Mean_dimension
数学では、位相動的システムの平均(位相)次元は、システムの複雑さの尺度である非負の拡張実数です。平均次元は、1999 年にGromovによって初めて導入されました。 LindenstraussとWeissによって体系的に開発され、研究された直後。特に、彼らは次の重要な事実を証明しました: 有限の位相エントロピーを持つシステム平均次元はゼロです。無限の位相エントロピーを持つさまざまな位相動的システムの場合、平均次元を計算するか、少なくとも上下から境界を付けることができます。これにより、平均次元を使用して、無限の位相エントロピーを持つシステムを区別できます。平均次元は、シフト空間(ユークリッド キューブ上)に位相動的システムを埋め込む問題にも関連しています。
コンテンツ
1 一般的な定義
2 メートル法の場合の定義
3 プロパティ
4 例
5 こちらもご覧ください
6 参考文献
7 外部リンク
一般的な定義
コンパクトなハウスドルフ位相空間からなる位相力学系X
{ textstyle X}
と継続的なセルフマップT :X X
{ textstyle T:Xrightarrow X}
. させて 〇 { textstyle {mathcal {O}}}
の開いた有限カバーの集合を表すX
{ textstyle X}
. 為にα ε 〇
{ textstyle alpha in {mathcal {O}}}
その順序を定義する
順序( α) =
最大XεX ∑ う ε α 1 う (X )− 1
{ operatorname {ord} (alpha )=max _{xin X}sum _{Uin alpha }1_{U}(x)-1}
開いた有限カバー β { textstyle beta }
精製する α { textstyle alpha }
、表記β ≻ α
{ textstyle beta succ alpha }
、すべての場合Ⅴ ε β
{ textstyle Vin beta }
、 があるう ε α
{ textstyle Uin alpha }
となることによってⅤ ⊂ う
{ textstyle Vsubset U}
. させて D ( α) = 分 β ≻ α
順序( β ) { D(alpha )=min _{beta succ alpha }operatorname {ord} (beta )}
この定義に関して、ルベーグ被覆次元は次のように定義されることに注意して
薄暗いL e b (X ) =
すするα ε 〇 D( α ) { dim _{mathrm {Leb} }(X)=sup _{alpha in {mathcal {O}}}D(alpha )}
. させて
α β
{ textstyle alpha ，beta }
の有限カバーを開くX
{ textstyle X}
. の結合 α { textstyle alpha }
と β
{ textstyle beta }
は、フォームのすべてのセットによる開いた有限カバーです。あ ∩ B
{ textstyle Acap B}
どこあ ε α
{ textstyle Ain alpha }
Bε β
{ textstyle Bin beta }
. 同様に、結合を定義できます
⋁I = 1 n α I
{ textstyle bigvee _{i=1}^{n}alpha _{i}}
のオープンカバーの有限コレクションのX
{ textstyle X}
. 平均次元は非負の拡張実数です。
薄暗い(X T) =
すするα ε 〇
リムn ∞ D( αn ) n
{ operatorname {mdim} (X，T)=sup _{alpha in {mathcal {mathcal {O}}}}lim _{nrightarrow infty}{frac {D( α^{n})}{n}}}
どこ
αn = ⋁ I = 0 n − 1T − I α .
{ textstyle alpha ^{n}=bigvee _{i=0}^{n-1}T^{-i}alpha .}
メートル法の場合の定義
コンパクトなハウスドルフ位相空間ならばX
{ textstyle X}
計量可能であり、 d { textstyle d}
は互換性のあるメトリックであり、同等の定義を与えることができます。為にε > 0
{ textstyle varepsilon >0}
0}””>
、 させて
ウィディム ε (X d ) { textstyle operatorname {Widim} _{varepsilon }(X，d)}
負でない最小の整数 n { textstyle n}
開いた有限カバーが存在するようにX
{ textstyle X}
より小さい直径のセットによって ε { textstyle varepsilon }
そのようなn + 2
{ textstyle n+2}
このカバーからの別個のセットには、空の交差がこの定義に関して、ルベーグ被覆次元は次のように定義されることに注意して
薄暗いL e b (X ) =
すするε > 0
ウィディム ε (X d ) { textstyle dim _{mathrm {Leb} }(X)=sup _{varepsilon >0}operatorname {Widim} _{varepsilon }(X，d)}
0}operatorname {Widim} _{varepsilon }(X，d)}””>
. させてd n(X y) =
最大0 ≤ I ≤ n − 1 d ( T 私X TI y )
{ d_{n}(x，y)=max _{0leq ileq n-1}d(T^{i}x，T^{i}y)}
平均次元は非負の拡張実数です。
薄暗い(X d) =
すするε > 0
リムn ∞
ウィディム ε (X dn ) n
{ operatorname {mdim} (X，d)=sup _{varepsilon >0}lim _{nrightarrow infty}{frac {operatorname {Widim} _{varepsilon }(X， d_{n})}{n}}}
0}lim _{nrightarrow infty }{frac {operatorname {Widim} _{varepsilon }(X，d_{n})}{n}}}””>
プロパティ
平均次元は、値を取る位相動的システムの不変量です。
{ textstyle }
. システムのルベーグ被覆次元が有限である場合、その平均次元はゼロになります。つまり、
薄暗いL e b (X ) 薄暗い(X T) = 0
{ textstyle dim _{mathrm {Leb} }(X)
薄暗いt o p(X T) 薄暗い(X T) = 0
{ textstyle dim _{mathrm {top} }(X，T)
.
例
させてd ε N
{ textstyle din mathbb {N} }
. させてX = ( d) Z
{ textstyle X=(^{d})^{mathbb {Z} }}
と T :X X
{ textstyle T:Xrightarrow X}
シフト同相である( … X− 2 X − 1 X X 1 X
2 … ) ( … X− 1 X 0 X X 2 X
3 … ) { textstyle (ldots ，x_{-2}，x_{-1}，mathbf {x_{0}} ，x_{1}，x_{2}，ldots )rightarrow (ldots ，x_ {-1}，x_{0}，mathbf {x_{1}}，x_{2}，x_{3}，ldots )}
、 それから
薄暗い(X T) = d
{ textstyle operatorname {mdim} (X，T)=d}
.
こちらもご覧ください
次元論
位相エントロピー
普遍空間(トポロジーとトポロジー ダイナミクス)
参考文献
^ Gromov， Misha (1999). 「力学系の位相不変量と正則写像の空間 I」 . 数理物理学、解析学、幾何学。2 (4): 323–415。ドイ: 10.1023/A:1009841100168 . S2CID 117100302 .
^ リンデンシュトラウス、イーロン。Weiss、Benjamin （2000-12-01)。p。14. 「平均位相次元」 . 数学のイスラエル ジャーナル。115 (1): 1–24. CiteSeerX 10.1.1.30.3552 . ドイ: 10.1007/BF02810577 . ISSN 0021-2172 .
アドラー、R。Downarowicz、T。Misiurewicz、M.（2008）。「位相エントロピー」 . スカラペディア。3 (2): 2200。ビブコード: 2008SchpJ…3.2200A。doi : 10.4249/scholarpedia.2200 .
外部リンク
平均寸法とは何ですか?”