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循環平均

( コスαsin α )
{ (cos alpha ，sin alpha )}

. つまり、極座標をデカルト座標に変換します。次に、これらの点の算術平均を計算します。結果の点は単位円盤内にありますが、通常は単位円上にはありません。その点を極座標に戻します。角度は、入力角度の妥当な平均です。すべての角度が等しい場合、結果の半径は 1 になります。角度が円上で均一に分布している場合、結果の半径は 0 になり、円の平均はありません。(実際、円で連続平均演算を定義することは不可能です。) 言い換えれば、半径は角度の集中を測定します。
角度を考えると α 1 … α n { alpha _{1}，dots ，alpha _{n}}

逆正接関数のatan2バリアントを使用した平均の一般的な式は次のとおりです。
α¯ = atan2 1 n ∑ j = 1 n sin αj 1 n ∑ j = 1 n ス αj )= atan2 ( ∑j = 1 n
sin αj∑ j = 1 n ス α j )
{ {bar {alpha }}=operatorname {atan2} left({frac {1}{n}}sum _{j=1}^{n}sin alpha _{j} ，{frac {1}{n}}sum _{j=1}^{n}cos alpha _{j}right)=operatorname {atan2} left(sum _{j=1 }^{n}sin alpha _{j}，sum _{j=1}^{n}cos alpha _{j}right)}

複雑な演算の使用
同等の定義は、複素数を使用して定式化できます。
α¯ =
引数 1 n ∑ j = 1 n 数( I ⋅ αj) ) = 引数( ∑j = 1 n 数( I ⋅ αj) )
{ {bar {alpha }}=arg left({frac {1}{n}}sum _{j=1}^{n}exp(icdot alpha _{j })right)=arg left(sum _{j=1}^{n}exp(icdot alpha _{j})right)}
. ポイントの算術平均を使用して上記の導出を一致させるには、合計を次のように割る必要が n { n}

. ただし、スケーリングは重要ではありません atan2 { operatorname {atan2} }
と引数
{ arg }

ですので、省略可能です。
これは、方向データが実際には単位長のベクトルであることを理解することによって、より簡潔に述べることができます。1 次元データの場合、これらのデータポイントは、単位の大きさの複素数として便利に表すことができます。ぜ =
コス( θ) + I
sin ( θ) = e I θ
{ z=cos(theta )+i，sin(theta )=e^{itheta }}

、どこ θ { theta }

は測定角度です。サンプルの平均合成ベクトルは次のようになります。
ρ¯ = 1 N ∑ n = 1 Nぜ n .
{ {overline {mathbf {rho } }}={frac {1}{N}}sum _{n=1}^{N}z_{n}.}

サンプルの平均角度は、結果の平均の引数です。θ ¯ =
引数( ρ¯ ) .
{ {overline {theta }}=operatorname {Arg} ({overline {mathbf {rho } }}).}

サンプル平均合成ベクトルの長さは次のとおりです。R ¯ =
| |
ρ ¯ | |
{ {overline {R}}=|{overline {mathbf {rho } }}|}

0 から 1 の間の値になります。したがって、サンプル平均合成ベクトルは次のように表すことができます。
ρ¯ = R ¯ e I θ ¯ . { {overline {mathbf {rho } }}={overline {R}}，e^{i{overline {theta }}}.}

循環分散の定義にも同様の計算が使用されます。

プロパティ
循環平均α ¯
{ {bar {alpha }}}

フォンミーゼス分布の平均パラメーターの尤度を最大化し、
より正確には、円上の特定の距離の合計を最小化しますα ¯ =
アルグミンβ ∑ j = 1 n d (α
j β
) どこ d ( φ β) = 1 −
コス( φ− β ) .
{ {bar {alpha }}={underset {beta}{operatorname {argmin} }}sum _{j=1}^{n}d(alpha _{j}，beta )，{text{ ここで }}d(varphi ，beta )=1-cos(varphi -beta )}

距離 d ( φ β ) { d(varphi ，beta )}

に関連付けられた単位円上の 2 点間の 2乗ユークリッド距離の半分に等しい φ { varphi }

と β { beta }

.

例
一連の角度 (間隔 [0°， 360°) 内) の平均を計算する簡単な方法は、各角度のコサインとサインの平均を計算し、逆タンジェントを計算して角度を取得することです。例として、10 度、20 度、30 度の 3 つの角度を考えてみましょう。直観的に、平均を計算するには、これら 3 つの角度を足し合わせて 3 で割ることが必要です。この場合、実際に正しい平均角度は 20 度になります。このシステムを反時計回りに 15 度回転させると、3 つの角度は 355 度、5 度、15 度になります。算術平均は 125 度になりましたが、これは間違った答えです。5 度である必要がベクトル平均θ ¯
{textstyle {bar {theta }}}

平均正弦を使用して、次の方法で計算できます。s ¯
{textstyle {bar {s}}}

と平均余弦c ¯ ≠ 0
{textstyle {bar {c}}not =0}
: s ¯ =1 3( sin ( 355∘ ) +
sin ( 5∘ ) +
sin ( 15∘ ) ) =1 3 ( −0.087 + 0.087 + 0.259 ) ≒ 0.086
{ {bar {s}}={frac {1}{3}}(sin(355^{circ })+sin(5^{circ })+sin(15^{ circ }))={frac {1}{3}}(-0.087+0.087+0.259)約 0.086}

c ¯ =1 3( コス( 355∘ ) +
コス( 5∘ ) +
コス( 15∘ ) ) =1 3 ( 0.996+ 0.996 + 0.966 ) ≒ 0.986
{ {bar {c}}={frac {1}{3}}(cos(355^{circ })+cos(5^{circ })+cos(15^{ circ }))={frac {1}{3}}(0.996+0.996+0.966)約 0.986}

