平均値定理

Mean_value_theorem

調和関数理論の定理については、調和関数 § 平均値の性質を参照して
数学では、平均値定理(またはラグランジュの定理) は、大まかに言って、2 つの端点の間の特定の平面円弧について、円弧の接線がその端点を通る正割線と平行になる点が少なくとも 1 つこれは、実際の解析において最も重要な結果の 1 つです。この定理は、区間の点での導関数に関する局所仮説から出発して、区間上の関数に関するステートメントを証明するために使用されます。
連続しているすべての機能について
{ }
で微分可能( a b ) { (a，b)}
いくつか存在します c { c}
その合間に( a b ) { (a，b)}
間隔の終点を結合するセカント
{ }
で接線に平行 c { c} . より正確には、定理は次のように述べています へ { f}
は閉区間の連続関数です
{ }
開区間で微分可能( a b ) { (a，b)}
の場合、点が存在します c { c} ( a b ) { (a，b)}
での接線 c { c}
端点を通る割線に平行(a へ( a) )
{ {big (}a，f(a){big )}} と (b へ( b) )
{ {big (}b，f(b){big )}}
、 あれは、へ 」 c ) = へ( b) − へ( a ) b− a .
{ f'(c)={frac {f(b)-f(a)}{ba}}.}

コンテンツ
1 歴史
2 公式声明
3 証拠
4 含意
5 コーシーの平均値定理
5.1 コーシーの平均値定理の証明
6 行列式の一般化
7 いくつかの変数における平均値の定理
8 ベクトル値関数の平均値定理
9 定理が適用できない場合（条件の必要性）
10 定積分の平均値定理
10.1 定積分の第一平均値定理
10.2 にcがあることの証明
10.3 定積分の第二平均値定理
10.4 ベクトル値関数で積分の平均値定理が失敗する
11 平均値定理の確率的類似物
12 複素変数の平均値定理
13 こちらもご覧ください
14 ノート
15 参考文献
16 外部リンク

歴史
サインの逆補間に関するこの定理の特殊なケースは、インドのケララ天文学と数学の学校のParameshvara (1380–1460)によって、 GovindasvāmiとBhāskara IIに関する彼の解説で最初に説明されました。定理の制限された形式は、1691 年にMichel Rolleによって証明されました。その結果は、現在ロールの定理として知られているものであり、微積分の手法を使用せずに、多項式についてのみ証明されました。現代的な形の平均値定理は、1823 年にAugustin Louis Cauchyによって述べられ、証明されました。 それ以来、この定理の多くのバリエーションが証明されてきました。

公式声明

関数 へ { f}

の間の割線の傾きに達する a { a}
と b
{ b}

点での導関数としてξ ε( a b ) { xi in (a，b)}
.
割線に平行な複数の接線が存在する可能性も
させてへ : R
{ f:to mathbb {R} }

閉区間で連続関数になる
{ }

、開区間で微分可能( a b ) { (a，b)}

、ここでa < b
{ a
. それからいくつか存在します c { c}
( a b ) { (a，b)}

そのようなへ 」 c ) = へ( b) − へ( a ) b− a .
{ f'(c)={frac {f(b)-f(a)}{ba}}.}

平均値定理は、ロルの定理を一般化したもので、 へ ( a) = へ( b ) { f(a)=f(b)}

、上の右辺がゼロになるようにします。
平均値定理は、もう少し一般的な設定でも有効です。と仮定するだけでよいへ : R
{ f:to mathbb {R} }

連続しています
{ }

、そしてそれはすべてX
{ x}
( a b ) { (a，b)}

限界_
リム
時間0 へ (X +
時間) − へ (X )
時間
{ lim _{hto 0}{frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}

有限数または等しい数として存在する ∞ { infty}

また− ∞
{ -infty}

. 有限の場合、その極限は等しいへ 」 (X )
{ f'(x)}

. このバージョンの定理が適用される例は、実数値の立方根関数のマッピングによって与えられます。X↦X 1 / 3
{ xmapsto x^{1/3}}

、その導関数は原点で無限大になる傾向が
述べたように、微分可能な関数が実数値ではなく複素数値である場合、定理は偽であることに注意してたとえば、次のように定義します。へ (X ) = eX I
{ f(x)=e^{xi}}

