平均曲率流 – 日本語百科事典辞書

Mean_curvature_flow
数学における微分幾何学の分野では、平均曲率フローは、リーマン多様体における超曲面の幾何学的フローの一例です(たとえば、3 次元ユークリッド空間における滑らかな表面)。直観的に、表面上の点が移動する速度の法線成分が表面の平均曲率によって与えられる場合、表面のファミリーは平均曲率の流れの下で展開します。たとえば、丸い球平均曲率フローの下で、均一に内側に収縮することによって進化します (球の平均曲率ベクトルが内側を向いているため)。特別な場合を除いて、平均曲率の流れは特異点を生じます。
封入された体積が一定であるという制約の下では、これは表面張力流れと呼ばれます。
これは放物型偏微分方程式であり、「平滑化」と解釈できます。
コンテンツ
1 存在と独自性
2 収束定理
3 物理的な例
4 プロパティ
5 三次元曲面の平均曲率流
6 例: m次元球の平均曲率フロー
7 参考文献

存在と独自性
以下は、Michael GageとRichard S. Hamiltonによって、放物型幾何学的フローに対するハミルトンの一般的な存在定理の適用として示されました。
させて M { M}
$M""$
をコンパクトで滑らかな多様体とする ( M 」 g ) { (M’，g)}

を完全な滑らかなリーマン多様体とし、へ : M M 」
{ f:Mto M’}

スムーズな浸漬になります。次に、正の数があります T { T}

、無限になる可能性があり、マップふ :
[ 0 T) × M M 」
{ F:[0，T)times Mto M’}

次のプロパティを使用します。ふ ( 0 ⋅) = へ
{ F(0，cdot )=f}
ふ ( t ⋅) : M M 」
{ F(t，cdot ):Mto M’}

どんな人でもスムーズに没頭できますt ε
[ 0 T ) { tin [0，T)}

なのでt ↘
0 { tsearrow 0，}
るふ( t ⋅) へ
{ F(t，cdot )to f}
ハ ∞ { C^{infty }}

任意の( t0 p ) ε( 0 T) × M
{ (t_{0}，p)in (0，T)times M}

、曲線の導関数t ↦ ふ( t p ) { tmapsto F(t，p)}
t 0 { t_{0}}

の平均曲率ベクトルに等しいふ ( t
0 ⋅ ) { F(t_{0}，cdot )}
p
{ p}
. もしもふ〜 :
[ 0 T〜 ) × M M 」
{ {widetilde {F}}:[0，{widetilde {T}})times Mto M’}

は上記の 4 つのプロパティを持つその他のマップであり、T ≤ T 〜
{ Tleq {widetilde {T}}}

とふ〜( t p) = ふ( t p ) { {widetilde {F}}(t，p)=F(t，p)}

任意の( t p) ε
[ 0 T〜 ) × M .
{ (t，p)in [0，{widetilde {T}})times M.}

必然的に、ふ { F}
( 0 T) × M
{ (0，T)times M}
はハ ∞
{ C^{infty }}
. 一つはふ { F}

初期データを使用した (最大拡張) 平均曲率フローとしてへ { f}

.

収束定理
ハミルトンの 1982 年のリッチフローに関する画期的な研究に続いて、1984 年にGerhard Huiskenは平均曲率フローに同じ方法を使用して、次の類似の結果を生成しました。
もしも ( M 」 g ) { (M’，g)}

ユークリッド空間ですR n + 1
{ mathbb {R} ^{n+1}}

、どこn ≥ 2
{ ngeq 2}

の次元を示します M { M}

、それから T { T}

は必ず有限です。「初期浸漬」の第 2 の基本形式がへ { f}

が厳密に正の場合、浸漬の 2 番目の基本形式ふ ( t ⋅ ) { F(t，cdot )}

また、すべてに対して厳密に正です。t ε( 0 T ) { tin (0，T)}

、さらに関数を選択した場合c 🙁 0 T ) ( 0 ∞ ) { c:(0，T)to (0，infty )}

リーマン多様体の体積( M ( c( t) ふ( t ⋅) ) ∗ g
ユーク ) { (M，(c(t)F(t，cdot ))^{ast}g_{text{Euc}})}

から独立している t { t}

、次にt ↗ T
{ tnarrow T}

イマージョン c ( t) ふ( t ⋅) : M R n + 1
{ c(t)F(t，cdot ):Mto mathbb {R} ^{n+1}}

そのイメージの没入感にスムーズに収束するR n + 1
{ mathbb {R} ^{n+1}}

丸い球です。
場合に注意してくださいn ≥ 2
{ ngeq 2}
とへ : M R n + 1
{ f:Mto mathbb {R} ^{n+1}}

は、第 2 基本形式が正である滑らかな超曲面液浸であり、ガウス写像ν : M S n
{ nu :Mto S^{n}}

は微分同相であるため、最初から M { M}

に微分同相であるS n
{ S^{n}}

そして、基本的な微分トポロジーから、上記で考慮されたすべての没入は埋め込みです。
Gage と Hamilton は、Huisken の結果をケースに拡張しました。n = 1
{ n=1}

