Measurable_Riemann_mapping_theorem
数学では、可測リーマン写像定理は、1960 年にLars AhlforsとLipman Bersが複素解析と幾何関数理論で証明した定理です。その名前に反して、これはリーマン写像定理の直接的な一般化ではなく、ベルトラミ方程式の準等角写像と解に関する結果です。この結果は、準線形楕円偏微分方程式に関する 1938 年のCharles Morreyの以前の結果によって事前に把握されていました。
Ahlfors と Bers の定理は、μ がC上の有界可測関数である場合、‖ μ ‖
∞ 1
{ |mu |_{infty}<1}
の場合、ベルトラミ方程式の一意の解fが存在します。∂ ぜ ¯ へ( ぜ) = μ( ぜ) ∂ ぜ へ( ぜ ) { partial _{overline {z}}f(z)=mu (z)partial _{z}f(z)}
ここで、fは点 0、1、および ∞ を固定するCの準共形同相写像です。Cをユニットディスク Dに置き換えても、同様の結果が得られます。彼らの証明は、特異積分演算子であるBeurling 変換を使用しました。
参考文献
Ahlfors、ラース。Bers、Lipman (1960)、「Riemann mapping’s theorem for variable metrics」、Annals of Mathematics、72 : 385–404、doi : 10.2307/1970141
Ahlfors， Lars V. (1966)， Lectures on quasiconformal mappings ， Van Nostrand
アスタラ、カリ; Iwaniec， タデウシュ; Martin、Gaven （2009)、Elliptic 偏微分方程式と平面における quasiconformal mappings、Princeton 数学的シリーズ、vol. 48、プリンストン大学出版、pp. 161–172、ISBN 0-691-13777-3
カールソン、L.; Gamelin， TDW (1993)， Complex dynamics ， Universitext: Tracts in Mathematics， Springer-Verlag， ISBN 0-387-97942-5
Morrey， Charles B. Jr. (1938)， “準線形楕円偏微分方程式の解について”， Transactions of the American Mathematical Society ， 43 (1): 126–166， doi : 10.2307/1989904 ， JFM 62.0565. 02、JSTOR 1989904、MR 1501936、Zbl 0018.40501
ザケリ、サイード。Zeinalian， Mahmood (1996)， “When ellipses look like circles: the measurable Riemann mapping theorem” (PDF) ， Nashr-e-Riazi ， 8 : 5–14
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