すべての本当のX
{ x}

. それで へ ( 2π ) − へ( 0) = 0 = 0( 2π − 0 )
{ f(2pi )-f(0)=0=0(2pi -0)}

その間へ 」 (X ) ≠ 0
{ f'(x)neq 0}

どんなリアルでもX
{ x}
. これらの正式なステートメントは、ラグランジュの平均値定理としても知られています。

証拠
表現 へ ( b) − へ( a) b − a
{textstyle {frac {f(b)-f(a)}{ba}}}

点を結ぶ直線の傾きを与える( a へ( a) )
{ (a，f(a))}
と ( b へ( b) )
{ (b，f(b))}

、これはのグラフの弦です へ { f}

、 その間へ 」 (X )
{ f'(x)}

点における曲線の接線の勾配を与える(X へ(X ) )
{ (x，f(x))}

. したがって、平均値の定理は、滑らかな曲線の弦が与えられた場合、その点での曲線の接線が弦に平行になるように、弦の端点の間にある曲線上の点を見つけることができると述べています。次の証明は、この考えを示しています。
定義g (X ) = へ (X ) − rX
{ g(x)=f(x)-rx}

、 どこ r { r}

定数です。以来 へ { f}

連続しています
{ }

で微分可能( a b ) { (a，b)}

、同じことが当てはまります g { g}

. 私たちは今選びたい r { r}

となることによって g { g}

Rolle の定理の条件を満たします。すなわち g ( a) = g( b) ⟺ へ ( a) − r a = へ( b) − r b ⟺ r ( b− a ) = へ( b) − へ( a) ⟺
r= へ( b) − へ( a) b − a .
{ {begin{aligned}g(a)=g(b)&iff f(a)-ra=f(b)-rb\&iff r(ba)=f(b)-f (a)\&iff r={frac {f(b)-f(a)}{ba}}.end{aligned}}}

Rolle の定理により、 g { g}

は微分可能であり、 g ( a) = g( b ) { g(a)=g(b)}

、いくつかあります c { c}
( a b ) { (a，b)}

そのためにg 」( c) = 0
{ g'(c)=0}

、そしてそれは等式から従うg (X ) = へ (X ) − rX
{ g(x)=f(x)-rx}

それ、g 」 (X ) = へ 」 (X )− r
g 」 ( c ) =0 」 ( c) = へ 」( c) − r = 0 ⇒ へ 」( c) = r = へ( b) − へ( a) b − a
{ {begin{aligned}&g'(x)=f'(x)-r\&g'(c)=0\&g'(c)=f'(c)-r=0\ &Rightarrow f'(c)=r={frac {f(b)-f(a)}{ba}}end{aligned}}}

含意
定理 1: fは、実数直線の任意の区間Iで定義された連続の実数値関数であると仮定します。区間Iのすべての内部点におけるfの導関数が存在し、ゼロである場合、fは内部で一定です。
証明:区間Iのすべての内点でのfの導関数が存在し、ゼロであると仮定します。( a ， b ) をIの任意の開区間とします。平均値定理により、 ( a ， b ) に次のような点cが存在します。0 = へ 」 c ) = へ( b) − へ( a ) b− a .
{ 0=f'(c)={frac {f(b)-f(a)}{ba}}.}

これは、f ( a ) = f ( b )であることを意味します。したがって、fはIの内部で一定であり、連続性によってIで一定です。(この結果の多変数バージョンについては、以下を参照して)
備考：
区間Iの終点では、fの連続性のみが必要であり、微分可能性は必要ありません。Iが開区間である場合、連続性の仮説を述べる必要はありません。これは、ある点で導関数が存在することは、この点での連続性を意味するためです。(冠詞導関数の連続性と微分可能性のセクションを参照して)
fの微分可能性は、片側微分可能性に緩和できます。これは、半微分可能性に関する記事で証明されています。
定理 2: f ‘ ( x ) = g’ ( x )がこれらの関数の定義域の区間 ( a ， b ) 内のすべてのx に対して、 f – gは定数、つまりf = g + cここでcは a ( a ， b ) で定数。
証明: F = f − gとすると、区間 ( a ， b ) でF’ = f’ − g’ = 0 となるため、上記の定理 1 はF = f − gが定数cまたはf = g +であることを示します。 c .
定理 3: Fが区間Iでのfの反導関数である場合、Iでのfの最も一般的な反導関数はF(x) + cで、cは定数です。
証明:上記の定理 2 から直接従います。

