測定可能群

Measurable_group
数学では、可測群は、群論と測度理論の間の交差点にある特別なタイプの群です。測定可能なグループは測定値を研究するために使用されますが、これは抽象的な設定であり、トポロジカル グループと密接に関連していることがよく

コンテンツ
1 意味
2 測定可能なグループとしてのトポロジー グループ
3 関連概念
4 参考文献

意味
させて( G ∘ ) { (G，circ )}

群法を持つ群∘ : G × G G
{ circ :Gtimes Gto G}
. さらにしましょう G { {mathcal {G}}}

集合の部分集合のσ代数 G { G}
. グループ、またはより正式にはトリプル( G ∘ G)
{ (G，circ ，{mathcal {G}})}

の場合、可測群と呼ばれます。
反転g ↦ g − 1
{ gmapsto g^{-1}}

から測定可能 G { {mathcal {G}}}
G
{ {mathcal {G}}}
. 群法( g1 g 2 ) ↦ g 1 ∘ g 2
{ (g_{1}，g_{2})mapsto g_{1}circ g_{2}}

から測定可能G ⊗ G
{ {mathcal {G}}otimes {mathcal {G}}}
G
{ {mathcal {G}}}

ここ、 B { {mathcal {A}}otimes {mathcal {B}}}

σ代数の積σ代数の形成を表す あ { {mathcal {A}}}
と B
{ {mathcal {B}}}

.

測定可能なグループとしてのトポロジー グループ
毎秒可算位相群( G 〇)
{ (G，{mathcal {O}})}

測定可能なグループと見なすことができます。これは、グループにボレル σ 代数を装備することによって行われます。 B ( G) = σ( 〇 ) { {mathcal {B}}(G)=sigma ({mathcal {O}})}
これは、トポロジによって生成された σ 代数です。位相群の定義により、群の法則と逆元の形成は連続的であるため、この場合、両方の操作は次の式からも測定可能です。
B G )
{ {mathcal {B}}(G)}
B G )
{ {mathcal {B}}(G)}

そしてから
B G × G )
{ {mathcal {B}}(Gtimes G)}
B G )
{ {mathcal {B}}(G)}

、 それぞれ。2 番目の可算性は、
B G ) ⊗ B G ) = B G× G )
{ {mathcal {B}}(G)otimes {mathcal {B}}(G)={mathcal {B}}(Gtimes G)}

、したがってグループ G { G}

も測定可能なグループです。

関連概念
測定可能なグループは、自分自身で行動する測定可能な活動グループと見なすことができます。

参考文献
^ カレンバーグ、オラフ（2017). ランダムな測定、理論、およびアプリケーション。スイス：スプリンガー。p。266.ドイ: 10.1007/978-3-319-41598-7 . ISBN  978-3-319-41596-3.”