから計算できます。これにより、ラジアンで次のようになります。M = atan2( −1 − e 2 sin f ， − e− cos f )+π − e 1 − e 2 in f + e コス へ { M=operatorname {atan2} left(- {sqrt {1-e^{2}}}sin f，- e-cos fright)+pi -e{frac {{sqrt {1-e^{2}}}sin f}{1+ecos f}}}

ここで、atan2 (y， x) は (0， 0) から (x， y) までの光線の x 軸からの角度で、y と同じ符号を持ちます。( Excelなどのスプレッドシートでは、引数がしばしば逆になることに注意して)
放物線と双曲線の軌道では、周期がないため、平均異常は定義されません。しかし、これらの場合、楕円軌道と同様に、アトラクタと軌道をたどるオブジェクトとの間の弦によって掃引される領域は、時間とともに直線的に増加します。双曲線の場合、ケプラー軌道の記事で説明されているように、角度の関数として経過時間を与える上記と同様の式があります (楕円の場合の真の異常) 。放物線の場合には別の式があり、焦点間の距離が無限大になるときの楕円または双曲の場合の制限の場合 –放物線の軌跡#ベイカーの方程式を参照して
平均異常は、級数展開としても表現できます: M = f + 2 ∑ n = 1 ∞ ( −1 ) n { 1 n + 1
− 2} β n sin
n f { M=f+2sum _{n=1}^{infty}(-1)^{n}{Big {}{frac {1}{n}}+{sqrt { 1-e^{2}}}{Big }}beta ^{n}sin {nf}}
と β = 1 − 1 − e 2 e { beta ={frac {1-{sqrt {1-e^{2}}}}{e}}}
M = へ − 2 e
sin へ + ( 3 4 e2 1 8e 4 ) in 2 f
−1 3e 3 sin 3 f+5 32e 4 sin 4 へ + 〇 e
5 ) { M=f-2，esin f+left({frac {3}{4}}e^{2}+{frac {1}{8}}e^{4}right )sin 2f-{frac {1}{3}}e^{3}sin 3f+{frac {5}{32}}e^{4}sin 4f+operatorname {mathcal {O}} left(e^{5}right)}

同様の式は、真の異常を平均異常に関して直接与えます: へ = M +( 2 e −1 4e 3 ) in M+5 4e 2 sin 2 M+13 12e 3 sin 3 M + O e
4 ) { f=M+left(2，e-{frac {1}{4}}e^{3}right)sin M+{frac {5}{4}}e^{2} sin 2M+{frac {13}{12}}e^{3}sin 3M+operatorname {mathcal {O}} left(e^{4}right)}

上記の方程式の一般的な定式化は、中心の方程式として書くことができます : へ = M + 2 ∑ s = 1∞ 1 s { J s( se ) + ∑ p = 1 ∞ β p ( Js − p( se ) + J s + p( se ) ) } sin( sM )
{ f=M+2sum _{s=1}^{infty}{frac {1}{s}}{Big {}J_{s}(se)+sum _{p =1}^{infty }beta ^{p}{big (}J_{sp}(se)+J_{s+p}(se){big )}{Big }}sin( sM)}

こちらもご覧ください
ケプラーの惑星運動の法則
平均経度
平均運動
軌道要素

参考文献
^ モンテンブルック、オリバー (1989). 実用的なエフェメリス計算。スプリンガー出版社。p。 44 . ISBN  0-387-50704-3.
^ Meeus， Jean (1991). 天文学的アルゴリズム。Willmann-Bell， Inc.、バージニア州リッチモンド。p。 182 . ISBN  0-943396-35-2.
^ スマート、WM (1977). 球体天文学の教科書(第 6 版)。ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ。p。113.ISBN _  0-521-29180-1.
^ Meeus (1991)， p. 183
^ スマート (1977)、p. 122
^ バリャド、デビッド A. （2001). アストロダイナミクスとアプリケーションの基礎(第 2 版)。カリフォルニア州エルセグンドー: Microcosm Press. pp.53–54。ISBN  1-881883-12-4.
^ スマート、WM (1953). 天体力学。英国ロンドン：Longmans、Green、および Co. p. 38.
^ ロイ、AE (1988). 軌道運動（第1版）。ブリストル、英国。ペンシルバニア州フィラデルフィア: A. ヒルガー。ISBN  0852743602.
^ ブラウワー、ダーク (1961). 天体力学の方法。エルゼビア。pp. 例: 77。

外部リンク
用語集エントリの異常、米国海軍天文台の天文年鑑オンラインでの意味”