コーシーの平均値定理
拡張平均値定理としても知られるコーシーの平均値定理は、平均値定理の一般化です。それは次のように述べています： へ { f}
と g
{ g}

閉区間で両方とも連続
{ }

開区間で微分可能( a b ) { (a，b)}

、そしていくつかが存在しますc ε( a b ) { cin (a，b)}
、
コーシーの定理の幾何学的意味( へ( b) − へ( a) ) g 」 c ) = ( g ( b) − g( a) ) へ 」 c ) .
{ (f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c)}

もちろん、 g ( a) ≠ g( b ) { g(a)neq g(b)}
と g 」( c) ≠ 0
{ g'(c)neq 0}

、これは次と同等です:へ 」( c) g 」( c) = へ( b) − へ( a ) g( b) − g( a) .
{ {frac {f'(c)}{g'(c)}}={frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.}

幾何学的には、これは曲線のグラフに何らかの接線があることを意味します{ R 2 t ↦( へ ( t ) g( t) )
{ {begin{cases}to mathbb {R} ^{2}\tmapsto (f(t)，g(t))end{cases}}}

点によって定義される線に平行です( へ ( a ) g( a) )
{ (f(a)，g(a))}
と ( へ ( b ) g( b) )
{ (f(b)，g(b))}

. ただし、コーシーの定理は、( へ ( a ) g( a) )
{ (f(a)，g(a))}
と ( へ ( b ) g( b) )
{ (f(b)，g(b))}

ある値に対してのみ満たされる可能性があるため、異なる点です。 c { c}
と へ 」( c) = g 」( c) = 0
{ f'(c)=g'(c)=0}

、言い換えれば、言及された曲線が静止している値。そのような点では、曲線への接線がまったく定義されない可能性がこの状況の例は、によって与えられる曲線です。t ↦( t 3 1 − 2
) { tmapsto left(t^{3}，1-t^{2}right)，}

どの間隔で
[ −1 1 ]
{ }

ポイントから行く( −1 0 )
{ (-1，0)}
( 1 0 ) { (1，0)}

、まだ水平接線を持っただし、静止点 (実際にはカスプ) がt = 0
{ t=0}
. コーシーの平均値定理は、ロピタルの法則を証明するために使用できます。平均値定理は、次の場合のコーシーの平均値定理の特殊なケースです。 g ( t) = t
{ g(t)=t}

.

コーシーの平均値定理の証明
コーシーの平均値定理の証明は、平均値定理の証明と同じ考え方に基づいています。
仮定する g ( a) ≠ g( b ) { g(a)neq g(b)}

. 定義
時間(X ) = へ (X ) − r g(X )
{ h(x)=f(x)-rg(x)}

、 どこ r { r}

のように固定されます。
時間( a) =
時間( b ) { h(a)=h(b)}

、すなわち
時間( a) =
時間( b ) ⟺ へ ( a) − r g( a) = へ( b) − r g( b) ⟺ r ( g ( b) − g( a) ) = へ( b) − へ( a) ⟺ r = へ( b) − へ( a ) g( b) − g( a) .
{ {begin{aligned}h(a)=h(b)&iff f(a)-rg(a)=f(b)-rg(b)\&iff r(g(b) )-g(a))=f(b)-f(a)\&iff r={frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}} .end{整列}}}

