Mean_sojourn_time
システム内のオブジェクトの平均滞在時間(または平均待機時間) は、オブジェクトがシステムを永久に離れる前にシステム内で費やすと予想される時間です。
計算
カウンターでチケットを購入するために列に並んでいると想像して1 分後に後ろにいる顧客の数を観察すると、単位時間 (ここでは 1 分) あたりにシステム (ここでは待機列) に入る顧客の数の (大まかな) 見積もりと見なされる可能性が次に、目の前の顧客の数をこの顧客の「流れ」で割ると、予想される待ち時間を見積もることができます。つまり、カウンターに到着するまでにかかる時間であり、実際には概算です。
これを定式化するために、待ち行列を粒子 (顧客) の流れがあり、「チケットを購入する」というプロセスが粒子がシステムを離れることを意味するシステム S として考えてみます。上記で検討した待機時間は一般に通過時間と呼ばれ、適用した定理はリトルの定理と呼ばれることがあり、次のように定式化できます。システム内の粒子の期待定常状態数 S は粒子の流れに等しいS に平均通過時間を掛けます。同様の定理は他の分野でも発見されており、生理学では以前はスチュワート・ハミルトン方程式の 1 つとして知られていました (たとえば、臓器の血液量の推定に使用されます)。
この原則 (または定理) は一般化できます。したがって、ユークリッド空間の有限体積の閉領域の形でシステム S を考えてみましょう。さらに、「等価な」粒子の流れが S (時間単位あたりの粒子数) に流れ、各粒子が S にある間はそのアイデンティティを保持し、最終的に (有限時間後に) 不可逆的にシステムを離れる状況を考えてみましょう (すなわち、これらの粒子の場合、システムは「オープン」です)。図
は、単一のそのような粒子の思考運動履歴を示しています。したがって、サブシステム s に 3 回出入りし、それぞれが通過時間、つまりサブシステムの入口と出口の間に費やされた時間になります。これらの通過時間の合計は、その特定の粒子の s の滞在時間です。粒子の動きが 1 つの同じ確率過程の実現と見なされる場合、この滞留時間の平均値について話すことは意味がつまり、サブシステムの平均滞在時間は、粒子がシステム S を完全に離れる前にサブシステム s で費やすと予想される合計時間です。
この量の実際的な意味を理解するために、物理法則として、S への粒子の流れが一定であり、他のすべての関連要因が一定に保たれている場合、S は最終的に定常状態 (すなわち、粒子の数と分布) に達することを受け入れましょう。は S のどこでも一定です)。次に、サブシステム s 内の粒子の定常状態数は、システムへの粒子の流れ S にサブシステムの平均滞在時間を掛けたものに等しいことを実証できます。したがって、これは上記のリトルの定理と呼ばれるもののより一般的な形式であり、質量と時間の等価性と呼ばれる可能性が(期待される定常状態の量 (s)) = (S への流れ) (s の平均滞在時間)
これは、占有原理と呼ばれることもあります (ここで平均滞在時間と呼ばれるものは、占有と呼ばれます。これは、システム S に一定数の「サイト」が存在することを示唆するため、おそらくそれほど幸運な用語ではありません)。この質量と時間の等価性は、たとえば、個々の臓器の代謝を研究するための医学に応用されています。
繰り返しになりますが、待ち行列理論でリトルの定理と呼ばれることがあるものの一般化をここで扱います。これは重要なことですが、システム S 全体にのみ適用されます (質量と時間の等価性のように任意のサブシステムには適用されません)。リトルの定理では、平均滞在時間は平均通過時間として解釈できます。
上の図の説明から明らかなように、滞在時間と通過時間という 2 つの量の意味には根本的な違いが質量と時間の等価性の一般性は、滞在時間。システム全体を考慮すると (Littl の定理のように)、滞在時間は常に通過時間に等しいというのは真です。
こちらもご覧ください
エルゴード理論
待ち行列理論
平均自由行程
参考文献
Bergner， DMP — 開いた不均一系における巨視的粒子の動力学”