θ¯ = { アークタン( s¯ c ¯ ) s ¯ > 0 c ¯> 0
アークタン( s¯ c ¯
) 180∘ c ¯ アークタン( s¯ c ¯
) 360∘ s ¯ 0 } = アークタン( 0.0860.986 ) = アークタン( 0.087) = 5 ∘ .
{ {bar {theta }}=left.{begin{cases}arctan left({frac {bar {s}}{bar {c}}}right)&{ bar {s}}>0， {bar {c}}>0\arctan left({frac {bar {s}}{bar {c}}}right)+180^{ circ }&{bar {c}}0end{cases}}right}=arctan left({frac {0.086}{0.986}}right)= arctan(0.087)=5^{circ}.}
0 ， bar c > 0 \ arctan left( frac{bar s}{ bar c} right) + 180^circ & bar c 0 end{cases}right}= arctan left( frac{0.086}{0.986} right)= arctan (0.087) = 5^circ."">

一般化
球平均

このセクションは、フォンミーゼス–フィッシャー分布 § 平均方向
からの抜粋です。
一連のN 個の独立した単位ベクトルX I { x_{i}}

フォンミーゼス-フィッシャー分布から抽出されます。平均方向の最尤推定 μ { mu}

は単に正規化された算術平均であり、十分な統計量です: μ =X ¯
/ R ¯どこ X¯ = 1 N ∑ I NX
私と R ¯ = ‖X ¯
‖ { mu ={bar {x}}/{bar {R}}，{text{where }}{bar {x}}={frac {1}{N}}sum _ {i}^{N}x_{i}，{text{and }}{bar {R}}=|{bar {x}}|，}

加重球平均
加重球平均は、球線形補間に基づいて定義できます。

こちらもご覧ください
循環配布
円形標準偏差
方向統計重心重心
フレシェ平均

参考文献
^ Christopher M. Bishop:パターン認識と機械学習 (情報科学と統計)、 ISBN 0-387-31073-8
^ Mardia，カンティ; Jupp、PE (1999)。方向統計。John Wiley & Sons Ltd. ISBN 978-0-471-95333-3.
^ バス、サミュエル R.; フィルモア、ジェイ P. （2001)。「球面平均と球面スプラインと補間への応用」. グラフィックスの ACM トランザクション。コンピューティング機械協会 (ACM)。20 (2): 95–126. ドイ: 10.1145/502122.502124。ISSN 0730-0301 .

参考文献
Jammalamadaka、S. Rao および SenGupta、A. （2001)。Circular Statistics のトピック、セクション 1.3、World Scientific Press、シンガポール。
ISBN 981-02-3778-2
ホッツ、トーマス（2013)。「サークル上の外的対内的手段」. コンピュータサイエンスの講義ノート。ベルリン、ハイデルベルク: スプリンガーベルリンハイデルベルク。ドイ: 10.1007/978-3-642-40020-9_47 . ISBN 978-3-642-40019-3. ISSN 0302-9743。

外部リンク

Mean_of_circular_quantities
数学と統計学では、円形平均または角度平均は、角度および昼間などの同様の循環量、および実数の小数部分に対して設計された平均です。これは、通常の手段のほとんどが角度のような量に対して適切ではない可能性があるため必要です。たとえば、0° と 360° の算術平均は 180° です。これは、360° が 0° モジュロ 1 サイクルに等しいため、誤解を招く可能性が別の例として、午後 11 時から午前 1 時までの「平均時間」は、2 つの時間が 1 晩の一部であるか 1 暦日の一部であるかに応じて、真夜中または正午のいずれかになります。循環平均は、循環統計および非ユークリッド空間の統計の最も単純な例の 1 つです。この計算は算術平均とは異なる結果を生成し、角度が広く分布している場合は差が大きくなります。たとえば、3 つの角度 0°、0°、90° の算術平均は (0+0+90)/3 = 30° ですが、ベクトル平均は 26.565° です。さらに、算術平均では、円の分散は±180°しか定義されません。
コンテンツ
1 意味
1.1 複雑な演算の使用
2 プロパティ
3 例
4 一般化
4.1 球平均 4.2 加重球平均
5 こちらもご覧ください
6 参考文献
7 参考文献
8 外部リンク

意味
算術平均は常に角度に適しているとは限らないため、次の方法を使用して平均値を取得し、角度の分散を測定できます。
すべての角度を単位円上の対応する点に変換します。たとえば、 α { alpha }
( コスαsin α )
{ (cos alpha ，sin alpha )}

. つまり、極座標をデカルト座標に変換します。次に、これらの点の算術平均を計算します。結果の点は単位円盤内にありますが、通常は単位円上にはありません。その点を極座標に戻します。角度は、入力角度の妥当な平均です。すべての角度が等しい場合、結果の半径は 1 になります。角度が円上で均一に分布している場合、結果の半径は 0 になり、円の平均はありません。(実際、円で連続平均演算を定義することは不可能です。) 言い換えれば、半径は角度の集中を測定します。
角度を考えると α 1 … α n { alpha _{1}，dots ，alpha _{n}}

逆正接関数のatan2バリアントを使用した平均の一般的な式は次のとおりです。
α¯ = atan2 1 n ∑ j = 1 n sin αj 1 n ∑ j = 1 n ス αj )= atan2 ( ∑j = 1 n
sin αj∑ j = 1 n ス α j )
{ {bar {alpha }}=operatorname {atan2} left({frac {1}{n}}sum _{j=1}^{n}sin alpha _{j} ，{frac {1}{n}}sum _{j=1}^{n}cos alpha _{j}right)=operatorname {atan2} left(sum _{j=1 }^{n}sin alpha _{j}，sum _{j=1}^{n}cos alpha _{j}right)}