以来 へ { f}

と g { g}

連続している
{ }

で微分可能( a b ) { (a，b)}

、同じことが当てはまります
時間
{ h}

. 概して、
時間
{ h}

はロルの定理の条件を満たします: したがって、いくつかの c { c}
( a b ) { (a，b)}

そのために
時間」 c ) = 0
{ h'(c)=0}

. の定義を使用して
時間
{ h}

我々は持っています：0 = 間 」( c) =
へ 」 ( c) − r
g 」 ( c) =
へ 」 ( c) −( へ( b) − へ( a ) g( b) − g( a) )
g 」 ( c) .
{ 0=h'(c)=f'(c)-rg'(c)=f'(c)-left({frac {f(b)-f(a)}{g(b) )-g(a)}}right)g'(c).}

したがって：へ 」( c) = へ( b) − へ( a) g( b) − g( a ) g 」 ( c
) { f'(c)={frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g'(c)，}

これは結果を意味します。
もしも g ( a) = g( b ) { g(a)=g(b)}

、そして、ロールの定理を g { g}

、存在することになります c { c}
( a b ) { (a，b)}

そのためにg 」 c ) = 0
{ g'(c)=0}

. この選択を使用して c { c}

、コーシーの平均値定理が (自明に) 成立します。

行列式の一般化
と仮定する
へ g { f，g，}
と 時間
{ h}

上の微分可能な関数です( a b ) { (a，b)}

連続している
{ }

. 定義D (X ) =
| |へ (X ) g (X )
時間(X ) へ( a) g( a ) 時間( a) へ( b) g( b ) 時間( b ) | |
{ D(x)={begin{vmatrix}f(x)&g(x)&h(x)\f(a)&g(a)&h(a)\f(b)&g(b) &h(b)end{vmatrix}}}

が存在しますc ε( a b ) { cin (a，b)}

そのようなD 」( c) = 0
{ D'(c)=0}
. 注意してくださいD 」 X ) =
| |へ 」 (X ) g 」 (X )
時間」 (X ) へ( a) g( a ) 時間( a) へ( b) g( b ) 時間( b ) | |
{ D'(x)={begin{vmatrix}f'(x)&g'(x)&h'(x)\f(a)&g(a)&h(a)\f(b) &g(b)&h(b)end{vmatrix}}}

そして、私たちが配置する場合
時間(X ) = 1
{ h(x)=1}

、コーシーの平均値定理を得る。置くと
時間(X ) = 1
{ h(x)=1}
と g (X ) =X
{ g(x)=x}

ラグランジュの平均値定理が得られます。
一般化の証明は非常に簡単です: D ( a ) { D(a)}
と D( b ) { D(b)}

は 2 つの同一の行を持つ行列式であるため、 D ( a) = D( b) = 0
{ D(a)=D(b)=0}

. Rolle の定理は、存在することを意味します。c ε( a b ) { cin (a，b)}

そのようなD 」( c) = 0
{ D'(c)=0}

.

いくつかの変数における平均値の定理
平均値定理は、複数変数の実関数に一般化されます。トリックは、パラメータ化を使用して 1 変数の実関数を作成し、次に 1 変数定理を適用することです。
させて G { G}

のオープンサブセットである
R n { mathbb {R} ^{n}}

、そしてみましょうへ : G R
{ f:Gto mathbb {R} }

微分可能な関数になります。修正点X yε G
{ x，yin G}

間の線分X y
{ x，y}

にあり G { G}

、定義する g ( t) = へ(( 1− t )X + t y )
{ g(t)=f{big (}(1-t)x+ty{big )}}

. 以来 g { g}

が 1 つの変数の微分可能な関数である場合、平均値の定理は次のように与えます。 g ( 1) − g( 0) = g 」 c )
{ g(1)-g(0)=g'(c)}

いくつかのための c { c}

0 と 1 の間。 g ( 1) = へ( y ) { g(1)=f(y)}
と g( 0) = へ (X )
{ g(0)=f(x)}

、コンピューティングg 」( c ) { g'(c)}

明示的には次のとおりです。 へ ( y) − へ (X ) = ∇ へ( ( 1− c )X + c y ) ⋅( y−X )
{ f(y)-f(x)=nabla f{big (}(1-c)x+cy{big )}cdot (yx)}

