Mean_value_problem
数学では、平均値問題は1981 年にStephen Smaleによって提起されました。 この問題はまだ完全に一般化され問題は尋ねます：
与えられた複素 多項式について へ { f}
度のd ≥ 2
{ dgeq 2}
Aと複素数 ぜ { z}
、臨界点はありますか c { c} へ
{ f}(すなわちへ 」( c) = 0
{ f'(c)=0}
)そのような
| | へ ( ぜ) − f( c ) z− c | ≤ K ′( z ) |for K =1 { left|{frac {f(z)-f(c)}{zc}}right|leq K|f'(z)|{text{ for }}K=1{text {?}}}
について証明された.K = 4
{ K=4}
. 次数の多項式の場合 d { d}
定数 K { K}
少なくともある必要がありますd − 1 d
{ {frac {d-1}{d}}}
例から へ ( ぜ) = ぜ d
−d ぜ
{ f(z)=z^{d}-dz}
、したがって、より良い境界はありませんK = 1
{ K=1}
存在できます。Gerald Schmieder は 2003 年に論文を発表し、この最適限界の定理を証明したと主張しています。K = d − 1 d
{ K={frac {d-1}{d}}} . コンテンツ
1 部分的な結果
2 こちらもご覧ください
3 ノート
4 参考文献
部分的な結果
この予想は特殊な場合に成立することが知られています。他の場合には、 K { K}
程度によっては改善される可能性があります d { d}
、絶対的な境界はありませんがK < 4
{ K<4}
すべてに当てはまることが知られています d { d}
. 1989 年に、Tischler は予想が最適境界に対して真であることを示しました。K = d − 1 d
{ K={frac {d-1}{d}}}
もしも へ { f}
は実根 のみを持つか、またはすべての根が へ { f}
同じ規範を持っています。 2007 年、コンテら。ことを証明したK ≤ 4 d − 1 d + 1
{ Kleq 4{frac {d-1}{d+1}}}
、バウンドでわずかに改善K ≤ 4
{ Kleq 4}
固定用 d { d}
. 同年、クレーンは次のことを示しました。K < 4 − 2.263 d
{ K<4-{frac {2.263}{sqrt {d}}}}
為にd ≥ 8
{ dgeq 8}
. 逆不等式を考慮すると、Dubinin と Sugawa は (上記と同じ条件下で) 臨界点が存在することを証明しました。
ゼータ
{ zeta }
そのような
| | へ ( ぜ) − へ( ゼータ ) ぜ − ゼータ
| | ≥ | |
へ 」 ( ぜ ) | | n 4 n { left|{frac {f(z)-f(zeta )}{z-zeta }}right|geq {frac {|f'(z)|}{n4^{n }}}}
. この下限を最適化する問題は、双対平均値問題として知られています。
こちらもご覧ください
数学の未解決問題一覧
ノート A. ^ Smale (1981) では次数に関する制約が使用されていますが、明示的には述べられそれは、たとえば Conte （2007) で明示されています。制約が必要です。それがなければ、この予想は誤りです。多項式f ( z ) = zには臨界点がありません。
参考文献
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^ Tischler， D. (1989). 「複素多項式の臨界点と値」 . 複雑さのジャーナル。5 (4): 438–456. ドイ：10.1016/0885-064X(89)90019-8 .
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^ Crane， E. （2007 年 8 月 22 日). 「複素多項式に対する Smale の平均値予想の境界」(PDF) . ロンドン数学会紀要。39 (5): 781–791. ドイ: 10.1112/blms/bdm063 . S2CID 59416831 . 2017年10 月 23 日閲覧。
^ Dubinin、V.; 須川貴之 （2009). 「複素多項式の双対平均値問題」 . 日本学士院論文集、シリーズA、数理科学。85 (9): 135–137. arXiv : 0906.4605 . ビブコード: 2009arXiv0906.4605D . ドイ: 10.3792/pjaa.85.135 . S2CID 12020364 . 2017年10 月 23 日閲覧。 ^ Ng、T.-W.; Zhang， Y. （2016)。「有限ブラシュケ積に対するスメールの平均値予想」. 分析のジャーナル。24 (2): 331–345. arXiv : 1609.00170 . ビブコード: 2016arXiv160900170N . ドイ: 10.1007/s41478-016-0007-4 . S2CID 56272500 . “