測定可能な基数 – 日本語百科事典辞書

Measurable_cardinal
数学では、測定可能な基数はある種の大きな基数です。概念を定義するために、基数κ、またはより一般的に任意のセットに2 値の測度を導入します。基数κの場合、κ自体が大きく、∅およびすべてのシングルトン{ α }、α ∈ κが小さく、小さい集合の補集合が大きく、逆に。未満の交差点 κ大集合は再び大きい。
2 値測度を持つ無数の基数は、 ZFCからその存在を証明できない大きな基数であることがわかります。
測定可能な基数の概念は、1930 年にスタニスワフウラムによって導入されました。
コンテンツ
1 意味
2 プロパティ
3 実数値可測
3.1 実数値の測定可能な枢機卿のアクセス不能性が弱い
4 こちらもご覧ください
5 ノート
6 引用
7 参考文献

意味
正式には、測定可能な基数は、 κの累乗集合に κ加法的で自明でない 0-1 値の測度が存在するような、数えられない基数κです。(ここで、κ-加法的という用語は、カーディナリティλ < κの任意のシーケンスA α ， α<λ について、A αが κ より小さい序数の対ごとに互いに素な集合である場合、A αの和集合の測度は、の和に等しいことを意味します。個体A αの測度)
同様に、κが測定可能であることは、それが宇宙Vの推移クラスMへの非自明な基本埋め込みの臨界点であることを意味します。この等価性は、ジェローム・ケイスラーとダナ・スコットによるもので、モデル理論からのウルトラパワー構造を使用しています。Vは適切なクラスであるため、現在スコットのトリックと呼ばれるものによって、超大国を考慮するときに通常は存在しない技術的な問題に対処する必要が
同様に、κが測定可能な基数であるのは、それがκ完全で非主成分の限外フィルターをもつ可算基数である場合に限られます。繰り返しますが、これは、限外フィルター内の厳密にκ -多くのセットよりも小さい任意のセットの交差も限外フィルター内にあることを意味します。

プロパティ
ZFCから、すべての測定可能な枢機卿はアクセスできない(そして、ラムジーなどは言い表せない)ことになりますが、測定可能な枢機卿が後継の枢機卿になることができることはZFと一致しています。ZF +決定性の公理から、ω 1は測定可能であり、ω 1のすべての部分集合は閉じた非有界部分集合を含むか、それとは素であることがわかります。
ウラムは、非自明な加法可算二値測度を認める最小の基数 κ は、実際には κ 加法測度を認めなければならないことを示しました。(結合が κ である κ 未満の測度 0 サブセットのコレクションがいくつかある場合、このコレクションで誘導された測度は、κ の最小性に対する反例になります。) そこから、(選択公理を使用して) 証明できます。そのような最小の枢機卿はアクセスできないに違いありません。
κ が非自明な κ 加法的測度を認める場合、κ は正則でなければならないことに注意するのは自明です。(非自明性と κ 加法性により、κ 未満のカーディナリティのサブセットは測度 0 を持たなければならず、κ 加法性により、セット全体が κ 未満のカーディナリティセットの和集合であってはならないことを意味します。 κ.) 最後に、λ < κ の場合、κ ≤ 2 λとは言えません。この場合、長さλの 0 ～ 1 シーケンスのコレクションでκを識別することができます。シーケンス内の各位置について、その位置に 1 を持つシーケンスのサブセットまたはその位置に 0 を持つサブセットのいずれかが測定値 1 を持つ必要がしたがって、これらのλ -多くの測定値 1 サブセットの共通部分も測定値 1 を持つ必要が、しかし、それは測定の非自明性と矛盾する正確に 1 つのシーケンスを含みます。したがって、選択公理を仮定すると、 κは強い極限基数であると推測でき、これにより、その接近不可能性の証明が完成します。
κ が可測であり、p ∈ V κであり、M (V の超冪)が ψ(κ， p ) を満たす場合、 Vがψ ( α ， p ) を満たすようなα < κの集合はκ で定常です (実際には集合測定の 1)。特に、ψが Π 1式であり、Vが ψ(κ， p ) を満たす場合、 Mはそれを満たし、したがってVはα < κの定常集合に対してψ ( α ， p ) を満たします。この特性を使用して、κが、測定可能よりも弱いほとんどの種類の大きな基数の限界であることを示すことができます。κが測定可能であることを証明する限外フィルターまたは測定値は、 Mにあることができないことに注意してこれは、そのような測定可能な最小の基数が、その下に別の基数を持たなければならないためです。これは不可能です。
Vのj 1を臨界点κ で M 1 に埋め込む基本的な埋め込みから始めると、κ 上のウルトラフィルターUを{ S ⊆κ : κ∈ j 1 ( S ) }として定義できます。次に、Uに対するVの超冪を取ると、 Vのj 2をM 2に埋め込む別の基本要素を得ることができます。ただし、 j 2 ≠ j 1であることを覚えておくことが重要です。したがって、強力な基数などの他のタイプの大きな基数も測定可能ですが、同じ埋め込みを使用することはできません。強い基数 κ が測定可能であり、その下に κ-多くの測定可能な基数があることを示すことができます。
κ M ⊆ M、つまり κ からMまでのすべての関数がMに含まれるため、すべての測定可能な基数 κ は 0-巨大基数です。したがって、V κ +1 ⊆ M .