どこ ∇ { nabla }

はグラデーションを表し、 ⋅ { cdot }

ドット積。これは、1 つの変数における定理の正確な類似物であることに注意してください ( n= 1
{ n=1}

これが1 変数の定理です)。コーシー・シュワルツの不等式により、方程式は次の推定値を与えます。
| | へ ( y) − へ (X )
| | ≤ | |∇ へ( ( 1− c )X + c y )
| |
| |y −X
| | . { {Bigl |}f(y)-f(x){Bigr |}leq {Bigl |}nabla f{big (}(1-c)x+cy{big )} {Bigr |} {Bigl |}yx{Bigr |}.}

特に、 の偏導関数が へ { f}

制限され、 へ { f}

はリプシッツ連続(したがって一様連続) です。
上記の応用として、以下を証明します。 へ { f}

オープンサブセットの場合、定数 G { G}

は接続され、のすべての偏導関数 へ { f}

は 0 です。いくつかの点をピックしてくださいX0 G { x_{0}in G}

、そしてみましょうg (X ) = へ (X ) − へ(X 0)
{ g(x)=f(x)-f(x_{0})}

. 見せたいg (X ) = 0
{ g(x)=0}

すべてのためのXε G
{ xin G}

. そのためには、え = {X ε G : g (X )= 0 }
{ E={xin G:g(x)=0}}

. この場合、Eは閉じていて空ではありません。それも開いています：すべての人にXε え
{ xin E}
| | g ( y ) | | = | | g ( y) − g (X )
| | ≤ ( 0 ) | |y −X
| |= 0
{ {Big |}g(y){Big |}={Big |}g(y)-g(x){Big |}leq (0){Big |}yx{大 |}=0}
  すべてのための y { y}

のどこかの近所でX
{ x}

. (ここで重要なのは、X
{ x}
と y
{ y}

は互いに十分に接近しています。) G { G}

接続されていると結論付けますえ = G
{ E=G}

 .
上記の引数は、座標を使用しない方法で作成されます。したがって、それらは次の場合に一般化されます。 G { G}

 はバナッハ空間の部分集合です。

ベクトル値関数の平均値定理
ベクトル値関数の平均値定理に正確に類似するものはありません (以下を参照)。しかし、1 次元の場合に平均値定理が適用されるのと同じ状況の多くに適用できる不等式が
定理 — 連続ベクトル値関数の場合へ : R k { mathbf {f} :to mathbb {R} ^{k}}

 で微分可能( a b ) { (a，b)}

 、数が存在するc ε( a b ) { cin (a，b)}

 そのような
| | へ ( b) − へ( a ) | | ≤ ( b− a )
| |へ 」( c ) | |
{ |mathbf {f} (b)-mathbf {f} (a)|leq (ba)left|mathbf {f} ‘(c)right|}

 .
この定理は、平均値の定理から導かれます。確かに、取る φ ( t) =( へ b ) − へ a ) ) ⋅ へ t )
{ varphi (t)=({textbf {f}}(b)-{textbf {f}}(a))cdot {textbf {f}}(t)}

 . それで φ { varphi }

 は実数値なので、平均値定理により、 φ ( b) − φ( a) = φ 」 c )( b− a )
{ varphi (b)-varphi (a)=varphi ‘(c)(ba)}
  いくつかのためのc ε( a b ) { cin (a，b)}

 . 今、 φ ( b) − φ( a) =
| |へ b ) − へ a )
| | 2 { varphi (b)-varphi (a)=|{textbf {f}}(b)-{textbf {f}}(a)|^{2}}

 とφ 」( c) =( へ b ) − へ a ) ) ⋅ へ 」 ( c) .
{ varphi ‘(c)=({textbf {f}}(b)-{textbf {f}}(a))cdot {textbf {f}}'(c)}

 したがって、コーシー・シュワルツの不等式を使用すると、上記の式から次のようになります。
| | へ ( b) − へ( a ) | |2 ≤
| | へ ( b) − へ( a ) | |
| |
へ」 c )
| | b − a ) .
{ |{textbf {f}}(b)-{textbf {f}}(a)|^{2}leq |{textbf {f}}(b)-{textbf {f} }(a)||{textbf {f}}'(c)|(ba).}
  もしも
へ b ) = へ a )
{ {textbf {f}}(b)={textbf {f}}(a)}

