平均二乗変位

Mean_squared_displacement

  「平均二乗変位」        
統計力学では、平均二乗変位( MSD、平均二乗変位、平均二乗変位、または平均二乗変動) は、時間の経過に伴う基準位置に対する粒子の位置の偏差の尺度です。これは、ランダム モーションの空間範囲の最も一般的な尺度であり、ランダム ウォーカーによって「探索された」システムの部分を測定するものと考えることができます。生物物理学および環境工学の分野では、平均二乗変位を経時的に測定して、粒子がゆっくりと拡散しているかどうかを判断します。拡散、または移流力も寄与している場合。別の関連概念である分散関連直径 (VRD、MSD の平方根の 2 倍) も、環境工学の分野での輸送および混合現象の研究に使用されます。これは、デバイ・ワラー因子(固体状態内の振動を記述する) とランジュバン方程式(ブラウン粒子の拡散を記述する)に顕著に現れます。
時のMSD t { t}
はアンサンブル平均として定義されます。M S D ≡ ⟨ | x t )− x
0| 2 ⟩ = 1 N ∑ i =1 N | x i )( t) −X I )( 0 ) | | 2 { {rm {MSD}}equiv langle |mathbf {x} (t)-mathbf {x_{0}} |^{2}rangle ={frac {1}{N}} sum _{i=1}^{N}|mathbf {x^{(i)}} (t)-mathbf {x^{(i)}} (0)|^{2}}
ここで、Nは平均化する粒子の数、ベクトル X ( I ) ( 0) =X 0( I ) { mathbf {x^{(i)}} (0)=mathbf {x_{0}^{(i)}} }
の基準位置です I { i}-番目の粒子、およびベクトル X ( I ) ( t ) { mathbf {x^{(i)}} (t)}
の位置です I { i}
時間tでの – 番目の粒子。
コンテンツ
1 1D でのブラウン粒子の MSD の導出
2 n 次元の導出
3 タイムラグの MSD の定義
4 実験における MSD
5 こちらもご覧ください
6 参考文献

1D でのブラウン粒子の MSD の導出
1 次元の粒子の確率密度関数(PDF) は、1 次元の拡散方程式を解くことによって求められます。(この方程式は、位置確率密度が時間とともに拡散することを示しています。これは、アインシュタインがブラウン粒子を記述するために使用した方法です。ブラウン粒子の運動を記述する別の方法は、ランジュバンによって記述され、現在はランジュバンとして知られています。式。）
∂ p (X t∣X 0 )
∂t = D ∂ 2 p(X t∣X 0 ) X
2 { {frac {partial p(x，tmid x_{0})}{partial t}}=D{frac {partial ^{2}p(x，tmid x_{0 })}{partial x^{2}}}，}

与えられた初期条件p (X 0 t = 0 ∣X 0) = δ(X −X 0)
{ p(x_{0}，t={0}mid x_{0})=delta (x-x_{0})}

; どこX( t ) { x(t)}

ある時点での粒子の位置、X 0 { x_{0}}

はタグ付けされた粒子の初期位置であり、 D { D}

SI単位系の拡散定数
メートル2 s − 1
{ m^{2}s^{-1}}
(粒子の速度の間接的な尺度)。瞬間確率の引数のバーは、条件付き確率を指します。拡散方程式は、粒子を見つける確率がX( t ) { x(t)}

位置依存です。
上記の微分方程式は、1D熱方程式の形式をとります。上記の 1 次元 PDF は、熱方程式のグリーン関数(数学では熱核とも呼ばれます)です。 P (X t ) =1 π D t
指数( −(X −X 0
)2 4D t ) . { P(x，t)={frac {1}{sqrt {4pi Dt}}}exp left(-{frac {(x-x_{0})^{2}} {4Dt}}right)}

これは、次の場所で粒子を見つける確率がX( t ) { x(t)}

はガウスであり、ガウスの幅は時間に依存します。より具体的には、半値全幅（FWHM）（技術的/専門的には、独立変数が時間であるため、これは実際には半値全幅です）は次のようにスケーリングしますふ W H M ～ t .
{ {rm {FWHM}}sim {sqrt {t}}.}

PDF を使用すると、特定の関数の平均を導き出すことができます。 L { L}

、 当時の t { t}
: ⟨ L( t) ⟩ ≡ ∫ − ∞ ∞ L(X t) P(X t ) dX { langle L(t)rangle equiv int _{-infty }^{infty }L(x，t)P(x，t)，dx，}

ここで、平均はすべてのスペース (または該当する変数) で取得されます。
平均二乗変位は次のように定義されます。M S D ≡ ⟨ (X( t) −X 0 ) 2
⟩ { {rm {MSD}}equiv langle (x(t)-x_{0})^{2}rangle ，}

アンサンブル平均の展開⟨ (X −X 0 ) 2 ⟩ = ⟨X2 ⟩+X0 2− 2X 0 ⟨X
⟩ { langle (x-x_{0})^{2}rangle =langle x^{2}rangle +x_{0}^{2}-2x_{0}langle xrangle ，}

明確にするために、明示的な時間依存表記を削除します。MSD を見つけるには、次の 2 つの方法のいずれかを取ることができます。 ⟨X2 { langle x^{2}rangle }
と ⟨X ⟩
{ langle xrangle }

、次に結果を MSD の定義に戻します。または、確率密度を扱うときに非常に便利で一般的な関数であるモーメント生成関数を見つけることができます。モーメント生成関数は、 k 番目
{ k^{textrm {th}}}

PDFの瞬間。上記の変位 PDF の最初のモーメントは、単純に平均値です。⟨X ⟩
{ langle xrangle }

. 2 番目のモーメントは次のように与えられます。 ⟨X2 { langle x^{2}rangle }
. したがって、モーメント生成関数を見つけるには、特性関数を導入すると便利です。 G ( k) = ⟨ e I kX ⟩ ≡ ∫I e I kX P(X t∣X 0 )
dX { G(k)=langle e^{ikx}rangle equiv int _{I}e^{ikx}P(x，tmid x_{0})，dx，}

上記の式の指数関数を展開して、 G ( k) = ∑
メートル= 0 ∞( Ik )
メートル
メートル! μ
メートル . { G(k)=sum _{m=0}^{infty}{frac {(ik)^{m}}{m!}}mu _{m}.}

特性関数の自然対数を取ることにより、新しい関数が生成され、キュムラント生成関数、 で ( G( k) ) = ∑
メートル= 1 ∞( Ik )
メートル
メートル! κ
メートル { ln(G(k))=sum _{m=1}^{infty}{frac {(ik)^{m}}{m!}}kappa _{m}，}

どこ κ メートル
{ kappa _{m}}

それは
メートル
番目
{ m{textrm {th}}}

のキュムラントX
{ x}

. 最初の 2 つのキュムラントは、最初の 2 つのモーメントに関連しています。 μ { mu}

、 経由 κ1 μ1
{ kappa _{1}=mu _{1};}
と κ2
μ2 μ 1
2 { kappa _{2}=mu _{2}-mu _{1}^{2}，}