Measurable_function
数学、特に測度理論では、測定可能な関数は、空間の構造を保存する2 つの測定可能な空間の基礎となる集合の間の関数です。任意の測定可能な集合の前像は測定可能です。これは、位相空間間の連続関数が位相構造を保持するという定義に直接類似しています。開集合の前像は開いています。実際の解析では、ルベーグ積分の定義に可測関数が使用されます。確率論では 、確率空間上の測定可能な関数は確率変数として知られています。
コンテンツ
1 正式な定義
2 用語の使い方のバリエーション
3 測定可能な関数の注目すべきクラス
4 可測関数の性質
5 測定不能機能
6 こちらもご覧ください
7 ノート
8 外部リンク
正式な定義
させて(X Σ ) { (X，Sigma )}
と ( よ T ) { (Y，mathrm {T} )}
測定可能なスペースであること、つまりX
{ X}
と よ
{ Y}
それぞれ装備したセットです σ { sigma }
-代数 Σ { シグマ}
と T .
{ mathrm {T} .}
機能へ :X よ
{ f:Xto Y}
すべての場合、測定可能であると言われていますえ ε T
{ Ein mathrm {T} }
のプレイメージ え { E}
下 へ
{ f}
にある Σ { シグマ}
; つまり、すべてのえ ε T
{ Ein mathrm {T} }
へ − 1( え ) :={X εX ∣ へ (X ) ε え }ε Σ .
{ f^{-1}(E):={xin Xmid f(x)in E}in Sigma .}
あれは、 σ ( へ) ⊆
Σ { sigma (f)subseteq Sigma ，}
どこ σ ( へ ) { sigma (f)}
f によって生成される σ 代数です。もしもへ :X よ
{ f:Xto Y}
は測定可能な関数です。へ :(X Σ ) ( よ T) .
{ fcolon (X，Sigma )rightarrow (Y，mathrm {T} )}
への依存を強調する σ { sigma }
-代数 Σ { シグマ}
と T .
{ mathrm {T} .}
と ( よ T ) { (Y，mathrm {T} )}用語の使い方のバリエーション
の選択 σ { sigma }
上記の定義の -algebras は暗黙的であり、コンテキストに任されている場合がたとえば、
R { mathbb {R} ，}
C { mathbb {C} ，}
または他の位相空間では、ボレル代数(すべての開集合によって生成される) が一般的な選択です。一部の著者は、可測関数を、ボレル代数に関して排他的に実数値の関数として定義しています。
関数の値が無限次元のベクトル空間にある場合、弱い可測性やボッホナー可測性など、他の等価でない可測性の定義が存在します。
測定可能な関数の注目すべきクラス
確率変数は、定義上、確率空間で定義された測定可能な関数です。
もしも(X Σ ) { (X，Sigma )}
と ( よ T ) { (Y，T)}
ボレル空間、可測関数へ :(X Σ ) ( よ T ) { f:(X，Sigma )to (Y，T)}
はボレル関数とも呼ばれます。連続関数はボレル関数ですが、すべてのボレル関数が連続しているわけではありません。ただし、測定可能な関数はほぼ連続関数です。ルージンの定理を参照してボレル関数がマップのセクションである場合 よ πX { Yxrightarrow {~pi ~} X，}
ボレル セクションと呼ばれます。
ルベーグ可測関数は可測関数ですへ 🙁 R L ) ( C B C ) { f:(mathbb {R} ，{mathcal {L}})to (mathbb {C} ，{mathcal {B}}_{mathbb {C} })，}
こ L
{ {mathcal {L}}}
それは σ { sigma }
-ルベーグ可測集合の代数、およびB C
{ {mathcal {B}}_{mathbb {C} }}
は複素数上のボレル代数 C .
{ mathbb {C} .}
ルベーグの可測関数は、統合できるため、数学的解析において興味深いものです。その場合へ :X
R { f:Xto mathbb {R} ，}
へ { f}
ルベーグは、次の場合にのみ測定可能です{ へ > α } = {X εX :へ (X ) > α }
{ {f>alpha }={xin X:f(x)>alpha }}
alpha }={xin X:f(x)>alpha }}””>
全員で測定可能α ε R . { alpha in mathbb {R} .}
これは、次のいずれかと同等です。{ へ ≥ α
} {へ < α
} {へ ≤ α }
{ {fgeq alpha }，{f
すべての人にとって測定可能であること
α { alpha ，}