 、定理は自明です（任意のcが機能します）。そうでなければ、両辺を
| |へ b ) − へ a )
| |
{ |{textbf {f}}(b)-{textbf {f}}(a)|}

 定理が得られます。 ◻ { square }

Jean Dieudonnéは、彼の古典的な論文Foundations of Modern Analysis で、平均値定理を破棄し、それを平均不等式 (以下に示します) に置き換えました。これは、証明が建設的ではなく、平均値を見つけることができず、アプリケーションでは平均不等式しか必要としないためです。Serge Lang in Analysis Iでは、積分形式の平均値定理を即時反射として使用しますが、この使用には導関数の連続性が必要です。Henstock–Kurzweil 積分を使用すると、すべての導関数が Henstock–Kurzweil 可積分であるため、導関数は連続でなければならないという追加の仮定なしに、平均値定理を積分形式で持つことができます。
平均値の等価性に相当するものが存在しない理由は次のとおりです: f  : U R mが微分可能な関数 ( U ⊂ R nが開いている) であり、x + th ， x ， h ∈ R n ， t ∈の場合が問題の線分 ( U内にある) である場合、上記のパラメーター化手順を f の各コンポーネント関数f i ( i = 1， …， m )に適用できます(上記の表記セットでy = x + h )。そうすることで、次を満たす線分上の点x + t i hを見つけます。へ I (X +
時間) − へ I (X ) = ∇ へI (X + t I
時間) ⋅
時間 . { f_{i}(x+h)-f_{i}(x)=nabla f_{i}(x+t_{i}h)cdot h.}
  しかし、一般に、線分上にx + t * hを満たす単一の点はありません。へ I (X +
時間) − へ I (X ) = ∇ へI (X + t ∗
時間) ⋅
時間 . { f_{i}(x+h)-f_{i}(x)=nabla f_{i}(x+t^{*}h)cdot h.}
  すべての私は 同時に。たとえば、次のように定義します。{ へ :
[ 0 2π ] R 2 へ (X ) =( コス(X )sin (X ) )
{ {begin{cases}f:to mathbb {R} ^{2}\f(x)=(cos(x)，sin(x))終了{ケース}}}
  それで へ ( 2π ) − へ( 0) = 0 ε R 2
{ f(2pi )-f(0)=mathbf {0} in mathbb {R} ^{2}}

 、 しかしへ 1」 (X ) = −
sin (X ) { f_{1}'(x)=-sin(x)}

 とへ 2」 (X ) =
コス(X )
{ f_{2}'(x)=cos(x)}

 が同時にゼロになることはありません。X
{ x}

 範囲
{ left}

 .
上記の定理は次のことを意味します。
平均値の不等式 —  連続関数の場合へ : R k
{ {textbf {f}}:to mathbb {R} ^{k}}

 、 もしも へ { {textbf {f}}}

 で微分可能です( a b ) { (a，b)}

 、 それから
| | へ ( b) − へ( a ) | | ≤ ( b− a )
すする( a b ) | |
へ」
| |
{ |{textbf {f}}(b)-{textbf {f}}(a)|leq (ba)sup _{(a，b)}|{textbf {f}}’ |}

 .
実際、上記のステートメントは多くのアプリケーションで十分であり、次のように直接証明できます。（私たちは書きます へ { f}

 為に へ { {textbf {f}}}

 読みやすくするために。) 最初に仮定します。 へ { f}

 で微分可能です a { a}

 それも。もしもへ 」
{ f’}

 無制限です( a b ) { (a，b)}

 、証明するものは何もありません。したがって、
すする( a b ) | |
へ 」 | |< ∞
{ sup _{(a，b)}|f’|
 . させてM >
すする( a b ) | |
へ 」 | |
{ M>sup _{(a，b)}|f’|}
sup _{(a，b)}|f’|}””>
 ある実数になります。させてえ = { 0 ≤ t ≤ 1 ∣
| | へ ( a+ t( b− a ) ) − へ( a ) | |
≤M t( b− a ) } .
{ E={0leq tleq 1mid |f(a+t(ba))-f(a)|leq Mt(ba)}.}
  見せたい1 ε え
{ 1in E}

