Mean_of_a_function
「関数の平均」
微積分、特に多変数微積分では、関数の平均は、その定義域における関数の平均値として大まかに定義されます。1 つの変数では、区間( a ， b )にわたる関数f ( x )の平均は次のように定義されます。
へ ¯ =1 − a ∫ a b へ (X ) dX . { {bar {f}}={frac {1}{ba}}int _{a}^{b}f(x)，dx.}
平均値の定義プロパティであることを思い出してy ¯
{ {bar {y}}}
有限数のy 1 y
2 … y n { y_{1}，y_{2}，dots ，y_{n}}
それですかn y ¯ = y1 y2 ⋯ + y n { n{bar {y}}=y_{1}+y_{2}+cdots +y_{n}}
. 言い換えると、y ¯
{ {bar {y}}}
それ自体に加算されるときの定数値です n { n}
回は、を加算した結果に等しい n { n}
条項 y 1 … y n { y_{1}，dots ，y_{n}}
. 類推すると、平均値の定義特性へ ¯
{ {bar {f}}}
区間にわたる関数の
{ }
それですか∫ a b へ ¯ dX = ∫ ab へ (X ) dX
{ int _{a}^{b}{bar {f}}，dx=int _{a}^{b}f(x)，dx}
言い換えると、へ ¯
{ {bar {f}}}
積分したときの定数値
{ }
積分の結果に等しいへ (X )
{ f(x)}
以上
{ }
. しかし、定数の積分へ ¯
{ {bar {f}}}
ただです∫ a b へ ¯ dX = へ ¯X
| |a b = へ ¯ b − へ ¯a =( b− a ) へ ¯
{ int _{a}^{b}{bar {f}}，dx={bar {f}}x{bigr |}_{a}^{b}={bar { f}}b-{bar {f}}a=(ba){bar {f}}}
積分 の最初の平均値の定理も参照して へ { f}
が連続なら点が存在するc ε( a b ) { cin (a，b)}
そのような∫ a b へ (X ) dX = へ( c ) ( b− a )
{ int _{a}^{b}f(x)，dx=f(c)(ba)}
ポイント へ ( c ) { f(c)}
の平均値と呼ばれるへ (X )
{ f(x)}
の上
{ }
. だから私たちは書くへ ¯ = へ( c ) { {bar {f}}=f(c)}
上記の定義を取得するために前の式を並べ替えます。
いくつかの変数では、ユークリッド空間の比較的コンパクトな ドメイン Uの平均は次のように定義されます。
へ¯ = 1 巻( う) ∫ う へ .
{ {bar {f}}={frac {1}{{hbox{Vol}}(U)}}int _{U}f.}
これは算術平均を一般化します。一方、fの幾何平均を次のように定義することにより、幾何平均を関数に一般化することもできます。
指数 1 巻( う ) ∫う グ へ ) . { exp left({frac {1}{{hbox{Vol}}(U)}}int _{U}log fright)}
より一般的には、測度理論と確率理論では、どちらの種類の平均も重要な役割を果たします。この文脈では、ジェンセンの不等式は、関数の平均に関するこれら 2 つの異なる概念の間の関係を明確に推定します。
関数の調和平均と、関数の2 次平均(または二乗平均平方根) も
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平均