実数値可測
基数 κ は、シングルトンでゼロになる κ の累乗セットに κ加法確率測度がある場合、可測実数値と呼ばれます。実数値の測定可能な基数は、Stefan Banach ( 1930 ) によって導入されました。Banach & Kuratowski (1929)は、連続体仮説が次のことを意味することを示しました。 c { {mathfrak {c}}}
${mathfrak$
実数値で測定可能ではありません。スタニスワフ・ウラム ( 1930 ) は、実数値の測定可能な枢機卿は弱くアクセスできない (実際には弱くマーロである) ことを示しました (ウラムの証明の一部については以下を参照)。すべての測定可能な基数は実数値で測定可能であり、実数値の測定可能な基数 κ は、κ がより大きい場合にのみ測定可能です。 c { {mathfrak {c}}}

. したがって、枢機卿は、それが実数値で測定可能であり、強くアクセスできない場合にのみ測定可能です。以下の実数値の測定可能な基数 c { {mathfrak {c}}}

実数のすべての集合に対するルベーグ測度の可算加法拡張がある場合にのみ存在し、その場合にのみ、空でない集合のベキ集合に無原子確率測度がある場合にのみ存在します。
Solovay (1971)は、ZFC における測定可能な基数、ZFC における実数値の測定可能な基数、および ZF における測定可能な基数の存在が等矛盾であることを示しました。

実数値の測定可能な枢機卿のアクセス不能性が弱い
の場合、基数αはウラム数であるとします。
いつでも
μはセットXの
外部測度です。 ( 1 )μ (X ) <
∞ { mu (X) ( 2 ) μ ( {X} ) = 0 X
εX { mu ({x})=0，xin X，}
( 3 )
全てあ ⊂X
{ Asubset X}

μ測定可能 ( 4 )
それから
カードX≤ α ⇒ μ (X ) = 0.
{ operatorname {card} Xleq alpha Rightarrow mu (X)=0.}

同様に、次の場合、基数αはウラム数です。
いつでも
νは集合Yの外部測度であり、FはYの部分集合の互いに素な族であり、 ν ( ⋃ふ ) < ∞ { nu left(bigcup Fright) ν ( あ) = 0
{ nu (A)=0}
にあ ε
ふ { Ain F，}
⋃ G
{ bigcup G}

νは、すべてについて測定可能です。G ⊂ ふ
{ Gsubset F}

それから
カードふ ≤ α ⇒ ν( ⋃ふ ) = 0.
{ operatorname {card} Fleq alpha Rightarrow nu left(bigcup Fright)=0.}

最小の無限枢機卿ℵ 0
{ aleph _{0}}

ウラム数です。ウラム数のクラスは、枢機卿の後継者の操作の下で閉鎖されています。無限基数βがUlam 数である直前の先行数αを持つ場合、 μは次のプロパティ ( 1 )–( 4 ) を満たすと仮定します。X= β
{ X=beta }

. 序数と基数のフォンノイマンモデルでは、単射関数を選択します。X :X
α ∀X ε β { f_{x}:xrightarrow alpha ，quad forall xin beta ，}

セットを定義しますう ( b a) = {X ε β : へX( b) = a
} a ε α bε β .
{ U(b，a)={xin beta :f_{x}(b)=a}，quad ain alpha ，bin beta .}

以来、へX { f_{x}}

1 対 1、セット{ う( b a
) bε β } (a
修繕） { left{U(b，a)，bin beta right}{text{(}}a{text{ fixed)}}，}

{ う ( b a
) aε α } (b
修繕）
{ left{U(b，a)，ain alpha right}{text{(}}b{text{ fixed)}}}