 . の継続によって へ { f}

 、セット え { E}

 閉じています。また、空ではありません 0 { 0}

 その中にしたがって、セット え { E}

 最大の要素を持つ s { s}

 . もしもs = 1
{ s=1}

 、 それから1 ε え
{ 1in E}

 これで完了です。したがって、そうでないと仮定します。為に1 > t > s
{ 1>t>s}
t>s}””>
 、
| | へ ( a+ t( b− a ) ) − へ( a ) | | ≤ | | へ ( a+ t( b− a ) ) − へ( a+ s( b− a ) ) − へ 」( a+ s( b− a ) )( t− s )( b− a )
| | + | |へ 」( a+ s( b− a ) )
| |( t− s )( b− a ) +
| | へ ( a+ s( b− a ) ) − へ( a ) | | . { {begin{aligned}&|f(a+t(ba))-f(a)|\&leq |f(a+t(ba))-f(a+s(ba) )-f'(a+s(ba))(ts)(ba)|+|f'(a+s(ba))|(ts)(ba)\&+|f(a+s(ba) ))-f(a)|.end{整列}}}
  させてϵ > 0
{ epsilon >0}
0″”>
 そのようになるM − ϵ >
すする( a b ) | |
へ 」 | |
{ M-epsilon >sup _{(a，b)}|f’|}
sup _{(a，b)}|f’|}””>
 . の微分可能性によって へ { f}

 でa + s( b− a )
{ a+s(ba)}

 （ノート s { s}

 0 の場合もあります)、 t { t}

 に十分近い s { s}

 、最初の項は≤ ϵ( t− s )( b− a )
{ leq epsilon (ts)(ba)}

 . 二期は ≤ ( M− ϵ )( t− s )( b− a )
{ leq (M-epsilon )(ts)(ba)}

 . 第三期は≤ M s( b− a )
{ leq Ms(ba)}

 . したがって、見積もりを合計すると、次のようになります。
| | へ ( a+ t( b− a ) ) − へ( a ) | |≤ t M
| |b − a
| |
{ |f(a+t(ba))-f(a)|leq tM|ba|}

 、最大値に対する矛盾 s { s}

 . したがって、1 = s ε M
{ 1=sin M}

 つまり、次のことを意味します。
| | へ ( b) − へ( a ) | |
≤ M ( b− a ) .
{ |f(b)-f(a)|leq M(ba)}
  以来 M { M}

 任意である場合、これはアサーションを意味します。最後に、 へ { f}

 で微分できません a { a}

 、 させてa 」 ε( a b ) { a’in (a，b)}

 最初のケースをに適用します へ { f}

 に制限されています [ a 」 b ] { }

 、私たちに与える：
| | へ ( b) − へ ( a 」)
| | ≤ ( b− a 」) すする( a b ) | |へ 」
| |
{ |f(b)-f(a’)|leq (ba’)sup _{(a，b)}|f’|}
  以来 ( a 」 b) ⊂( a b ) { (a’，b)subset (a，b)}

 . レッティングa 」 a
{ a’to a}

 証明を終了します。 ◻ { square }

微積分で基本的な結果を確立するための平均値の不等式の適用については、ユークリッド空間での微積分#基本概念も参照して
ベクトル値関数への平均値定理の特定のタイプの一般化は、次のように得られます。 . 1 つの変数の平均値の定理は、0 と 1 の間にいくつかのt *が存在することを示しています。へ (X +
時間) − へ (X ) = へ 」 X+ t ∗
時間) ⋅
時間 . { f(x+h)-f(x)=f'(x+t^{*}h)cdot h.}
  一方、微積分の基本定理とそれに続く変数の変更により、へ (X +
時間) − へ (X ) = ∫XX +
時間へ 」( あなた) d
あなた = ( ∫0 1へ 」 (X + t
時間) d t ) ⋅ 時間 . { f(x+h)-f(x)=int _{x}^{x+h}f'(u)，du=left(int _{0}^{1}f ‘(x+th)，dtright)cdot h.}
  したがって、特定の点t *での値f’ ( x + t * h )は平均値に置き換えられました。
∫0 1へ 」 X + t
時間) d t .
{ int _{0}^{1}f'(x+th)，dt.}
  この最後のバージョンは、ベクトル値関数に一般化できます。
命題 —  U ⊂ R nを開いて、f  : U R mを連続微分可能とし、x ∈ U ， h ∈ R nベクトルを、線分x + th ， 0 ≤ t ≤ 1がUに残るようにします。次に、次のようになります。へ (X +
時間) − へ (X ) =( ∫0 1D へ (X + t
時間) d t ) ⋅
時間{ f(x+h)-f(x)=left(int _{0}^{1}Df(x+th)，dtright)cdot h，}

