Mean_inter-particle_distance
「平均粒子間距離」 –
平均粒子間距離(または平均粒子間距離) は、巨視的な物体内の微視的な粒子 (通常は原子または分子) 間の平均距離です。
コンテンツ
1 あいまいさ
2 理想気体
2.1 最近傍分布 2.2 平均距離と高モーメント
3 参考文献
4 こちらもご覧ください
あいまいさ
非常に一般的な考慮事項から、平均粒子間距離は、粒子ごとの体積のサイズに比例します。1 / n
{ 1/n}
、つまり、⟨ r ⟩ ～ 1 / n1
3 { langle rrangle sim 1/n^{1/3}，}
どこn = N / Ⅴ
{ n=N/V}
は粒子密度です。ただし、理想気体モデルなどのいくつかの単純なケースを除けば、比例係数の正確な計算は解析的に不可能です。そのため、近似式がよく使われます。そのような推定の 1 つに、ウィグナー・ザイツ半径が 3 4 π n )1 3 { left({frac {3}{4pi n}}right)^{1/3}，}
これは、粒子ごとの体積を持つ球の半径に対応します1 / n
{ 1/n}
. 別の一般的な定義は1 /
n1 3
{ 1/n^{1/3}}
パーティクルごとの体積を持つ立方体のエッジの長さに対応する1 / n
{ 1/n}
. 2 つの定義は、約 1 倍異なります。 1.61 { 1.61}
であるため、アーティクルがパラメーターを正確に定義していない場合は注意が必要です。一方、このような数値要因が無関係であるか、重要でない役割を果たしている定性的なステートメントでよく使用されます。
「位置エネルギー … は粒子間距離 r の n 乗に比例する」 (ビリアル定理)
「粒子間距離は 熱ドブロイ波長よりもずっと大きい」 (運動論)
理想気体
最近傍分布
理想気体における NN 距離の PDF。
最近傍 (NN) 粒子までの距離の確率分布関数を計算します。(この問題は、Paul Hertzによって最初に検討されました。現代の派生については、などを参照してください) N { N}
体積を持つ球の中の粒子 Ⅴ { V}
、 となることによってn = N / Ⅴ
{ n=N/V}
. 理想気体内の粒子は相互作用しないため、別の粒子から特定の距離にある粒子を見つける確率は、他の点から同じ距離にある粒子を見つける確率と同じであることに注意して球の中心を使用します。
離れたところにある NN 粒子 r { r}
のいずれかを意味します。 N { N}
粒子はその距離に存在し、残りはN − 1
{ N-1}
粒子はより大きな距離につまり、半径の球の外側のどこかに r { r}
. 間の原点からの距離で粒子を見つける確率 r { r}
と r + d r
{ r+dr}
は ( 4π r 2 / Ⅴ ) d r
{ (4pi r^{2}/V)dr}
、さらに N { N}
どの粒子を選択するかはさまざまな方法がありますが、その球の外側にある粒子を見つける確率は1 − 4 π r 3 / 3 Ⅴ
{ 1-4pi r^{3}/3V}
. そのとき求められる表現はP N( r) d r = 4 π r 2 d
rN Ⅴ (1 − 4 π 3 r 3/ V ) N − 1 = 3 a ( ra) 2 d r (1 − ( r a)3 1N ) N − 1
{ P_{N}(r)dr=4pi r^{2}dr{frac {N}{V}}left(1-{frac {4pi}{3}}r^ {3}/Vright)^{N-1}={frac {3}{a}}left({frac {r}{a}}right)^{2}drleft(1 -left({frac {r}{a}}right)^{3}{frac {1}{N}}right)^{N-1}，}
代用したところ1 Ⅴ=3 π N a 3 .
{ {frac {1}{V}}={frac {3}{4pi Na^{3}}}.}
ご了承ください a { a}
はウィグナー・ザイツ半径です。最後に、N ∞
{ Nrightarrow infty }
制限と使用
リムX∞ 1 + 1X )X= e { lim _{xrightarrow infty}left(1+{frac {1}{x}}right)^{x}=e}
、 私達は手に入れました P ( r) = 3 a( ra) 2 e − ( r /a) 3 .
{ P(r)={frac {3}{a}}left({frac {r}{a}}right)^{2}e^{-(r/a)^{3 }}，.}
すぐに確認できる∫ 0 ∞ P( r) d r = 1 .
{ int _{0}^{infty}P(r)dr=1，.}
分布のピークは r ピーク= (2 / 3
)1 3a ≒ 0.874 a .
{ r_{text{peak}}=left(2/3right)^{1/3}a約 0.874a，.}
平均距離と高モーメント⟨ r k ⟩ = ∫ 0 ∞ P( r) r k d r = 3 a k∫ 0 ∞ x k + 2 e
− 3
x { langle r^{k}rangle =int _{0}^{infty}P(r)r^{k}dr=3a^{k}int _{0}^{infty }x^{k+2}e^{-x^{3}}dx，，}
または、t =X 3
{ t=x^{3}}
置換、⟨ r k ⟩ = a k ∫ 0
∞t k 3 e − t d t = ak Γ( 1+ k 3
) { langle r^{k}rangle =a^{k}int _{0}^{infty}t^{k/3}e^{-t}dt=a^{k}ガンマ (1+{frac {k}{3}})，，}
どこ Γ { ガンマ}
はガンマ関数です。したがって、⟨ r k ⟩ = a k Γ( 1+ k 3 ) .
{ langle r^{k}rangle =a^{k}Gamma (1+{frac {k}{3}})，.}
特に、⟨ r ⟩ = a Γ( 43 ) = a 3 Γ( 13 ) ≒ 0.893 a .
{ langle rrangle =aGamma ({frac {4}{3}})={frac {a}{3}}Gamma ({frac {1}{3}})約 0.893a，.}
参考文献
^ ヘルツ、ポール (1909). “Uber den gegenseitigen durchschnittlichen Abstand von Punkten， die mit bekannter mittlerer Dichte im Raume angeordnet sind”. 数学アナレン。67 (3): 387–398. ドイ：10.1007/BF01450410。ISSN 0025-5831 . S2CID 120573104 .
^ Chandrasekhar、S. (1943-01-01). 「物理学と天文学における確率問題」。現代物理学のレビュー。15 (1): 1–89. ビブコード: 1943RvMP…15….1C . 土井: 10.1103/RevModPhys.15.1 .
こちらもご覧ください
ウィグナー・ザイツ半径”