平均幅

Mean_width
ジオメトリでは、平均幅はボディの「サイズ」の尺度です。利用可能な物体の測度について詳しくは、ハドウィガーの定理を参照しての n { n}
次元、考慮しなければならない( n− 1 )
{ (n-1)}
与えられた方向に垂直な次元の超平面 n ^ { {hat {n}}} Sn − 1
{ S^{n-1}}
、 どこS n
{ S^{n}}
はn 球(a の表面) です。( n+ 1 )
{ (n+1)}-次元球)。特定の方向におけるボディの「幅」 n ^ { {hat {n}}}
は、物体が完全に 2 つの超平面の間にあるように、そのような平面の最も近いペア間の距離です (平面は物体の境界と交差するだけです)。平均幅は、この「幅」の平均です。 n ^ { {hat {n}}} Sn − 1
{ S^{n-1}} . ボディ B の方向の「幅」の定義 n ^ { {hat {n}}}
2次元で。
より正式には、コンパクト ボディ B を、その内部の点の集合に境界上の点を加えたものに等しいと定義します (ここで、点は の要素を表します)。
R n { mathbb {R} ^{n}}
）。ボディ B のサポート関数は次のように定義されます。
時間 B ( n) =
最大{ ⟨ n X ⟩
| |
Xε B }
{ h_{B}(n)=max{langle n，xrangle |xin B}}
どこ n { n}
は方向であり、
⟨ ⟩
{ langle ，rangle }
上の通常の内積を表す
R n { mathbb {R} ^{n}}
. そのときの平均幅は b ( B ) =1 n − 1 ∫ S n − 1
時間 B ( n
^ ) + 時間 B ( − n ^ ) { b(B)={frac {1}{S_{n-1}}}int _{S^{n-1}}h_{B}({hat {n}})+h_ {B}(-{hat {n}})，}
どこS n − 1
{ S_{n-1}}
それは( n− 1 )
{ (n-1)}-次元体積S n − 1
{ S^{n-1}}
. 平均幅は任意のボディ (つまりコンパクト) に対して定義できますが、凸状のボディ (つまり、対応するセットが凸セットであるボディ) に対して最も有用であることに注意して

コンテンツ
1 低次元の凸体の平均幅
1.1 一次元 1.2 二次元 1.3 三次元
2 こちらもご覧ください
3 参考文献
4 参考文献
低次元の凸体の平均幅編集

一次元
線分Lの平均幅は、 Lの長さ (1-ボリューム) です。

二次元
任意のコンパクトな形状Sの 2 次元の平均幅wはp /π です。ここで、pはSの凸包の周囲長です。したがって、 wは、凸包と同じ周長を持つ円の直径です。

三次元
3 次元の凸体Kの場合、 Kの平均幅は、Kの表面全体の平均曲率Hに関連します。実際には、∫ δ K H
2π d S = b( K ) { int _{delta K}{frac {H}{2pi }}dS=b(K)}

どこδ K
{ delta K}

凸体の境界 K { K}
と d S
{ dS}

面積分要素、 H { H}

上の対応する位置での平均曲率です。δ K
{ delta K}

. 他の測定値と平均曲率の一般化の間にも同様の関係があり、他の次元についても同様です。平均曲率の積分は通常、平均幅よりも計算がはるかに簡単であるため、これは非常に有用な結果です。

こちらもご覧ください
一定幅の曲線

参考文献
^ 嘉祖、周; Deshuo， Jiang （2008)、「平行凸体の平均曲率について」、Acta Mathematica Scientia、28 (3): 489–494、doi : 10.1016/S0252-9602(08)60050-8

参考文献
平均幅は通常、凸幾何学に関する適切な参考文献で言及されています。たとえば、Maria Moszyńska による凸幾何学の選択されたトピック(Birkhäuser、ボストン 2006)。平均幅と平均曲率の関係も、その参考文献で導出されています。
ハドウィガーの定理に特徴的な尺度の 1 つとしての平均幅の適用については、「ハドウィガーの体積定理の単純化された基本的な証明」の Beifang Chen で説明されています。ジオム。Dedicata 105 （2004)， 107—120.”