ここで、Dfはfのヤコビ行列を表し、行列の積分は成分ごとに理解される必要が
証拠。f 1 ， …， f mでfのコンポーネントを表し、次のように定義します。{ g I
:R g I t ) = へ I X+ t
時間 ) { {begin{cases}g_{i}:to mathbb {R} \g_{i}(t)=f_{i}(x+th)end{cases} }}
  次に、へ I (X +
時間) − へ I (X ) = g I( 1) − g I( 0) =
∫0 g I 」( t ) dt =
∫0 ( ∑j = 1 n ∂ へ I ∂X j(X + t
時間 ) 時間j ) d t = ∑ j =1 ( ∫0 1∂ へ I ∂X j (X + t
時間) d t )
時間j .
{ {begin{aligned}f_{i}(x+h)-f_{i}(x)&=g_{i}(1)-g_{i}(0)=int _{0} ^{1}g_{i}'(t)，dt\&=int _{0}^{1}left(sum _{j=1}^{n}{frac {partial f_{i}}{部分 x_{j}}}(x+th)h_{j}right)dt=sum _{j=1}^{n}left(int _{0}^ {1}{frac {partial f_{i}}{partial x_{j}}}(x+th)，dtright)h_{j}.end{aligned}}}
  Dfは次の成分からなる行列であるため、この主張は次のとおりです。∂ へ I X j
{ {tfrac {partial f_{i}}{partial x_{j}}}}

 . ◻ { square }

平均値の不等式は、上記の命題の結果として得られます (ただし、導関数が連続であるという仮定の下では)。

定理が適用できない場合（条件の必要性）
平均値定理の両方の条件が必要です。
f(x) は (a，b) で微分可能です
f(x) は で連続です
上記の条件のいずれかが満たされない場合、平均値の定理は一般に成り立たないため、適用できません。
関数は開区間 a，b で微分可能
最初の条件の必要性は、関数がへ (X ) =
| |X
| |
{ f(x)=|x|}

  は微分できません。
関数は閉区間 a，b で連続です
2 番目の条件の必要性は、関数へ (X ) = {
1 で X= 0
0 もしも X ε ( 0 1 ] { f(x)={begin{cases}1，&{text{at }}x=0\0，&{text{if }}xin (0，1]end{ケース}}}
へ (X )
{ f(x)}

 以来、基準1を満たすへ 」 (X ) = 0
{ f'(x)=0}

 の上( 0 1 ) { (0，1)}

しかし、基準 2 ではない へ ( 1) − へ( 0) 1 − 0 = − 1
{ {frac {f(1)-f(0)}{1-0}}=-1}

 と− 1 ≠ 0 = へ 」 (X )
{ -1neq 0=f'(x)}

 すべてのためにX ε ( 0 1 ) { xin (0，1)}

 だからそんなことはない c { c}

 存在する

 

定積分の平均値定理

定積分の第一平均値定理

  幾何学的: f(c) を長方形の高さとb – aを幅と解釈すると、この長方形はaからbまでの曲線の下の領域と同じ面積を持ちます。
f  : Rを連続関数とする。次に、 ( a ， b )にcが存在し、∫ a b へ (X ) dX = へ( c ) ( b− a ) .
{ int _{a}^{b}f(x)，dx=f(c)(ba).}
  上のfの平均値は次のように定義されるため、1 − a ∫ a b へ (X )
dX { {frac {1}{ba}}int _{a}^{b}f(x)，dx，}