. Matthew Grayson (1987) は、もしへ : S 1 R 2
{ f:S^{1}to mathbb {R} ^{2}}

は任意の滑らかな埋め込みであり、初期データを使用した平均曲率フローへ { f}

最終的には、厳密に正の曲率を持つ埋め込みのみで構成され、その時点でゲージとハミルトンの結果が適用されます。要約すると:
もしもへ : S 1 R 2
{ f:S^{1}to mathbb {R} ^{2}}

滑らかな埋め込みである場合、平均曲率フローを考慮してくださいふ :
[ 0 T) × S 1 R 2
{ F:[0，T)times S^{1}to mathbb {R} ^{2}}

初期データありへ { f}

. それでふ ( t ⋅) : S 1 R 2
{ F(t，cdot ):S^{1}to mathbb {R} ^{2}}

すべてのスムーズな埋め込みですt ε( 0 T ) { tin (0，T)}

そして存在するt 0 ε( 0 T ) { t_{0}in (0，T)}

そのようなふ ( t ⋅) : S 1 R 2
{ F(t，cdot ):S^{1}to mathbb {R} ^{2}}

すべてに対して正の (外因性) 曲率がt ε( t0 T )
{ tin (t_{0}，T)}

. 機能を選択すると c { c}

Huisken の結果のように、t ↗ T
{ tnarrow T}

埋め込み c ( t) ふ( t ⋅) : S 1 R 2
{ c(t)F(t，cdot ):S^{1}to mathbb {R} ^{2}}

イメージが丸い円である埋め込みにスムーズに収束します。

物理的な例
平均曲率流の最もよく知られている例は、石鹸膜の進化です。同様の 2 次元現象は、水面上の油滴であり、ディスク (円形境界) に進化します。
平均曲率流は、純金属のアニーリングにおける粒界形成のモデルとして最初に提案されました。

プロパティ
平均曲率フローは表面積を極値化し、最小サーフェスは平均曲率フローの臨界点です。最小値は、等周問題を解きます。
ケーラー・アインシュタイン多様体に埋め込まれた多様体の場合、表面がラグランジュ部分多様体の場合、平均曲率フローはラグランジュ型であるため、表面はラグランジュ部分多様体のクラス内で進化します。
Huisken の単調性公式は、平均曲率流を受ける表面を持つ時間反転熱核の畳み込みの単調性特性を与えます。
関連するフローは次のとおりです。
Curve-shortening flow、平均曲率流の一次元の場合
表面張力の流れ
ラグランジュ平均曲率フロー
逆平均曲率フロー

三次元曲面の平均曲率流
によって与えられる表面の平均曲率流の微分方程式ぜ = S(X y ) { z=S(x，y)}

によって与えられます
∂ S ∂t = 2 D H(X y) 1 +( ∂S ∂X )2 ( ∂S ∂ y ) 2
{ {frac {partial S}{partial t}}=2D H(x，y){sqrt {1+left({frac {partial S}{partial x}}右)^{2}+left({frac {partial S}{partial y}}right)^{2}}}}
と D
{ D}

はサーフェス法線の曲率と速度に関連する定数であり、平均曲率はH (X ， y )=1 2(1 +( ∂S ∂ x ) 2 ) ∂
2S ∂ y
2− 2 ∂ S ∂ x ∂ S ∂y ∂
2S ∂ x ∂ y + (1 +( ∂S ∂ y ) 2 ) ∂
2S ∂ x
2(1 +( ∂S ∂ x ) 2 +( ∂S ∂ y ) 2
)3 2 . { {begin{aligned}H(x，y)&={frac {1}{2}}{frac {left(1+left({frac {partial S}{partial) x}}right)^{2}right){frac {partial ^{2}S}{partial y^{2}}}-2{frac {partial S}{partial x} }{frac {partial S}{partial y}}{frac {partial ^{2}S}{partial xpartial y}}+left(1+left({frac {部分 S}{部分 y}}right)^{2}right){frac {部分 ^{2}S}{部分 x^{2}}}{left(1+left ({frac {partial S}{partial x}}right)^{2}+left({frac {partial S}{partial y}}right)^{2}right) ^{3/2}}}.end{整列}}}

限界で
| |∂ S X
| |≪ 1
{ left|{frac {partial S}{partial x}}right|ll 1}
と | |∂ S
∂ y | |≪ 1
{ left|{frac {partial S}{partial y}}right|ll 1}