バラバラです。μの性質 ( 2 ) により、セット{ b ε β : μ( う( b a) ) > 0 }
{ left{bin beta :mu (U(b，a))>0right}}
0right}}””>
可算なので、
カード { ( b a) ε β × α
| | μ ( う( b a) ) > 0 }
≤ℵ 0 ⋅ α = α .
{ operatorname {card} left{(b，a)in beta times alpha |mu (U(b，a))>0right}leq aleph _{0} cdot alpha =alpha .}
0right}leq aleph _{0}cdot alpha =alpha .}””>
したがって、b 0
{ b_{0}}

そのような μ ( う( b0 a ) ) = 0 ∀ a ε α
{ mu (U(b_{0}，a))=0quad forall ain alpha }

αは Ulam 数であるため、2 番目の定義( ν= μ
{ nu =mu }

および条件 ( 1 ) – ( 4 ) が満たされている)、 μ ( ⋃a ε α
う(b 0 a ) )= 0. { mu left(bigcup _{ain alpha}U(b_{0}，a)right)=0.}

もしもb 0 X <
β { b_{0}
それからへX b 0) = aX X ε う ( b 0 aX) . { f_{x}(b_{0})=a_{x}Rightarrow xin U(b_{0}，a_{x}).}

したがってβ = b 0 ∪ { b 0 }∪ ⋃ a ε α う( b 0 a ) { beta =b_{0}cup {b_{0}}cup bigcup _{ain alpha}U(b_{0}，a)，}

プロパティ ( 2 ) によって、μ { b0 =
0 { mu {b_{0}}=0，}

それ以来
カードb0 α
{ operatorname {card} b_{0}leq alpha }

、（4）、（2）、（3）により、 μ ( b0) = 0.
{ mu (b_{0})=0.}

したがって、 μ ( β) = 0.
{ mu (beta )=0.}

結論は、βはウラム数であるということです。
同様の証明があり、ウラム数の集合Sの上限は
カード S { operatorname {card} S}

ウラム数は再びウラム数です。前の結果と合わせて、これは、ウラム数ではない基数が弱くアクセスできないことを意味します。

こちらもご覧ください
通常の測定
ミッチェル次数
大規模なカーディナルプロパティのリスト

ノート
^ 記事内のウラム数の概念は違う。

引用
^ マディ 1988 ^ Jech 2002harvnb エラー: ターゲットがありません: CITEREFJech2002 (ヘルプ) ^ ウラム 1930 ^ フェデラー 1996、セクション 2.1.6 ^ Federer 1996、セクション 2.1.6 の定理の 2 番目の部分。
^ Federer 1996、セクション 2.1.6 の定理の最初の部分。

参考文献
バナッハ、ステファン(1930)、「アブストラクトメンゲンにおける超付加的なMaßfunktionen」、Fundamenta Mathematicae、15 : 97–101、doi : 10.4064/fm-15-1-97-101、ISSN 0016-2736.
Banach， Stefan ; Kuratowski、Kazimierz (1929)、「Sur une généralisation du probleme de la mesure」、Fundamenta Mathematicae、14 : 127–131、doi : 10.4064/fm-14-1-127-131、ISSN 0016-2736.
Drake， FR (1974)， Set Theory: An Introduction to Large Cardinals (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics; V. 76)、Elsevier Science Ltd、ISBN 978-0-7204-2279-5.
Federer， H. (1996) 、Geometric Measure Theory、Classics in Mathematics (初版復刻版)、ベルリン、ハイデルベルク、ニューヨーク: Springer Verlag、ISBN 978-3540606567.
Jech、Thomas （2002)、集合論、第 3 ミレニアム版 (改訂および拡張)、Springer、ISBN 3-540-44085-2.
金森明宏（2003)， The Higher Infinite : Large Cardinals in Set Theory from their Beginnings (2nd ed.)， Springer， ISBN 3-540-00384-3.
マディ、ペネロペ(1988)、「公理を信じる。II」、シンボリックロジックのジャーナル、53 (3): 736–764、doi : 10.2307/2274569、JSTOR 2274569、S2CID 16544090. のパート I とパート II のコピーは、著者の Web ページで入手できます。
Solovay， Robert M. (1971)， “”Real-valued measurable cardinals””，公理集合論 (Proc. Sympos. Pure Math.， Vol. XIII， Part I， Univ. California， Los Angeles， CA， 1967) ，プロビデンス、RI: アメール。算数。社会、pp. 397–428、MR 0290961.
Ulam， Stanislaw (1930)， “”Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre” ， Fundamenta Mathematicae ， 16 : 140–150， doi : 10.4064/fm-16-1-140-150 ， ISSN 0016-2736.”