、そのため、表面はほぼ平面で、その法線は z 軸にほぼ平行であり、これは拡散方程式に還元されます。∂ S
∂t = D ∇ 2 S
{ {frac {partial S}{partial t}}=D nabla ^{2}S}

従来の拡散方程式は線形放物型偏微分方程式であり、特異点は発生しませんが (時間の前に実行した場合)、平均曲率流は非線形放物型方程式であるため、特異点が発生する可能性が一般に、平均曲率フローの下で特異点を防止するには、サーフェスに追加の制約を適用する必要が
すべての滑らかな凸面は、他の特異点なしで平均曲率流の下の点に崩壊し、そうするにつれて球の形状に収束します。2 次元以上の曲面の場合、これはGerhard Huiskenの定理です。 1 次元の曲線短縮フローについては、ゲージ–ハミルトン–グレイソンの定理です。ただし、球体以外の 2 つ以上の次元の埋め込まれたサーフェスが存在し、それらが平均曲率フローの下のポイントに収縮する際に自己相似のままであり、これにはAngenent トーラスが含まれます。

例: m次元球の平均曲率フロー
平均曲率の流れの簡単な例は、同心円状超球のファミリによって与えられます R メートル+ 1
{ mathbb {R} ^{m+1}}

. の平均曲率
メートル
{ m}

半径の次元球 R { R}
は H =
メートル/ R
{ H=m/R}
. 球体の回転対称性により (または一般に、等尺性の下での平均曲率の不変性により)、平均曲率の流れの方程式∂ t
ふ= − H ν
{ partial _{t}F=-Hnu }

半径の初期球体について、常微分方程式に還元されます。R 0
{ R_{0}}
dd t R( t) = −
メートル R ( t )R ( 0) = R 0 .
{ {begin{aligned}{frac {text{d}}{{text{d}}t}}R(t)&=-{frac {m}{R(t)}} ，\R(0)&=R_{0}.end{整列}}}

この ODE の解 (たとえば、変数の分離によって得られる) は、 R ( t) =
R0 2 2
メートル t { R(t)={sqrt {R_{0}^{2}-2mt}}}
のために存在するt ε( −
∞ R0 2/ 2
メートル ) { tin (-infty ，R_{0}^{2}/2m)}

.

参考文献
^ ゲージ、M.; ハミルトン、RS (1986)。「凸面曲線を縮小する熱方程式」 . J.ディファレンシャルジオメトリ。23 (1): 69–96. ドイ: 10.4310/jdg/1214439902 . ^ ハミルトン、リチャード S. (1982). 「正のリッチ曲率を持つ 3 つの多様体」。微分幾何学ジャーナル。17 (2): 255–306. ドイ: 10.4310/jdg/1214436922 .
^ Huisken， Gerhard (1984). 「球への凸面の平均曲率による流れ」。J.ディファレンシャルジオメトリ。20 (1): 237–266. ドイ: 10.4310/jdg/1214438998 .
^ グレイソン、マシュー A. (1987). 「熱方程式は、埋め込まれた平面曲線を丸みを帯びた点に縮小します」 . J.ディファレンシャルジオメトリ。26 (2): 285–314. ドイ: 10.4310/jdg/1214441371 .
^ Huisken， Gerhard (1990)， “”平均曲率流の特異点に対する漸近挙動” ， Journal of Differential Geometry ， 31 (1): 285–299， doi : 10.4310/jdg/1214444099 ， hdl : 11858/00-001M- 0000-0013-5CFD-5、MR 1030675 . ^ Angenent、Sigurd B. (1992)、「Shrinking donuts」(PDF)、非線形拡散方程式とその平衡状態、3 (Gregynog、1989)、Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications、vol. 7、ボストン、マサチューセッツ州: ビルクホイザー、pp. 21–38、MR 1167827
. ^ Ecker、Klaus （2004)、平均曲率流の規則性理論、非線形微分方程式の進歩とその応用、vol. 57， Boston， MA: Birkhauser， doi : 10.1007/978-0-8176-8210-1 ， ISBN 0-8176-3243-3、MR 2024995.
Ecker、Klaus （2004)、平均曲率流の規則性理論、非線形微分方程式の進歩とその応用、vol. 57， Boston， MA: Birkhauser， doi : 10.1007/978-0-8176-8210-1 ， ISBN 0-8176-3243-3、MR 2024995.
Mantegazza、Carlo （2011)、Lecture Notes on Mean Curvature Flow、Progress in Mathematics、vol. 290、バーゼル: Birkhäuser/Springer、doi : 10.1007/978-3-0348-0145-4、ISBN 978-3-0348-0144-7、MR 2815949.
ルー、コンリン。曹操、ヤン; Mumford、David （2002)、「曲率フローの下での表面進化」、Journal of Visual Communication and Image Representation、13 (1–2): 65–81、doi : 10.1006/jvci.2001.0476、S2CID 7341932. 特に式 3a および 3b を参照して”